КІНЕМАТИКА ПОСТУПАЛЬНОГО ТА ОБЕРТАЛЬНОГО РУХУ
ПЛАН
Основні означення і моделі кінематики.
Рівняння руху матеріальної точки.
Швидкість руху точки.
Прискорення як міра зміни руху.
Тангенційне і нормальне прискорення .
Кінематика обертального руху.
1. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ І МОДЕЛІ КІНЕМАТИКИ. Кінематика – це розділ фізики, в якому вивчаються закономірності механічного руху не вникаючи в причини, які його викликають. Для неї важливим є поняття про проміжок часу, його початок та довільний момент, безвідносно до сил, які його зумовлюють. Кінематика вивчає просторові, часові та просторово–часові кінематичні характеристики руху. Тому кінематика – це розділ фізики, в якому досліджуються геометричні властивості руху.
Для дослідження використовують різні фізичні моделі, що є спрощеними копіями досліджуваних систем. Такими є, наприклад, в механіці матеріальна точка (м.т.), система матеріальних точок, абсолютно тверде тіло, тощо .
Матеріальною точкою називається геометрична точка, якій приписана певна маса. Це поняття використовують для позначення тіла, розмірами якого за визначених обставин руху можна знехтувати.
Системою матеріальних точок називається така сукупність м.т., положення і рухи яких взаємопов’язані між собою. Окремим їх випадком є абсолютно тверде тіло.
Абсолютно твердим називається тіло, яке складається з системи м.т., що жорстко зв’язані між собою і неперервно заповнюють певну частину простору так, що відстань між будь-якими двома його точками залишається незмінною. При поступальному русі абсолютно твердого тіла всі його точки описують однакові траєкторії, а вектори їх швидкостей і прискорень рівні між собою в кожний момент чи в певному проміжку часу.
Під проміжком часу розуміють перебіг часу між двома фізичними подіями. Моментом часу називають границю між двома суміжними проміжками часу. Його початок – це момент, з якого починається відлік часу
В класичній механіці постулюється наявність системи відліку , відносно якої простір однорідний і ізотропний. Однорідним є також і час, що плине рівномірно і не залежать від фізичних процесів, які протікають у розглядуваній ділянці простору.
Довжина траєкторії, яку описує м.т. під час свого руху, називається шляхом. Шлях - це величина скалярна. Вектор
, що сполучає початкове і кінцеве положення точки, називається вектором переміщення. Він з'єднує попереднє і наступне положення точки на траєкторії. Його легко зв'язати із зміною координат точки з час переміщення, як : 
.Описати рух тіла означає, що кожному моменту необхідно співставити значення координат усіх її частин відносно вибраної системи відліку. Найменша кількість параметрів, які повністю визначають положення тіла в просторі, називають кількістю ступенів вільності. Наприклад, положення м.т. в певний момент визначають значення трьох координат
, тому вона має три ступені вільності. Як переконаємось у подальшому, саме від цих координат залежить потенціальна енергія одного тіла в полі гравітаційних сил інших. Якщо 
фізичне тіло має вигляд жорсткої гантелі, то ступенів вільності є п’ять: із них 3 – поступального і 2 – обертового рухів, оскільки обертання навколо власної осі симетрії положення у просторі не змінює.
2. РІВНЯННЯ РУХУ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ. Основним завданням кінематики є встановити закон руху. У заданій системи відліку він вважається відомим, якщо встановлено, за допомогою якого способу можна визначити положення, швидкість та прискорення м.т. чи тіла в довільний момент.
В кінематиці положення м.т. може визначатися: радіус-вектором
(векторний спосіб); шляховою координатою 
(природний спосіб); координатами 
(координатний спосіб). Тому, математичний опис руху точки задається координатним, векторним чи натуральним рівняннями
Всі ці рівняння ще називаються параметричними, так як у них параметром є час
. Якщо з рівнянь виключити параметр , то одержимо рівняння траєкторії руху, яку описує кінець радіус-вектора. 3. ШВИДКІСТЬ РУХУ ТОЧКИ. Швидкість - це просторово–часова міра руху, яка характеризує зміну положення точки в цю мить у цій системі відліку. При рівномірному та прямолінійному переміщенні точки відношення пройденого шляху
до відповідного проміжку часу 
відображає середню шляхову швидкість. Вважаємо, що часовий інтервал
завжди додатний, тому 
має той самий знак, що й . Дійсно, точка може рухатись у бік як зростання, так і зменшення координати. У першому видаку 
, тоді як у другому 
. При рівномірному русі швидкість визначається як векторним 
, так і природним 
способами, 
– одиничний вектор дотичної до траєкторії руху в заданій точці, за допомогою якого задається напрям вектора швидкості.Під час криволінійного руху модуль вектора переміщення
=
, але якщо значення цих величин малі, то різниця між ними незначн. Тому, для нерівномірного руху вектор відношення 
=
можна розглядати як такий, величина і напрям якого характеризують швидкість руху уявлювальної точки, що рухається рівномірно по хорді (рис.). Тому вектор (2.3.2) розглядають як вектор середньої швидкості нерівномірного криволінійного руху.
З
а вектор середньої швидкість нерівномірного криволінійного руху можна прийняти вектор швидкість такого рівномірного прямолінійного руху, в якому точка пройшла б це переміщення за такий самий проміжок часу, що і під час нерівномірного криволінійного руху. Середня швидкість є функцією інтервалу часу
і для кожного його значення вона взагалі різна. Тому, щоб детальніше визначити характер руху, доцільно перейти у формулі до границі при 
: 
. - Ця швидкість називається миттєвою і виражає характер руху в конкретний момент. Миттєва швидкість – це межа, до якої прямує середня швидкість при нерівномірному русі , коли проміжок часу . Вона характеризує не лише швидкість руху вздовж траєкторії, але і її напрям у вибраній системі координат. 
