МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ХАРЧОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ
Кафедра процесів і апаратів харчових виробництв
Контрольна робота
З дисципліни «Статистичні задачі в харчових технологіях»
Здобувачки 2 курсу ЗТХ 2-1М групи
Спеціальності 181 « Харчові технології »
Голонич М.В.
Викладач: доцент, кандидат технічних наук
Дубковецький І.В.
КИЇВ 2023
1.Зміст та особливості математичних моделей об’єктів харчової техноло-
гії типу „білий”, „сірий” та „чорний” ящик.
Математичні моделі об'єктів харчової технології типу "білий", "сірий" та "чорний" ящик використовуються для аналізу та оптимізації процесів виробництва харчових продуктів. Кожен тип ящика відображає різні рівні зрозуміння та контролю над об'єктом моделювання.
Білий ящик (White Box Model):
В білому ящику об'єкт харчової технології моделюється докладно і повністю.
Всі параметри та процеси відомі та досліджені детально.
Математичні моделі базуються на точних фізичних та хімічних законах.
Зазвичай використовується для вивчення властивостей окремих інгредієнтів, процесів приготування та взаємодії компонентів продукту.
Сірий ящик (Grey Box Model):
В сірому ящику деякі параметри та процеси об'єкта відомі, а інші - невідомі.
Моделі можуть включати як точні дані, так і параметри, які потребують оптимізації чи апроксимації.
Зазвичай використовується для моделювання складних процесів, де не всі параметри доступні, але можна отримати деяку інформацію.
Чорний ящик (Black Box Model):
В чорному ящику немає детальної інформації про структуру чи параметри об'єкта.
Об'єкт моделюється як чорний ящик, де вхідні та вихідні параметри вивчаються без знання внутрішньої структури.
Моделі можуть бути статистичними, нейронними мережами, чи іншими методами машинного навчання.
Зазвичай використовується для прогнозування результатів та оптимізації об'єктів без вимог до розуміння їхньої фізичної сутності.
Усі ці типи математичних моделей мають свої власні переваги та недоліки і використовуються залежно від конкретних завдань та обмежень дослідження в області харчової технології.
Білий ящик вимагає великої кількості точних даних, сірий ящик дозволяє працювати з частковою інформацією, а чорний ящик може бути корисним для прогнозування та оптимізації на основі доступних даних без глибокого розуміння процесів.
22. Кореляційний аналіз: коефіцієнти кореляції, крива регресії.
Кореляційний аналіз - це статистичний метод, що використовується для визначення ступеня взаємозв'язку між двома змінними. Два основних показники кореляції, які використовуються для вимірювання цього взаємозв'язку, це коефіцієнт кореляції та крива регресії.
Коефіцієнт кореляції:
Коефіцієнт кореляції визначає ступінь лінійного взаємозв'язку між двома змінними.
Існує кілька різних типів коефіцієнтів кореляції, але найпоширенішими є Пірсона (кореляція Пірсона) та Спірмена (кореляція Спірмена).
Коефіцієнт кореляції Пірсона вимірює лінійний взаємозв'язок між змінними і приймає значення від -1 до +1. Значення близьке до +1 вказує на позитивний лінійний взаємозв'язок, близьке до -1 - на негативний лінійний взаємозв'язок, а близьке до 0 - на відсутність лінійного взаємозв'язку.
Кореляція Спірмена використовується для вимірювання нелінійних взаємозв'язків та взаємозв'язків, які не є монотонними. Вона використовує рангові значення змінних для розрахунку кореляції.
Крива регресії:
Крива регресії - це графічне зображення взаємозв'язку між двома змінними. Вона використовується для прогнозування значень однієї змінної на основі значень іншої змінної.
Існує два типи кривих регресії: лінійна та нелінійна.
Лінійна крива регресії представляється рівнянням прямої лінії (y = mx + b), де "x" - незалежна змінна, "y" - залежна змінна, "m" - нахил прямої, а "b" - зсув вісі "y". Ця крива використовується для моделювання лінійних взаємозв'язків.
Нелінійна крива регресії використовується для моделювання нелінійних взаємозв'язків між змінними. Вона може представляти собою будь-яку форму функції, таку як парабола, експоненціальна крива, логарифмічна крива тощо.
Кореляційний аналіз та крива регресії є важливими інструментами для аналізу та моделювання взаємозв'язків між змінними в статистиці та дослідженнях, і вони допомагають в розумінні та прогнозуванні явищ у різних галузях, включаючи науку про харчування, економіку, медицину та інші.
30.Критерії згоди (узгодженості) для перевірки гіпотез: їх потужність, їх
ступені свободи, їх види та методи застосування.
Критерії згоди, також відомі як критерії узгодженості, є статистичними методами, які використовуються для перевірки того, наскільки спостережені дані відповідають певній теоретичній гіпотезі чи розподілу.
Вони допомагають визначити, наскільки відстань між спостережуваними даними та очікуваним розподілом є випадковою чи статистично значущою. Основні характеристики критеріїв згоди включають потужність, ступінь свободи, види та методи застосування.
