Лекція № 1
1. Кінематика поступального руху.
2. Кінематика обертального руху твердого тіла.
3. Зв'язок між величинами поступального і обертального рухів.
МЕХАНІКА
Механіка вивчає закономірності простих процесів матеріального світу: просторових переміщень взаємодіючих тіл, або їх частин одна відносно одної, а також закони рівноваги таких тіл.
Механіку поділяють на 3 розділи: кінематику, динаміку і статику.
12
КІНЕМАТИКА ПОСТУПАЛЬНОГО РУХУ
Кінематика вивчає закономірності відносного руху тіл в просторі, незалежно від факторів, які породжують цей рух. ( закони механічного руху тіл без аналізу причин, що їх зумовлюють.)
Зупинимось на системі понять, які вводять в кінематиці.
Найпростіший вид руху – механічний.
Механічним рухом тіла називається зміна його положення в просторі відносно інших тіл з зміною часу.
Прості приклади механічного руху – поступальний і обертальний.
Рух тіла, при якому всі його точки в даний момент часу рухаються однаково називається
поступальним рухом.
Рух тіла, при якому всі точки рухаються по колах, центри яких лежать на одній і тій же прямій ( яка називається віссю обертання ) називається обертальним.( Автомобіль – кузов рухається поступально, колеса – обертово ).
Найпростіший рух задається матеріальною точкою.
Матеріальною точкою називається тіло, розмірами якого в даних умовах можна знехтувати ( рис. 1 ).
Рис. 1
( При дії тіл одне на одне можлива їх деформація, тобто можуть змінювати свою форму і розміри,
Тому в механіці вводиться ще одна модель – тверде тіло ).
Абсолютно тверде тіло – тіло, деформаціями якого можна знехтувати в даних умовах.
Щоб описати механічний рух тіла ( матеріальної точки ) потрібно знати його координати в любий момент часу.
В декартовій системі координат положення точки А в даний момент часу по відношенню до цієї системи характеризується трьома координатами ОХ, ОУ, ОZ, або радіус – вектором r , проведеним з початку координат в дану точку.
Радіус – вектор r - вектор, який з’єднує початок координат і матеріальну точку та служить для опису її положення в просторі.
В загальному випадку рух матеріальної точки визначається скалярними рівняннями
х = х(t), у = у(t), z = z(t) ( 1 )
При русі координати з часом змінюються.
Рис. 2
В процесі руху матеріальної точки радіус – вектор буде змінюватися по величині і напряму і отже буде являтись функцією часу
r t ( рис. 2 ). Ці рівняння еквівалентні векторному рівнянню
r
r t
( 2 )
Нехай матеріальна точка, рухаючись в часі. перемістилась з точки 1 в точку 2
( рис. 3 ).
Лінія, яку описує матеріальна точка при своєму русі називається траєкторією.
Відстань між точками 1 і 2 пройдена вздовж траєкторії називається шляхом ∆S.
Відрізок прямої, проведеної з початкового положення частинки в наступне (кінцеве) називається
переміщенням. ( Вектор переміщення
r
– вектор, який з’єднує попередне 1 та наступне 2
положення. )
Переміщення характеризується крім числового значення також і напрямом
( векторна величина ).
Рис. 3
Для кількості характеристики процесу руху вводять поняття швидкості.
Нехай за час ∆t частинка здійснює переміщення
r
, яке дорівнює приросту радіус – вектора частинки r .
Вектором середньої швидкості
називається векторна величина,що дорівнює відношенню приросту
r
радіус – вектора матеріальної точки до проміжку часу ∆t.
r
t
( 3 )
Напря вектора
співпадає з напрямом
r
. Якщо
0
t
, то отримаємо вектор миттєвої швидкості.
Вектор миттєвої швидкості дорівнює границі, до якої прямує вектор середньої швидкості, якщо
інтервал часу, прямує до нуля. lim
r
dr
r
t
dt
( 4 )
З ( 4 ) випливає, що вектор миттєвої швидкості
матеріальної точки в момент часу t – це вектор, який визначається значенням похідної за часом від радіуса вектора рухомої точки.
Швидкість ( миттєва швидкість ) у кожній точці траєкторії напрямлена по дотичній і зображається відповідним вектором.
