Ім'я файлу: Лекція 2 означення ймовірності-2.docx
Розширення: docx
Розмір: 155кб.
Дата: 28.04.2022
скачати
Пов'язані файли:
Інформ_гігієна.docx
Розширення: docx
Розмір: 155кб.
Дата: 28.04.2022
скачати
Пов'язані файли:
Інформ_гігієна.docx
Тема: Означення ймовірності
План
Основні поняття курсу.
Статистичне означення ймовірності.
Класичне означення ймовірності.
Геометричне означення ймовірності.
1.Основні поняття курсу
Щоденний досвід переконує нас в тому, що у буденному житті, а також в наукових дослідженнях постійно доводиться стикатися з випадковими явищами, які зовні схожі, але за різних умов можуть якісно відрізнятися.
Наведемо декілька прикладів.
Кількість викликів, які надходять на станцію швидкої допомоги за добу.
Кількістьвиробів, придатних до використання, виготовлених в одних умовах і з однакових матеріалів.
Відхилення точки попадання снаряду від центру цілі.
Однієї констатації факту належності випадковості для впевненого використання явищ природи чи управління технологічними процесами зовсім недостатньо, необхідно навчитися кількісно оцінювати випадкові процеси чи події, їх властивості та прогнозувати їх протікання.
Означення.Послідовність операцій, виконуваних з додержанням певного комплексу умов, називають експериментом (випробуванням, спостереженням).
Означення . Подією в теорії ймовірності називають довільний наслідок або результат будь-якого випробування, спостереження, стохастичного експерименту (який можна повторити будь-яку кількість раз), який може наступити (відбутись, здійснюватися), або не наступити, тобто результат випробування не можна напевне передбачити.
Події поділяються на достовірні, неможливі та випадкові.
Означення. Якщо в результаті експерименту, здійснюваного з додержанням певного комплексу умов, певна подія обов’язково настає, то вона називається достовірною.
Приклади достовірних подій:
1. У земних умовах вода, нагріта до температури 100 С, набуває стану кипіння.
2. Якщо в урні міститься 10 однакових кульок, пронумерованих від 1 до 10, то кулька, навмання взята із цієї урни, має номер, що міститься в межах від 1 до 10.
Означення.Подія називається неможливою, якщо в результаті експерименту, проведеного з додержанням певного комплексу умов, вона не настає ніколи.
Приклади неможливих подій:
1. В урні міститься 10 однакових кульок, пронумерованих від 1 до 10. Навмання береться одна кулька. Поява кульки з номером 12 буде подією неможливою.
2. Якщо на дослідній ділянці посіяти 100 зернин ячменю, то подія, яка полягає в тому, що на момент збирання врожаю на цій ділянці з’явиться колосок пшениці, є неможливою.
Означення.Подія називається випадковою, якщо за певного комплексу умов у результаті експерименту вона може настати або не настати залежно від дії численних дрібних факторів, урахувати які дослідник не в змозі.
Події позначають літерами А, В, С, … або А1, А2, А3,…, Аk; В1, В2, …, Вn.
Приклади випадкових подій:
1. Монету підкидають один раз. (Тут і далі припускаємо, що падає монета на рівну і тверду підлогу.) Поява герба (цифри) подія випадкова.
2. Якщо на дослідній ділянці в лабораторних умовах посіяно 100 зернин ячменю, то не можна передбачити наперед, скільки зернин проросте. Отже, подія, яка полягає в тому, що проросте від 1 до 100 зернин, є випадковою.
Означення.Дві або декілька випадкових подій називаються рівноможливими, якщо умови їх появи однакові і вони мають однакові шанси відбутися.
Теорія ймовірностей як один із розділів математики досліджує певний вид математичних моделей - моделі випадкових подій, а не самі такі події.
Математичні моделі, як відомо, відбивають найістотніші властивості досліджуваних об’єктів, абстрагуючись від неістотних.
Для математичного опису випадкових подій - наслідків експерименту - застосовують такі точні поняття: прості (елементарні) та складені випадкові події, простір елементарних подій.
