Найкращі наближення класів згорток
Напрямок, пов’язаний із вивченням найкращих наближень класів згорток бере своє начало ще у роботах П.Л.Чебишева, котрий у 50-х роках XIX століття постановив проблему про те щоб знайти поліном, що не дуже віддаляється від заданої нерозривної функції. Зчасом цей шлях в теорії наближення дістав майбутнього розвитку за рахунок праць К.Вейєрштрасса, Д.Джексона, С.Н.Бернштейна, Валле Пуссена та ін. Під час цього на початкових кроках піднесення теорії наближення продовжувалось вивчення наближень деких функцій.
Для прикладу, у 1936 році Ж.Фавар обрахував конкретну важливість найкращих рівновеликих наближень тригонометричними поліномами ранг яких не перевищує n-1 на класах Wr∞, rN, 2-періодичних функцій f(x) для яких (r-1)-а похідна f(r-1)(x) є цілком нерозривною на [-,], а f(r)(x) завжди вдовольняє вимогу | f(r)(x)|≤1, дослідивши, що
.Завдання одержання конкретних результатів найкращих наближень в рівновеликій та інтегральній метриці для різних функціональних задач було головною проблемою для таких відомих математиків XX століття як Н.І.Ахієзера, М.Г.Крейна, Б.Надя, С.М.Нікольського, В.К.Дзядика, С.Б.Стєчкіна, Сунь Юн Шена, М.П.Корнєйчука, В.Ф.Бабенка та ін.
Також було обраховано вірогідну роль найкращих наближень у рівномірній та інтегральній метриці класів 2π-періодичних функцій, які відображаються за підтримки згорток із сталими ядрами
, коефіцієнти Фур’є яких мають показникові швидкості спадання до 0. За рахунок одержаних висновків було описано точні ролі колмогоровських, берштейнівських та лінійних поперечників для даних класів у метричних простотах C і L.Тобто, якщо
– простір 2π-періодичних сумованих на 
функцій φ з нормою
– простір вимірних і суттєво обмежених 2π-періодичних функцій із нормою
C – простір неперервних 2π-періодичних функцій φ, у якому норма задається рівністю
Також існують роботи в яких було досліджено раціональні наближення класів 2π-періодичних функцій, які зображені згортками функцій з
з фіксованими ядрами, які задані за допомогою суми ряду за системою Такенака-Мальмквіста, досліджувалось знаходження порядкових оцінок для величин найкращих рівномірних раціональних наближень, в яких фіксовані полоси для функцій із запропонованих класів.Виявлено асимптотичні співвідношення для найвищих граней наближенння неповними сумами Фур’є для метрик наступних просторів
C i Lp, 1≤p≤∞, на класах для інтегралу Пуассона періодичних функцій, які належать одиничним кулям просторів Lp, 1≤p≤∞, і L1. Результати, що отримали було узагальнено на класи (,)-диференційовних функцій, які дають змогу аналітично продовжувати дослідження у фіксованій смузі комплексної площини.
Список використаної літератури
Ахизер Н. И., Крейн М. Г. О наилучшем приближении тригонометрическими суммами дифференцируемых периодических функций // Докл. АН СССР. – 1937. – 15, №3. – С.107 – 112.
Дзядык В.К. О наилучшем приближении на классах периодических функций, определяемых ядрами, являющимся интегралами от абсолютно монотонных функций // Там же. – 1959. – 23. – С.933 – 950.
Никольский С. М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв. АН СССР. Сер. Мат. – 1946. – 10 –
С.207 – 256.
Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функцій. – Киев: Наук. думка, 1987. – 286с.
Стечкин С. Б. О наилучшем приближении некоторых классов периодических функций тригонометрическими полиномами // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1956. – 20. – С.643 – 648.