Знайдемо модуль миттєвої швидкості.
Отже lim lim
r
r
t
t
З математики відомо, що межа відношення хорди до дуги дорівнює одиниці, якщо кут, на який спирається дуга
0
Якщо
0
t
1
r
S
lim lim
r
s
s
s
t
t
( 5 )
ds
s
dt
( 6 )
З формули ( 6 ) випливає, що
1) модуль миттєвої швидкості дорівнює першій похідній шляху по часу;
2)вектор швидкості спрямований по дотичній до траєкторії у даній точці, бо похідна
ds
dt
дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до кривої у цій точці.
При нерівномірному русі матеріальної точки вектор її швидкості змінюється з часом і головною характеристикою цих змін є прискорення.
Середнім прискоренням нерівномірного руху
a
називається векторна величина, що дорівнює відношенню зміни швидкості
до інтервалу часу ∆t
a
t
( 7 )
Прискорення ( миттєвє прискорення ) матеріальної точки – це границя, до якої прямує прискорення, коли
0
t
0 0
lim lim
t
t
d
a
a
t
dt
2 2
d
d s
a
s
dt
dt
( 8 )
З формули (8 ) випливає, що прискорення
a
є векторна величина, що дорівнює першій похідній швидкості по часу, або другій похідній шляху по часу.
Нехай в точці А в момент часу t вектор швидкості
, а в точці В за час ∆t вектор швидкості
1
Перенесемо вектор
в точку А і знайдемо
Розкладемо вектор
на дві складові. Для цього з точки А по напряму швидкості відкладемо вектор
AD
, по модулю рівний
1
. Очевидно, що вектор
CD
дорівнює
визначає зміну швидкості по модулю за час ∆t
1
Друга складова вектора
-
Í
характеризує зміну швидкості за час ∆t по напряму.
Виходячи з рівності ( 8 ) прискорення можна розбити на дві складові:
1) тангенціальне прискорення
a
- характеризує зміну швидкості по величині ( модулю ), а вектор цього прискорення направлений по дотичній до траєкторії.
0 0
lim lim
t
t
a
t
t
d
a
dt
( 9 )
2) нормальне прискорення
Í
a
- характеризує зміну швидкості по напряму, а вектор цього прискорення направлений до центра траєкторії.
Знайдемо величину нормального прискорення.
Розглянемо подібні трикутники АОВ
і
ЕАД
( Рис. 4 )
ДЕ
АД
АВ
R
1
Í
ÀÂ
R
АВ
S
t
S
O
R
A
n
В
D
C
1
Рис. 4
Оскільки S
можна вважати дугою кола деякого радіуса
r
, що мало відрізняється від хорди АВ.
1
Í
t
R
Якщо
0
t
1
1.
0
ЕАД
2. ЕАД
- рівнобедрений
3. АДЕ
між
і
Í
2
Якщо
0
t
, то вектори
Í
і
взаємно перпендикулярні ( рис. 5 ).
Так як вектор швидкості направлений по дотичній до траєкторії, то вектор
Í
перпендикулярний вектору швидкості і направлений до центра її кривизни ( нормальна до траєкторії
).
2 0
lim
Í
Í
t
à
t
R
( 10 )
Отже повне прискорення тіла запишемо
Рис. 5
H
a
a
a
( 11 )
Згідно теореми Піфагора повне прискорення визначається
2 2
2 2
2
H
d
a
a
a
dt
R
( 12 )
Залежно від значень тангенціального і нормального прискорень рухи можуть бути різними.
Розглянемо такі варіанти.
1.
2 0
Í
a
R
. З цього випливає, що R
Отже,
a
à
- рух прямолінійний.
2.
0
Í
a
;
0
d
à
dt
. Отже,
0
d
dt
;
const
- рух прямолінійний і рівномірний. Оскільки
ds
dt
, а ds sdt
, то, про інтегрувавши останній вираз, отримаємо формулу шляху прямолінійного рівномірного руху:
0
t
s
dt
t
( 13 )
3.