Означення.Подія, що може відбутися внаслідок проведення однієї і лише однієї спроби (експерименту), називається простою (елементарною) випадковою подією.
Елементарні події позначаються і (і = 1, 2, 3,…) і в теорії ймовірностей, так само як, скажімо, точка в геометрії, не поділяються на простіші складові.
Приклад. Монету підкидають один раз. Визначити елементарні події цього експерименту.
Розв’язання. Можливі такі елементарні випадкові події:
1 = г (монета випаде гербом);
2 = ц (монета випаде цифрою).
Приклад. Монету підкидають тричі. Визначити елементарні події цього експерименту.
Розв’язання. Триразове підкидання монети це одна спроба. Елементарними випадковими подіями будуть:
| 1 = ггг (тричі випаде герб); | 5 = цгг (герб випаде двічі); |
| 2 = ццц (тричі випаде цифра); | 6 = гцц (цифра випаде двічі); |
| 3 = ггц (герб випаде двічі); | 7 = цгц (герб випаде один раз); |
| 4 = гцг (герб випаде двічі); | 8 = ццг (цифра випаде двічі). |
Отже, цьому експерименту відповідають вісім елементарних подій.
Приклад . Задано дві множини цілих чисел 1=
, 2=
. Із кожної множини навмання беруть по одному числу. Визначити елементарні події цього експерименту - появу пари чисел.Розв’язання. Елементарними випадковими подіями будуть:
1 = 1; 1; 5 = 2; 1; 9 = 3; 1;
2 = 1; 2; 6 = 2; 2; 10 = 3; 2;
3 = 1; 3; 7 = 2; 3; 11 = 3; 3;
4 = 1; 4; 8 = 2; 4; 12 = 3; 4.
Отже, цьому експерименту відповідають дванадцять елементарних подій.
Означення.Випадкова подія називається складеною, якщо її можна розкласти на прості (елементарні) події.
Складені випадкові події також позначають великими латинськими літерами.
Приклад . Задано множину чисел = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Навмання із цієї множини беруть одне число. Побудувати такі випадкові події: 1) з’явиться число, кратне 2; 2) число кратне 3; 3) число, кратне 5.
Розв’язання. Ці випадкові події будуть складеними. Позначимо їх відповідно А, В, С. Тоді А={2, 4, 6, 8, 10, 12}; В={3, 6, 9, 12}; С={5,10}.
Означення.Елементарні випадкові події і A, j B, k C, які належать відповідно складеним випадковим подіям А, В, С, тобто є елементами цих множин, називають елементарними подіями, які сприяють появі кожної із зазначених подій внаслідок проведення експерименту (і сприяють появі події А, j - події В, k - події С).
Кожному експерименту (спробі) з випадковими результатами (наслідками) відповідає певна множина елементарних подій i, кожна з яких може відбутися (настати) внаслідок його проведення: і . Цю множину називають простором елементарних подій.
Приклад . Гральний кубик, кожна грань якого позначена певною цифрою від 1 до 6, підкидають один раз. При цьому на грані випадає одна із зазначених цифр. Побудувати простір елементарних подій для цього експерименту (множину ) і такі випадкові події: 1) А - випаде число, кратне 2; 2) В - випаде число, кратне 3.
Розв’язання. Оскільки кубик має шість граней, то в результаті експерименту може випасти одна із цифр від 1 до 6.
Отже, = 1, 2, 3, 4, 5, 6; 1) А = 2, 4, 6; 2) В = 3, 6.
Приклад. Монету підкидають чотири рази. Побудувати простір елементарних подій для цього експерименту і такі випадкові події:
1) А - герб випаде двічі; 2) В - герб випаде не менш як тричі.
Розв’язання. Шуканий простір елементарних подій:
= гггг, гггц, ггцг, гцгг, ццгг, ггцц, гццг, гцгц, цгцг, ццгг, цггц, гццц, цгцц, ццгц, цццг, цццц;
1) А = ггцц, ццгг, гцгц, цгцг, гццг, цггц;
2) В = гггг, гггц, ггцг, гцгг, цггг).
