ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 5-1
Задание 1
С помощью средств программной среды Matlab был найден отрезок локализации для наименьшего положительного корня:
Из рисунка видно, что график пересекает ось ОХ между 1 и 2, при этом меняя свой знак на противоположный. Значит отрезок локализации будет [1;2] удовлетворяя условие b - a = 1. В качестве начального приближение выберем значение 1.8. Приведем код соответствующей программы для расчёта в среде Matlab:
clear all;
x=-1:0.1:3;%сетка х
y=length(x);%сетка y
y=fun(x);%вызов функции для расчета сетки y
plot(x,y);%график для определения отрезка локализации
grid on;
%с графика видно, что отрезок локализации будет [1;2] для положительного корня
a=1;%нижняя граница
b=2;%верхняя граница
x00=1.8;%выберем начальное приближение на отрезке
x01=1.7;
d=1.7;%фиксированая точка
e0=1e-3;%погрешность 1
e1=1e-4;%погрешность 2
[x1,n1]=bisec(a,b,e0);%вызов функции для расчета по методу бисекции
q=abs(recur_fun_deriv(b-a));%проверили рекурсивную формулу на отрезке по условию Липшица
[x2,n2]=simple_iter(x00,e1);%вызов метода простой итерации
%найдем оптимальную скорость сходимости на отрезке для метода релаксации
g=a:0.1:b;
h=fun_deriv(g);
M=max(abs(h));
m=min(abs(h));
alpha=2/(M+m);%оптимальная скорость схождения
[x3,n3]=relaxation(x00,alpha,e1);%вызов метода релаксации
[x4,n4]=newton(x00,e1);%вызов метода ньютона
[x5,n5]=secant(x00,x01,e1);%вызов метода секущих
[x6,n6]=false_position(x00,d,e1);%вызов метода ложного положения
function y = fun(x)%функция
y=log(x+2)-x.^2;
end
function xi = recur_fun(x)%рекуррентная формула
xi=sqrt(log(x+2));
end
function y = fun_deriv(x)%производная от начальной фукнции
y=1./(x+2)-2.*x;
end
function [c,n] = bisec(a,b,e)
c=0;%инициализация начального значения
n=0;%инициализация начального значения
while 1
c=(a+b)/2;
if fun(c)==0
x=c;
break;
end
if (fun(c)*fun(a))<0
b=c;
else
a=c;
end
n=n+1;
if abs(b-a)<=e
break;
end
end
end
function [x,n] = simple_iter(x0,e)
x=0;
n=0;
prev=x0;
while 1
x=recur_fun(prev);
n=n+1;
if abs(prev-x)<=e
break;
end
prev=x;
end
function [x,n] = relaxation(x0, alpha, e)
x=0;
n=0;
prev=x0;
while 1
x=prev+alpha*fun(prev);
n=n+1;
if abs(prev-x)<=e
break;
end
prev=x;
end
function [x,n] = newton(x0,e)
x=0;
n=0;
prev=x0;
while
x=prev-fun(prev)/fun_deriv(prev);
n=n+1;
if abs(prev-x)<=e
break;
end
prev=x;
end
end
function [x,n] = secant(x0,x1,e)
x=0;
n=0;
prev0=x0;
prev1=x1;
while 1
x=prev1-(prev1-prev0)/(fun(prev1)-fun(prev0))*fun(prev1);
n=n+1;
if abs(prev1-x)<=e
break;
end
a=prev1;
prev1=x;
prev0=a;
end
end
function [x,n] = false_position(x0,d,e)
x=0;
n=0;
prev=x0;
while 1
x=prev-(d-prev)/(fun(d)-fun(prev))*fun(prev);
n=n+1;
if abs(prev-x)<=e
break;
end
prev=x;
end
end
Задание 2
Метод бисекции относится к классу глобально-сходимых методов. Он имеет линейную сходимость и из-за этого достаточно медленный, что и видно по таблице. На поиск корня ушло наибольшее количество итераций при том, что требуемая точность была понижена.
В случае нашей функции метод простой итерации оказался достаточно эффективным из-за малого коэффициента q - 0,159, что обеспечило приемлемую скорость сходимости почти что на уровне квадратической метода Ньютона.
Метод релаксаций — это хороший инструмент в тех случаях, когда мы не можем воспользоваться другими итерационными методами из-за сложности нахождения рекурсивной функции или удовлетворения условий тех итерационных методов. Но он уступает в своей скорости другим итерационным методам, что и видно с полученных результатов.
Метод Ньютона уже имеет отличную скорость нахождения корней (квадратическая сходимость) и показал наилучший результат по количеству итераций. Но стоит помнить о ряде ограничений при выборе данного метода. Во-первых, он чувствителен к начальному приближению и потому часто используется в комбинации с другими методами, например, бисекции, что позволяет задать правильное направление поиска корня. Во-вторых, порой расчет производных очень затруднительный или невозможный процесс, который стоит игнорировать. Для этого и есть модифицированные методы Ньютона, которые будут рассмотрены дальше.
Метод секущих позволяет избавиться от производной, что во многих случаях может упростить расчеты и повысить скорость. Но он требует уже два начальных приближения и в последующих итерациях 2 предыдущих значения корня. В нашем случае этот метод не уступил по скорости методу Ньютона.
Метод ложного положения позволяет получить сразу 2 преимущества над прошлыми методами: отсутствие производной при расчетах и 1 начальное приближение. Но за это он расплачивается, ведь имеет линейную сходимостью, уступив в нашем случае всем методам, кроме релаксаций и бисекции.
В нашем случае применение метода Ньютона и его модификации дало наилучшие результаты. Так же хорошо подошел метод простой итерации. Все другие методы достаточно медленны и можно ими пренебречь.
Задание 3
| Вариант 2 | Корень нелинейного уравнения | ||
| Метод | Значение корня | Количество итераций | Точность |
| Бисекции | 1,0576 | 10 | 0.001 |
| Простой итерации | 1,0571 | 6 | 0.0001 |
| Релаксаций | 1,0571 | 8 | 0.0001 |
| Ньютона | 1,0571 | 5 | 0.0001 |
| Секущих | 1,0571 | 5 | 0.0001 |
| Ложного положения | 1,0571 | 8 | 0.0001 |