Министерство цифрового развития, связи и
массовых коммуникаций Российской Федерации
Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики
Контрольная работа №1
по дисциплине: Алгебра и геометрия
Выполнила:
Группа:
Вариант: 2
Проверила: Захарова Татьяна Эрнестовна
Новосибирск, 2023
Оглавление
Задание 1…………………………………………………………………………3
Задание 2…………………………………………………………………………5
Задание 3…………………………………………………………………………6
Задание 4…………………………………………………………………………8
Задание 5………………………………………………………………………....10
Список использованной литературы…………………………………………...13
Задание 1. Решить систему уравнений методом Крамера и методом Гаусса
Решение.1.
Формулы Крамера: 
где
- определитель системы, 
- определители, полученные из определителя системы заменой, соответственно, первого, второго и третьего столбцов на столбец свободных членов.Вычисляем определители, раскрывая их по первой строке.
=4*2*2+(-5)*(-1)*2+(-2)*1*(-7)-(-2)*2*2-4*(-1)*(-7)-(-5)*1*2=16+10+14+8-28+10=30
=3*2*2+(-5)*(-1)*3+(-2)*3*(-7)-(-2)*2*3-3*(-1)*(-7)-(-5)*3*2=12+15+42+12-21+30=90
=4*3*2+3*(-1)*2+(-2)*1*3-(-2)*3*2-4*(-1)*3-3*1*2=24-6-6+12+12-6=30
=4*2*3+(-5)*3*2+3*1*(-7)-3*2*2-4*3*(-7)-(-5)*1*3=24-30-21-12+84+15=60Таким образом, по формулам Крамера:
Проверка:
Ответ: x=3, y=1, z=2
Метод Гаусса:
Сначала запишем расширенную матрицу:
1-ую строку делим на 4
от 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 1; от 3 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 2
2-ую строку делим на 3.25
к 1 строке добавляем 2 строку, умноженную на 1.25; к 3 строке добавляем 2 строку, умноженную на 4.5
3-ую строку делим на
к 1 строке добавляем 3 строку, умноженную на
; к 2 строке добавляем 3 строку, умноженную на 
Сделаем проверку. Подставим полученное решение в уравнения из системы и выполним вычисления:
4·3 - 5·1 - 2·2 = 12 - 5 - 4 = 3
3 + 2·1 - 2 = 3 + 2 - 2 = 3
2·3 - 7·1 + 2·2 = 6 - 7 + 4 = 3
Проверка выполнена успешно
Задание 2. Для данной матрицы найти обратную матрицу
Решение.
Для вычисления обратной матрицы, используем формулу:
,где 
- определитель матрицы 
, 
- матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов матрицы А, 
транспонирование матрицы.Находим определитель матрицы
1*1*0+0*0*(-1)+(-1)*2*1-(-1)*1*(-1)-1*0*1-0*2*0=0+0-2-1-0-0=-3Вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы
(2*0-(-1)*0)=0
3
Составляем матрицу
:
Транспортируем её и делим на определитель
Ответ:
Задание 3.
Даны векторы
Найти:
a) угол между векторами
и 
;b) проекцию вектора
на вектор ;c) векторное произведение
;d) площадь треугольника, построенного на векторах
.Решение:
Угол между векторами
и 
можно найти по формуле:
где a*b - скалярное произведение векторов.Скалярное произведение векторов
и , заданных своими координатам, находится по формуле:
Найдем скалярное произведение векторов
По формуле находим:
a*b=2*(-1)+1*2+2*4=8
Найдем модуль вектора a.
Найдем модуль вектора b.
Найдем угол между векторами:
Ответ: угол между векторами
Найдем проекцию вектора
на вектор по формуле:
Так как из вычислений выше мы знаем скалярное произведение векторов
и , и модуль вектора , подставляем данные в формулу:
Ответ:
Найдем векторное произведение
* по формуле:
Подставляем значения:
=(1*4-2*2)
-(2*4-2*(-1))
+(2*2-1*(-1))
=0 -10 +5 Ответ:
*
.Найдем площадь треугольника, построенного на векторах
.Т.к. модуль векторного произведения
* - равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , то площадь треугольника в 2 раза меньше, т.е.:
Зная из ранее произведенных расчетов векторное произведение
, вычислим модуль векторного произведения:
Найденную длину векторного произведения подставим в формулу и найдем площадь треугольника:
Ответ:
Задание 4.
Даны координаты вершин треугольника:
А (1, 0); В (-1, 2); С (-5, -2)
Найти:
a) составить уравнение сторон AB;
b) составить уравнение высоты AD;
c) найти длину медианы BE;
d) найти точку пересечения высот треугольника ABC.
Р
ешение. Рис.1
a) Составим уравнение стороны АВ. Прямая, проходящая через точки
) и 
представляется уравнением: 
Подставим наши координаты вершин треугольника:
b) Далее перейдём к составлению уравнения высоты AD. Прямая, проходящая через точку
и перпендикулярная прямой 
имеет направляющий вектор (А; В) и значит, представляется уравнением:
Подставим наши координаты мы получим следующее:
c) Перейдем к нахождению длины медианы ВЕ. Координаты точки Е найдем по формуле деления отрезка пополам.
E(-2;-1)
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:
d) Найдём точку пересечения высот треугольника ABC. Зная уравнения высоты AD, найдём точку пересечения с прямой ВС:
Имеем систему из двух уравнений:
Из первого уравнения выражаем y и подставляем во второе уравнение.
Получаем:
М(-1;2)
Задание 5.
Даны координаты вершин пирамиды
А (1; 2; -1); В (0; 2; -4); С (5; -1; 3); D (-1; 2; -5)
Найти:
уравнение плоскости ABC;
уравнение прямой AD;
угол между плоскостью ABC и прямой AD;
объём пирамиды АВСD.
Решение.
Рис.2а) Уравнение плоскости АВС найдем из соотношения:
Получаем:
=
Уравнение плоскости АВС -9x-8y+3z+28=0.
b) Уравнение прямой имеет вид:
Уравнение прямой AD:
с) Угол между плоскостью ABC и прямой AD можно найти по формуле:
Уравнение плоскости АВС: -9x-8y+3z+28=0
Уравнение прямой AD:
Найдём вектор по координатам точек:
Найдём смешанное произведение векторов
Найдём объём пирамиды:
Список использованной литературы
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М., 1987, - 320 с.
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М., 1999.
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М., 1981, - 232 с.
4. Малугин В.А. Математика для экономистов. Линейная алгебра. Курс лекций. М., 2006. – 206 с.
5. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М., 1963, 228 с.
6. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике, ч.1. М., 2002, 284 с.
7. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. М., 1958, 356 с.
8. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М., 1990, 672 с.