Простір елементарних подій може бути як дискретним, так і неперервним, обмеженим і необмеженим.
У розглянутих раніше прикладах простори елементарних подій були дискретними.
Приклади неперервних (недискретних) просторів елементарних подій дістанемо, розглянувши:
розміри однотипних деталей (діаметр, довжина), які виготовляє робітник або верстат-автомат;
покази приладів, що вимірюють масу, силу струму, напругу, опір і т. ін.
Отже, поняття елементарної події, простору елементарних подій є основними в теорії ймовірностей. Сама природа елементарних подій у теорії ймовірностей при цьому неістотна.
Простір елементарних подій є математичною моделлю певного ідеалізованого експерименту в тому розумінні, що будь-який можливий його наслідок описується однією і лише однією елементарною подією - наслідком експерименту.
Мовою теорії множин випадкова подія А означується як довільна непорожня підмножина множини (А ).
Операції над подіями
Операції над подіями – це операції над підмножинами, тому звичайні властивості операцій над множинами переносяться на операції над подіями.
Запис А⊂В (читається: А підмножина В) означає, що кожен елемент множини А належить множині В.
Означення. Множини А і В називаються рівними (А=В), якщо А⊂В і В⊂А.
Означення. Множина, яка не містить жодного елемента, називається порожньою Ø.
Означення. Сума (об’єднання) А
В множин А і В є множина тих, і тільки тих елементів, які належать принаймні одній з множин А і В.Означення. Добуток (переріз) А
В множин А і В є множина тих, і тільки тих елементів, які належать А і В.Означення. Різниця А\В множин А і В є множина тих, і тільки тих елементів, які належать А і не належать В.
Означення. Доповнення
до множини А є множина тих, і тільки тих елементів множини Ω, які не належать А ( =Ω/А).Означення . Симетрична різниця А
В множин А і В є множина (А/В) (В/А).Множини А і В не перетинаються, якщо А
В=Ø.Для геометричної ілюстрації операцій над подіями зручно користуватися діаграмами Ейлера – плоскими фігурами (круги, прямокутники, еліпси тощо), які інтегруються як події та множини подій. Для цього множину Ω будемо зображати у вигляді прямокутника, а події, породжені реалізацією певної сукупності умов S – кругами або еліпсами в цьому прямокутнику. Результат виконання операцій над подіями на діаграмах Ейлера будемо відображати затінюванням відповідних фігур або штрихуванням.
Означення. Сумою або об’єднанням подій А та В називається така подія С, яка полягає у настанні події А, або події В, або подій А та В одночасно.
Отже, якщо ΩА, ΩВ, Ω відповідно множини окремих реалізацій події А, В та суми цих подій, то Ω = ΩА
ΩВ. Суму подій А та В будемо позначати: С=А+В, або С=А В.Означення. Сумою або об’єднанням будь-якого числа подій А1, А2,…Аn називається подія С, яка полягає в настанні хоч би однієї з цих подій і записується так:
або 
Означення. Добутком подій А та В називається така подія С, яка полягає в одночасному виконанні події А і події В відповідно.
Отже, якщо ΩА, ΩВ, Ω відповідно множини окремих реалізацій подій А, В та добутку цих подій, то Ω = ΩА
ΩВ. Добуток подій А та В будемо позначати С=А·В=А×В.Означення. Добуток подій А1, А2,…Аn полягає в одночасному настанні всіх n подій і записується так:
або 
Означення. Різницею подій А і В називається подія С, яка полягає в тому, що подія А відбувається, а подія В – ні.
Означення. Симетрична різниця – С=А
В є такою подією, в яку входять ті елементарні події, які входять в А чи В, але не входять в їх перетин А В. Отже, симетрична різниця може бути представлена таким чином: С=А В=(А\В) (В\А). Отже, діаграми Ейлера введених операцій над подіями такі:
Рис.1.1.1. С=А+В Рис. 1.1.2. С=А×В Рис. 1.1.3. С=А\В Рис. 1.1.4. С=А
ВОзначення. Якщо А∩В, то випадкові події А і В називають сумісними.
