Ім'я файлу: Метричні співвідношення в довільному чотирикутнику.doc
Розширення: doc
Розмір: 863кб.
Дата: 17.04.2022
скачати
Розширення: doc
Розмір: 863кб.
Дата: 17.04.2022
скачати
Міністерство освіти і науки України
Мала Академія Наук
НАУКОВА РОБОТА
з математики
на тему
Метричні співвідношення в довільному чотирикутнику
Виконав
Науковий керівник
2019
ЗМІСТ
РОЗДІЛ 1 5
ПОНЯТТЯ БАГАТОКУТНИКА ТА ВИДИ ЧОТИРИКУТНИКІВ 5
1.1Поняття багатокутника 5
1.2Чотирикутники та їх види 7
РОЗДІЛ 2 11
МЕТРИЧНІ СПІВВІДНОШЕННЯ В ДОВІЛЬНОМУ ЧОТИРИКУТНИКУ 11
2.1 Метричні співвідношення в довільному опуклому чотирикутнику 11
11
2.2 Нерівності чотирикутника та Птолемея 11
2.3 Теореми про середні лінії чотирикутника 12
2.4 Теорема косинусів для чотирикутника та співвідношення Бретшнайдера 14
РОЗДІЛ 3 20
ПЛОЩА ЧОТИРИКУТНИКІВ 20
РОЗДІЛ 4 23
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ З ЧОТИРИКУТНИКАМИ 23
4.1 Приклади застосування теорії метричних співвідношень в чотирикутниках при розв’язанні простих задач 23
4.2 Приклади застосування теорії метричних співвідношень в чотирикутниках при розв’язанні задач математичних олімпіад 27
4.3 Приклади застосування теорії метричних співвідношень в чотирикутниках в практиці 32
ВИСНОВКИ 33
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 35
ВСТУП
Чотирикутник є однією з найважливіших фігур в геометрії. Вивченням властивостей чотирикутника займалися найвизначніші математики з давніх часів. Так, ще в книзі I «Начал» Евкліда розглядаються основні властивості прямокутників, паралелограмів та проводиться порівняння їх площ.
В курсі геометрії школи вивчення чотирикутників є традиційним і досить важливим розділом у всіх періодах шкільної освіти. На цьому матеріалі, як на фундаменті, будують і вивчаються інші розділи геометрії: перетворення фігур, площі, багатокутники. Крім того, вивчення багатогранників, площ і об’ємів також базується на цій темі. Без міцних знань цього матеріалу неможливе успішне подальше вивчення математики та творчий підхід до розв'язування математичних задач.
Досвід проведення іспитів в школі, вступних іспитів до ВНЗ та математичних олімпіад показує, що багато учнів не володіють методами та прийомами розв'язування геометричних задач. Прості планіметричні задачі викликають труднощі навіть у тих, хто успішно справляється із задачами алгебри, тригонометрії. Причому це стосується не тільки завдань, для розв'язування яких необхідно проявити винахідливість, а й завдань, розв’язання яких передбачає застосування стандартних теорем і формул шкільного курсу геометрії, зокрема теореми косинусів, синусів, формул площі трикутника, паралелограма, ромба тощо.
На відміну від розгляду метричних властивостей трикутника висвітлення таких властивостей чотирикутника як окремої теми курсу геометрії є ще недостатнім.
Усе це обумовлює актуальність обраної теми.
Мета роботи полягає у вивченні метричних властивостей чотирикутника.
Об'єктом дослідження є геометрія чотирикутника, його метричні властивості.
Предмет дослідження - вибрані питання метричних властивостей чотирикутника.
Відповідно до мети, об'єкту і предмету дослідження були поставлені наступні завдання:
1. Розглянути основні поняття, що використовуються в геометрії чотирикутників, різні види чотирикутників та їх властивості.
2. Виявити метричні співвідношення в чотирикутнику.
3. Розглянути формули для знаходження площі чотирикутника.
4. Узагальнити та систематизувати матеріал за обраною темою.
5. Розглянути приклади задач на метричні співвідношення в чотирикутнику та методику їх розв’язання.
Методом дослідженняє робота з інформаційними джерелами, узагальнення інформації, яка подана в них, аналіз вирішення проблем, пов’язаних з темою.
Цілком зрозуміло, що тема, яка розглядається у цій роботі, досить широка і тому ми вимушені, розглянувши відповідні її складові, обмежитись розглядом їх підмножин.
РОЗДІЛ 1
ПОНЯТТЯ БАГАТОКУТНИКА ТА ВИДИ ЧОТИРИКУТНИКІВ
Поняття багатокутника
Ламаною А1А2А3....Аn називається фігура, яка складається з точок А1, А2,....Аn і відрізків А1А2, А2А3,....,Аn-1Аn, які їх сполучають. Точки А1, А2,....Аn – це вершини, а відрізки А1А2, А2А3,....,Аn-1Аn – ланки ламаної.
Ламана називається простою, якщо вона не має самоперетинів. Ламана називається замкнутою, якщо у неї співпадають кінці. Довжина ламаної – це сума довжин її ланок. Довжина ламаної не менша довжини відрізка, що сполучає її кінці – це основна властивість ламаної. Об’єднання простої замкненої ламаної та її внутрішньої області називається багатокутником. Сама ламана при цьому називається межею багатокутника, а її внутрішня область – внутрішньою областю багатокутника.
Ланки ламаної називаються сторонами багатокутника. Точки, в яких перетинаються дві суміжні ланки, називаються вершинами багатокутника. Кути, утворені двома суміжними сторонами багатокутника, називаються внутрішніми кутами багатокутника. Кути, суміжні з внутрішніми кутами багатокутника, називаються його зовнішніми кутами.
Діагоналлю багатокутника називається відрізок, що з'єднує дві не сусідні вершини. Сума довжин усіх сторін багатокутника називається його периметром і позначається буквою Р або 2р, де р – півсума всіх його сторін (півпериметр). Залежно від числа сторін многокутник називається трикутником, чотирикутником, п'ятикутником тощо. Багатокутник часто називають n-кутником, де n – число його сторін (вершин, кутів). Правильним багатокутником називається опуклий багатокутник, у якого всі кути рівні й усі сторони рівні. Прикладами правильних багатокутників є рівносторонній трикутник, квадрат.
Наведемо формулу для обчислення кута правильного n-кутника. Сума всіх кутів такого n-кутника дорівнює (n – 2)·180°, причому всі його кути рівні, тому
.Коло називається описаним навколо багатокутника, якщо всі вершини багатокутника лежать на цьому колі.
Теорема 1. Навколо будь-якого правильного багатокутника можна описати коло, і до того ж тільки одне. Коло називається вписаним у багатокутник, якщо всі сторони багатокутника дотикаються до цього кола.
Теорема 2. У будь-який правильний багатокутник можна вписати коло і до того ж тільки одне.
Наслідок 1. Коло, вписане в правильний багатокутник, дотикається до сторін багатокутника в їх серединах.
Наслідок 2. Центр кола, описаного навколо правильного багатокутника, збігається з центром кола, вписаного в цей багатокутник. Ця точка називається центром правильного багатокутника або центром мас.
Площа правильного багатокутника дорівнює добутку його півпериметра на апофему (апофемою називають висоту, опущену з центра багатокутника на його сторону). Також площу правильного багатокутника можна обчислити за наступними формулами
, де a, R, r - сторона правильного багатокутника, радіус описаного та вписаного кіл відповідно. [2, c.53]