Давайте розглянемо їх детальніше:
Потужність (Power):
Потужність критерію вказує на ймовірність виявлення статистично значущих відмінностей між спостережуваними даними та гіпотетичним розподілом, якщо ці відмінності дійсно існують.
Висока потужність означає, що критерій може надійно виявити відмінності, якщо вони є, і тому важливий для виявлення статистично значущих результатів.
Ступінь свободи (Degrees of Freedom):
Ступінь свободи визначає кількість незалежних спостережень в аналізі, яку може використовувати критерій.
Він впливає на розподіл статистики критерію та визначає кількість інформації, яку критерій може взяти з вибірки.
Види критеріїв згоди:
Критерій хі-квадрат (Chi-squared test): Використовується для порівняння спостережуваних та очікуваних частот в таблицях спряженості.
Критерій Колмогорова-Смірнова (Kolmogorov-Smirnov test): Використовується для порівняння емпіричної кумулятивної функції розподілу з теоретичним розподілом.
Критерій Андерсона-Дарлінга (Anderson-Darling test): Використовується для оцінки придатності спостережених даних до конкретного розподілу.
Критерій Шапіро-Уілка (Shapiro-Wilk test): Використовується для перевірки нормальності розподілу даних.
Методи застосування:
Для застосування критеріїв згоди, спершу визначають нульову гіпотезу (гіпотезу про відсутність відмінностей) та альтернативну гіпотезу (гіпотезу про наявність відмінностей).
Після цього обчислюють тестову статистику на основі спостережуваних даних та вибраного критерію.
За допомогою ступенів свободи та відповідного рівня значущості визначають критичну область для тестової статистики.
Якщо тестова статистика потрапляє в критичну область, то нульову гіпотезу відхиляють.
Вибір конкретного критерію згоди залежить від природи даних, задачі дослідження та гіпотези, яку ви намагаєтеся перевірити.
Коректний вибір критерію та правильне розуміння його потужності та ступеня свободи допоможуть зробити статистичний аналіз більш надійним та інформативним.
55.Планування експериментів в умовах ступінчастого, або лінійного, або
експоненціального дрейфу поверхні відгуку.
Планування експериментів в умовах ступінчастого, лінійного або експоненціального дрейфу поверхні відгуку важливе для визначення оптимальних умов та факторів, які впливають на результати дослідженн
Перш ніж розпочати планування експерименту, важливо визначити, яким чином змінюється відгук відносно різних значень факторів. Ось кілька кроків, які можна виконати для планування таких експериментів:
Визначення функціонального відношення:
Почнем з визначення функціонального відношення між факторами та відгуком. Якщо відгук змінюється ступінчасто, лінійно або експоненціально, визначаєм відповідні рівняння або моделі для цього.
Вибір факторів:
Виберіть фактори, які ви хочете включити в експеримент, та визначте їх діапазони змін. Пам'ятайте, що важливо збалансувати точність вимірювань і обсяг експерименту.
Визначення рівнів факторів:
Встановіть рівні факторів, які ви хочете дослідити, враховуючи їх взаємодію та можливий дрейф відгуку. Підготуйте план експерименту з точками вимірювань на різних рівнях факторів.
Використання математичних моделей:
Використовуйте побудовані моделі відгуку для прогнозування відповідей в не досліджених точках. Деякі експерименти можуть включати оптимізацію факторів для досягнення певної цілі.
Моніторинг дрейфу:
Якщо є підозри на дрейф відгуку, проводьте додаткові вимірювання для визначення стабільності результатів. Це допоможе врахувати можливі зміни та покращити якість дослідження.
Аналіз даних:
Після проведення експерименту обробіть отримані дані та використовуйте відповідні статистичні методи для визначення ступеня впливу факторів та дрейфу на відгук.
Планування експерименту в умовах ступінчастого, лінійного або експоненціального дрейфу поверхні відгуку вимагає уважності та системності.
Важливо враховувати всі можливі фактори, які можуть впливати на результати, і ретельно проаналізувати отримані дані для досягнення надійних висновків.
58.Ротатабельне (ЦКРП) планування другого порядку: суть методу.
Ротатабельне (ЦКРП) планування другого порядку - це метод планування експерименту, який використовується для апроксимації математичних моделей з взаємодією між факторами та враховує квадратичні ефекти у дослідженні.
Цей метод дозволяє визначити оптимальні значення факторів для досягнення бажаних результатів та вивчати вплив різних факторів на відгук.
Основна суть методу ротатабельного планування другого порядку включає такі етапи:
Визначення факторів:
Спочатку визначаються фактори, які впливають на досліджуваний процес чи властивість. Кількість факторів може бути будь-якою, але зазвичай вони обмежені і є обмеженими в дослідженні для спрощення.
Вибір рівнів факторів: Для кожного фактора визначаються рівні, на яких буде проводитися дослідження. Зазвичай це включає мінімальний та максимальний рівні, а також центральний рівень для кожного фактора. Побудова матриці планування:
Спеціальна матриця планування створюється для комбінації рівнів факторів у такий спосіб, щоб кожна комбінація була представлена в плані дослідження.