Означення. Якщо А∩В=, то такі випадкові події А і В називають несумісними.
Означення . Якщо А1
A2 A3 … … An = 
= , то такі випадкові події утворюють повну групу, а саме: внаслідок експерименту якась із подій Аі обов’язково настане.Приклад. При одноразовому підкиданні грального кубика обов’язково з’явиться одна із цифр, що є на його гранях, а саме: А1 = 1, А2 = 2, А3 = 3, А4 = 4, А5 = 5, А6 = 6. Отже, випадкові події Аі(і =
) утворюють повну групу: 
= Ω = = 1, 2, 3, 4, 5, 6.Означення. Дві несумісні випадкові події, що утворюють повну групу, називають протилежними.
Кожній випадковій події А можна поставити у відповідність іншу випадкову подію, яку будемо називати протилежною до неї, доповненням до події А, запереченням цієї події.
Означення.Протилежною подією до події А називається така подія
, яка полягає в тому, що подія А не відбувається.2. Статистичне означення ймовірності
На практиці обчислити ймовірності випадкових подій можна лише для обмеженого класу задач як для дискретних, так і для неперервних просторів елементарних подій (множини Ω). Для більшості задач, особливо економічних, обчислити ймовірності практично неможливо. У цьому разі використовується статистична ймовірність.
Насамперед введемо поняття відносної частоти випадкової події W (A).
Означення. Відносною частотою випадкової події А називають відношення кількості експериментів m, при яких подія А спостерігалася, до загальної кількості n проведених експериментів.
Відносну частоту події А позначають W(A). Отже,
Властивості відносної частоти:
1. Відносна частота знаходиться в межах 0≤W(A)≤1.
2. Відносна частота достовірної події дорівнює 1: W(Ω)=1.
3. Відносна частота неможливої події дорівнює 0: W(Ø)=0.
4. Відносна частота W(
)=1-W(A).5. Якщо А і В несумісні, то W(AUВ) = W(A) + W(В).
6. У загальному випадку W(AUВ)= W(A) + W(В) - W(A∩В).
7. Якщо А
В, то W(A)≤W(В).Багаторазові спостереження показали, якщо в однакових умовах проводити випробування, в кожному з яких число експериментів достатньо велике, то відносна частота виявляє властивості стійкості. Ця властивість полягає в тому, що в різних випробуваннях відносна частота події змінюється мало (тим менше, чим більше проведено випробувань), коливаючись біля деякого постійного числа.
Теорія ймовірностей використовується для опису тільки таких експериментів, для яких виконується таке припущення: для будь-якої події А відносна частота здійснення цієї події у будь-якій нескінченній серії випробувань має один і той самий ліміт (границю), який називається ймовірністю здійснення події А. Тому, якщо розглядати ймовірність здійснення довільної події, то треба розуміти під цим таке: це відносна частота здійснення події в нескінченній (досить довгій) серії випробувань.
Теорія ймовірностей вивчає лише такі випадкові події, в яких спостерігається стабільність відносних частот, а саме: у разі проведення k серій експериментів існує така константа Р(А), навколо якої групуватимуться відносні частоти досліджуваної випадкової події А, тобто Wі(А). І це групування буде тим ближчим до цієї константи, чим більшим буде число n експериментів.
На рис. показано, як Wі(А) змінюється зі збільшенням n експериментів.
Рис.
Ймовірність випадкової події визначається так: упевнившись, що існує стабільність відносних частот випадкової події Wі (А), задаємось малим додатним числом і проводимо серії експериментів, збільшуючи їх число n. Якщо на якомусь кроці серії експериментів виконуватиметься нерівність
, то за ймовірність випадкової події береться одне з чисел Wі або Wі–1. Ця ймовірність називається статистичною.Означення. Статистична ймовірність – це відносна частота або число близьке до неї.