0
Í
a
;
d
a
const
dt
;
à
a
const
- рух прямолінійний, рівномірно змінний. Оскільки
d
a
dt
, знайдемо формулу для визначення швидкості і шляху цього руху: а) d
a dt
;
0
t
d
a dt
;
0
a t
;
0
a t
( 14 ) де
0
- початкова швидкість;
- кінцева швидкість;
t - інтервал часу, за який швидкість змінилась від ;
0
б)
ds
dt
;
ds
dt
a t dt
Проінтегруємо останній вираз:
0 0
s
t
s
ds
a t dt
2 0
0 2
at
s
s
t
, звідси
2 0
0 2
a t
s
s
t
( 15 ) де
s
- шлях, пройдений тілом за час t ;
0
s
- шлях у момент часу
0 0
t
Якщо
0
à
рух рівноприскорений, якщо
0
à
рівносповільнений.
4.
0
a
;
Í
a
const
- рівномірний рух точки по колу. В цьому русі лінійна швидкість весь час змінює свій напрямок, залишаючись сталою за модулем.
КІНЕМАТИКА ОБЕРТАЛЬНОГО РУХУ
ТВЕРДОГО ТІЛА
Розглянемо тверде тіло, яке обертається навколо нерухомої осі.
Якщо за однакові проміжки часу
t
тіло повертається на однакові кути
, то обертання називається рівномірним.
Зупинимось на системі понять, якими описують обертальний рух.
Нехай за час ∆t тіло обертається на кут
( рис. 6 ) .
Тоді величину
t
( 1 ) називають кутовою швидкістю.
Одиниця вимірювання кутової швидкості в системі СІ [ ω ] = рад/с.
Радіан дорівнює куту між двома радіусами кола, довжина дуги між якими дорівнює радіусу.
Рис. 6
Рівномірний обертальний рух характеризується слідуючими величинами:
1) період Т – час, за який тіло здійснює 1 повний оберт і повертається на кут 2π.
Оскільки
∆φ = 2π
2
T
2
T
( 2 )
2) частота обертання
- число повних обертів, що здійснює тіло за одиницю часу.
1 2
T
( 3 )
2 2
T
( 4 )
При нерівномірному русі вираз ( 1 ) дає середнє значення кутової швидкості.
t
( 5 )
Миттєве значення кутової швидкості визначається формулою
0
lim
t
d
t
dt
( 6 )
Для орієнтації осі обертання в просторі і напрямку обертання вводять векторну величину
,напрям якої підпорядковується правилу правого гвинта ( рис. 7 ).
Рис. 7
Вектори, напрями яких звязують з напрямом обертання називаються псевдовекторами, або
аксіальними векторами. Ці вектори не мають визначених точок прикладання: вони можуть відкладатися із любої точки осі обертання.
Зміна
з часом характеризується величиною, яка називається кутовим прискоренням
2 2
0
lim
t
d
d
t
dt
d t
( 7 )
Одиниця вимірювання кутового прискорення
в системі СІ - [
] = рад/с
2
Вектори
і
є псевдовекторами.
Якщо напрям осі обертання в просторі не змінюється, то вектор
може змінюватися тільки по модулю. При обертанні тіла навколо нерухомої осі вектор
направлений вздовж осі обертання в сторону вектора елементарного приросту кутової швидкості. При прискореному русі вектори
і
направлені в одну сторону, при сповільненому русі – в протилежні ( рис. 8 ).
Рис. 8
Знайдемо зв'язок між лінійними (
, ,
,
í
S
a a
) і кутовими величинами ( , ,
).
Знайдемо модуль лінійної швидкості
0 0
0
lim lim lim
t
t
t
s
R
R
R
t
t
t
R
( 8 )
Представимо рівність ( 8 ) у векторній формі
R
( 9 )
Запишемо формулу для визначення нормального прискорення
2
Í
a
R
( 10 )
Підставимо формулу ( 8 ) увираз ( 9 )
2
í
a
R
( 11 )
Продиференціюємо рівняння ( 8 ) по часу
d
R
d
d
a
R
dt
dt
dt
d
a
R
R
dt
a
R
( 12 )
При рівнозмінному обертанні (
const
) і виразу
d
dt
отримаємо
d
dt
0 0
t
d
dt
0
t
( 13 ) де
0
– початкова кутова швидкість.
Проінтегрувавши вираз
d
dt
, отримаємо
0 0
0
t
d
t dt
2 0
0 2
t
t
( 14 )