. Знання швидкості дозволяє вирішити зворотну задачу кінематики, коли треба знайти шлях.Це можна зробити шляхом інтегрування виразу
за часом як 
. У прямокутній декартовій системі координат
із ортами 
вектор 
виражається через проекції 
: 
. Тоді згідно із теоремою Піфагора
. 4. ПРИСКОРЕННЯ ЯК МІРА ЗМІНИ РУХУ. Просторово-часовою характеристикою зміни швидкості руху є прискорення. В інерційній системі відліку вектором миттєвого прискорення є перша похідна
. Вектор прискорення у довільний момент
, або, прийнявши до уваги вираз 
, 
=
. Отже, вектор прискорення точки дорівнює першій похідній від вектора швидкості за часом або другій похідній від радіус-вектора переміщення точки в визначений момент. Якщо рівняння руху задані у координатній формі, то вектор
можна виразити через значення декартових координат як
,а його модуль
. Однак, якщо ж рівняння руху задати натуральним способом, то повне прискорення точки складатиметься з двох прискорень: тангенційного або дотичного
та нормального або доцетрового 
. Розглянемо це детальніше.5
. ТАНГЕНЦІЙНЕ І НОРМАЛЬНЕ ПРИСКОРЕННЯ . Під час змінного руху точки вздовж криволінійної траєкторії вектор її швидкості 
змінюється за модулем і за напрямом в просторі. 
, . Ця формула виражає розклад вектора повного прискорення
за складовими 
, як проекції на дотичну 
, і 
, як проекцію на нормаль 
до неї (рис.), де вектори і взаємно перпендикулярні між собою. Тоді згідно із теоремою Піфагора одержуємо, що 
. Отже, якщо тангенційне прискорення характеризує зміну за одиницю часу модуля вектора швидкості вздовж траєкторії руху, то нормальне - зміну за одиницю часу вектора швидкості за напрямком у просторі. Наприклад, під час рівномірного обертання точки по колу
=0, а 
, тоді як у випадку прямолінійного змінного руху 
, а 
. 6. КІНЕМАТИКА ОБЕРТАЛЬНОГО РУХУ. При обертовому русі тіла всі його точки описують кола в площині, що перпендикулярна до осі обертання з центром на цій осі.
П
оложення тіла, що обертається наколо нерухомої осі
(рис.), описується кутом повороту 
. Відповідно до правогвинтової системи декартових осей кут повороту вважається додатним, якщо він відлічений проти ходу стрілки годинника, коли дивитися з боку додатнього напряму осі 
. Напрям обертання тіла вважається додатним, якщо кут повороту зростає, і від’ємним , коли цей кут зменшується. Кожному моменту відповідає цілком певне значення кута повороту =
. Ц
я залежність називається рівнянням обертального руху тіла навколо нерухомої осі. Якщо функція відома, то кажуть, що відомий закон обертання абсолютно твердого тіла. За аналогією з поступальним рухом побудуємо відповідні кінематичні характеристики і кінематичні рівняння обертального руху. Куту повороту умовно приписують вектрний характер 
, напрям якого спрямований вздовж ос обертання (рис.). На відміну від вектора швидкості чи прискорення, він не має точки прикладання, тому відноситься цей вектор до так званих псевдовекторів або аксіальних чи осьових. Наголосимо, що для таких векторів напрям у просторі приписується умовно і на їх орієнтацію впливає характер вибору системи координат правогвинтової чи лівогвинтової .
, - відношення є кінематичною характеристикою обертального руху і називається кутовою швидкістю. Якщо вона стала
, то такий обертальний рух рівномірний. У фізиці прийнято кути вимірювати в радіанах, тому одиницею кутової швидкості є радіан за секунду 
.Нерівномірне обертання характеризують середньою кутовою швидкістю
,як відношення приросту кута повороту
до відповідного проміжку часу 
.Границя, до якої наближається середня кутова швидкість за умови
, називається кутовою швидкістю в цей момент часу або миттєвою кутовою швидкістю
. Кутовій швидкості також приписують векторний характер
і напрям цього вектора також лежить на осі обертання. Середнім кутовим прискоренням нерівномірного обертального руху називається кутове прискорення такого рівнозмінного обертання, в якому кутова швидкість одержує той самий приріст
протягом того самого проміжоку часу , що й у нерівномірному обертальному русі: 
.Границя відношення при
визначає величину кутового прискорення в визначений момент і називається миттєвим:
.Із тангенційним і нормальним прискоренням поступального руху воно зв'язане за допомогою таких співвідношень
. Кутове прискорення, як і кутова швидкість, також величина векторна. Вектор
, як і вектор 
, спрямований вздовж нерухомої осі обертання, однак на його напрям ще впливає знак приросту кутової швидкості 
. Якщо 
, то вектори і орієнтовані у одному напрямку вздовж осі обертання. Якщо 
, то вектори і орієнтовані у взаємнопротилежних напрямках.Вектор швидкості довільної точки твердого тіла, що не лежить на осі обертання, в обертальному русі дорівнює векторному добутку вектора
і її радіуса – вектора 
:
. Вектор швидкості
перпендикулярний до площини, що утворена радіус-вектором 
і аксіальним , який спрямований вздовж осі обертання так, що трійка векторів 
утворює правогвинтову систему.