Класичне означення ймовірності придатне лише для експериментів з обмеженим числом рівномірних елементарних подій, тобто коли множина Ω (простір елементарних подій) обмежена.
Якщо множина Ω є неперервною, то для обчислення ймовірності А (А ) використовується геометрична ймовірність.
3. Класичне означення ймовірності
Існує декілька означень ймовірності. Ознайомимось з ними.
Означення (класичне). Імовірністю випадкової події А називається невід’ємне число Р(А), що дорівнює відношенню числа елементарних подій m (0
m n), які сприяють появі А, до кількості всіх елементарних подій n простору Ω: 
Зауваження. Класичне означення ймовірності має місце лише тоді, коли m та n скінчені, усі елементарні наслідки рівноможливі (саме таке становище у більшості азартних ігор, що здійснюються без шахрайства).
Якщо множина елементарних наслідків нескінчена або елементарні наслідки не рівноможливі, то формулою вище користуватись не можна.
Приклад . У ящику міститься 15 однотипних деталей, із яких 6 бракованих, а решта - стандартні. Навмання з ящика береться одна деталь. Яка ймовірність того, що вона буде стандартною?
Розв’язання. Число всіх рівноможливих елементарних подій для цього експерименту:
n = 15.
Нехай А - подія, що полягає в появі стандартної деталі. Число елементарних подій, що сприяють появі випадкової події А, дорівнює дев’яти (m = 9). Згідно з класичного означення маємо:
.Приклад . Гральний кубик підкидають один раз. Яка ймовірність того, що на грані кубика з’явиться число, кратне 3?
Розв’язання. Число всіх елементарних подій для цього експерименту n = 6. Нехай В - поява на грані числа, кратного 3. Число елементарних подій, що сприяють появі В, дорівнює двом (m = 2).
Отже,
.
Властивості ймовірності:
Ймовірність кожної події є відповідним числом з інтервалу [0;1], тобто
0 ≤ Р(А) ≤ 1.
Дійсно, сприятливих подій для кожної події не більше, ніж всіх подій у відповідній повній сукупності подій, тобто 0 ≤ k ≤ n.
Ймовірності еквівалентних подій рівні, тобто, якщо А=В, то Р(А)=P(В).
Ймовірність достовірної події рівна одиниці, тобто P(Ω) = 1.
Дійсно, для достовірної події сприятливими є всі події відповідної повної сукупності подій, тобто m = n.
Ймовірність неможливої події рівна нулю, тобто P() = 0.
Це випливає з того, що для неможливої події немає сприятливих подій, тобто m=0.
Ймовірності події А та протилежної події
задовольняють співвідношення:Р(
) = 1 – Р(А). Якщо відповідна повна сукупність подій містить n подій і k з них сприятливі для події А, то для протилежної події
сприятливими є n - k тих подій, які не є сприятливими для події А. Тому Р( ) =
= 1 -
= 1 – Р(А).4.Геометричне означення ймовірності
Означення (геометричне). Ймовірність випадкової події А дорівнює відношенню міри А до міри Ω:
. Якщо множина вимірюється в лінійних одиницях, то Р(А) дорівнюватиме відношенню довжини, якщо Ω вимірюється у квадратних одиницях, то Р(А) дорівнюватиме відношенню площ, і т. ін.
Приклад . По трубопроводу між пунктами А і В перекачують нафту. Яка ймовірність того, що пошкодження через певний час роботи трубопроводу станеться на ділянці довжиною 100 м.
Розв’язання. Простір елементарних подій Ω=
, тоді 
(А ).Згідно з геометричного означення маємо:
.Приклад. Задана множина Ω = (0 х е, 0 у 1). Яка ймовірність того, що навмання взяті два числа (х, у) утворять координати точки, яка влучить в область А = (1 х е, 0 у lnх)?
Розв’язання. Множини Ω і А зображені на рис.
Рис.
.