Для цього використовуються математичні методи, які дозволяють створити оптимальний план для побудови математичної моделі.
Проведення експерименту:
За отриманим планом дослідження здійснюються вимірювання відгуку для кожної комбінації факторів.
Побудова математичної моделі:
З отриманих даних побудовується квадратична математична модель, яка включає в себе лінійні, квадратичні та взаємодійні члени між факторами.
Аналіз та оптимізація:
За допомогою математичної моделі проводяться аналізи для визначення впливу факторів та виявлення оптимальних значень факторів, які призводять до найкращих результатів.
Повторення експерименту:
Зазвичай після аналізу першого плану дослідження здійснюють додаткові вимірювання для підтвердження результатів та визначення кінцевих оптимальних параметрів.
Метод ротатабельного планування другого порядку є корисним інструментом у випробуванні, оптимізації та апроксимації математичних моделей в умовах взаємодії факторів та дослідженні квадратичних ефектів. Він дозволяє здійснювати більш глибокий аналіз впливу факторів на результати дослідження та досягати бажаних цілей ефективно.
Задача №1
Постановка задачі.
В результаті аналізу дистиляту на двох паралельно працюючих ректифікаційних колонах отримано наступні дані про вміст легколеткого компоненту(мол. частки,%):
Колона1 94,7; 95,35; 95,28; 97,49; 94,245; 97,696; 98,1225
Колона 2 98,35; 97,28; 95,14; 98,49; 95,245
Чи являється значущою відмінність у вмісті легколеткого компоненту в дистиляті для цих колон?
Розв’язання задачі:
Обчислюємо середнє значення х̅1 отриманих даних результатів по першій колоні на основі наступної формули:
та дисперсію відтворюваності
по цій же колоні за наступною формулою:
В результаті отримаємо:
По другій колоні:
Та дисперсію відтворюваності :
;
Число ступенів свободи по першій колоні становить:
Та
Таким чином,отримуємо,що величину
F=2,533/2,566=0,987
Необхідно порівняти з табличними значеннями для рівня значущості а=0,05,та чисел ступенів свободи
та
,що дорівнює
Таким чином оскільки F=0,987
Висновок до задачі 1.
Відмінність вмісту легколеткого компоненту в дистиляті колони 1 та 2 не значуща.
Задача №2
При рівні значущості=0,05 методом дисперсійного аналізу перевірити гіпотезу про не значимість впливу фактору на об’єкт на підставі трьох вимірювань(m=3)для (n=8)факторівФ1-Ф8(табл..)
| вимір/рівень фактора | Ф1 | Ф2 | Ф3 | Ф4 | Ф5 | Ф6 | Ф7 | Ф8 |
| 1 | 0,0225 | 0,029 | 0,031 | 0,312 | 0,0245 | 0,0195 | 0,033 | 0,0315 |
| 2 | 0,0245 | 0,027 | 0,033 | 0,0295 | 0,0245 | 0,0205 | 0,031 | 0,0315 |
| 3 | 0,023 | 0,028 | 0,032 | 0,03 | 0,025 | 0,02 | 0,032 | 0,032 |
Розв’язок.
Обчислимо допоміжні величини
-сума квадратів спостережуваних значень на рівні Фj,j=1.2.3…,n.
-сума спостережуваних значень на рівніФj,j=1.2.3…,n.Результати занесли в таблицю.
| вимір/рівень фактора | Ф1 | Ф2 | Ф3 | Ф4 | Ф5 | Ф6 | Ф7 | Ф8 | |
| 1 | 0,0225 | 0,029 | 0,031 | 0,312 | 0,0245 | 0,0195 | 0,033 | 0,0315 | |
| 2 | 0,0245 | 0,027 | 0,033 | 0,0295 | 0,0245 | 0,0205 | 0,031 | 0,0315 | |
| 3 | 0,023 | 0,028 | 0,032 | 0,03 | 0,025 | 0,02 | 0,032 | 0,032 | |
| | | | | | | | | | сума |
| R | 0,07 | 0,084 | 0,096 | 0,3715 | 0,074 | 0,06 | 0,096 | 0,095 | 0,9465 |
| P | 0,00164 | 0,002354 | 0,003074 | 0,099114 | 0,0018255 | 0,001201 | 0,00307 | 0,003009 | 0,1152863 |
| R² | 0,0049 | 0,007056 | 0,009216 | 0,138012 | 0,005476 | 0,0036 | 0,00922 | 0,009025 | 0,1865013 |
Тоді
Знайдемо факторну дисперсію
Знайдемо залишкову дисперсію
Порівняємо факторну й залишкову дисперсію за критерієм фішера-Снедекора.знайдемо спостережуване значення критерію
Знайдемо критичне значення при рівні значущості а=0,05 і числам ступенів вільності k1=8-1=7.k2=8(3-1)=16.Fкр=2,6572
Оскільки Fcп=11,333>2,6572=Fкр,нульову гіпотезу відхиляють.
Висновок:Групові середні в межах рівня фактору відрізняються не значимо(фактор впливає значимо).