Контрольна модульна робота
Тема: «Методи мінімізації для задачі оптимального керування
з вільним правим кінцем»
Постановка завдання
Нехай задана наступна задача оптимального керування, пов’язана з лінійною системою: мінімізувати функціонал
(1)за умов
, 
; (2)
; (3)
, (4)де
, 
шукані функції на відрізку ; 
, 
задані функції, неперервні за сукупністю своїх змінних разом із частинними похідними по 
і 
при 
, 
; 
задані неперервні функції на 
; сталі 
, 
, моменти часу 
і початкова точка 
задані.Для розв’язання задачі оптимального керування (1)-(4) необхідно:
1. Побудувати градієнт
функціонала (1) за умов (2)-(4) в кожній точці 
за формулою
, , (5)де
розв’язок задачі (2), (3) при 
; 
розв’язок задачі
, ; (6)
. (7)2. Дослідити функціонал (1) за умов (2)-(4) на опуклість, для чого:
а) перевірити функцію
на опуклість по на 
, тобто
, (8)при будь-яких
, 
і 
;б) перевірити
на опуклість за сукупністю змінних і , тобто
, (9)при будь-яких
, , 
і ;3. Побудувати сітковий аналог функціонала
на рівномірній сітці точок
, 
з використанням будь-якої квадратурної формули, зокрема формули правих прямокутників [3]:
, (10)де
, (11)
, 
, 
; 
гільбертовий простір сіткових функцій 
, визначених на сітці 
, зі скалярним добутком 
елементів 
і нормою 
.4. Розробити підпрограму розв’язання задачі Коші (2), (3) при фіксованому
методом Рунге-Кутта [1, 3]. Наближений розв’язок 
, 
цієї задачі отримати в точках сітки з п. 3.5. Розробити підпрограму розв’язання спряженої по відношенню до (2), (3) задачі Коші (6), (7). Наближений розв’язок
, 
, спряженої задачі отримати в точках сітки з п. 4.6. Реалізувати для мінімізації сіткового функціонала (10) на множині (11) ітераційні процеси
:а) методу проекції градієнта
, 
; 
, (12)де
оператор проектування простору 
на множину 
; 
сітковий аналог градієнта (5) в точці 
; 
ітераційний параметр [2];б) методу умовного градієнта
, ; , (13)де
ітераційний параметр; 
допоміжне наближення, яке вибирається з умови 
і яке для множини (11) виписується в явному вигляді:
; 
, За критерій зупинки ітераційного процесу взяти один з наступних критеріїв:
; 
; 
,де
задана точність обчислень.7. Видати на друк в чисельному та графічному виглядах отримані кожним з ітераційних методів п.6 результати розв’язання задачі керування (1)-(4), а саме:
сіткову функцію керування
; фазову траєкторію
; наближене значення
функціонала (1); значення
для сіткового аналога градієнта (5); кількість k необхідних ітерацій для досягнення заданої точності обчислень.
8. Провести аналіз отриманих результатів при різних значеннях
та , обґрунтувати практичну збіжність сіткового методу для задачі (1)-(4).Допоміжні відомості
I. Метод Ейлера чисельного розв’язання задачі Коші для ЗДР
, 
(14)з початковою умовою
(15)реалізується за формулами
, 
, (16)де
; 
, 
вузли рівномірної (для простоти) сітки точок
, .Користуючись початковою умовою (15) і покладаючи в формулі (16)
, можна послідовно знайти всі наближені значення 
розв’язку задачі (14), (15).II. Метод Рунге-Кутта четвертого порядку точності для чисельного розв’язання задачі Коші (14), (15) реалізується за формулами
, , (17)де
, 
, 
,
.Література
1. Балашова С.Д. Чисельнi методи: Ч. 2. Методи розв’язування диференцiальних та iнтегральних рiвнянь: Навч. посiбник. – К.: НМК ВО, 1992. – 326 с.
2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. - М.: Наука. - 1980. - 518 с.
3. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.: Наука, 1989. – 432 с.
4. Кісельова О.М., Гарт Л.Л. Математичні методи системного аналізу: навч. посіб. – Дніпро: РВВ ДНУ, 2019. – 124 с.
5. Гарт Л.Л., Поляков Н.В. Применение проекционно-итерационных методов к решению задач оптимального управления со свободным правым концом // Питання прикладної математики i математичного моделювання. – Д.: ДНУ, 2000. – С. 23-29.