Ім'я файлу: 9 класичне визначення ймовірності.doc
Розширення: doc
Розмір: 193кб.
Дата: 18.06.2023
скачати
Пов'язані файли:
Завдання Звязність на графі.pdf
Розширення: doc
Розмір: 193кб.
Дата: 18.06.2023
скачати
Пов'язані файли:
Завдання Звязність на графі.pdf
КЛАСИЧНЕ ОЗНАЧЕННЯ ЙМОВІРНОСТІІмовірністю події
називається числова міра об’єктивної можливості настання цієї події в певному випробуванні. Позначається ймовірність як 
(від лат. Probabilities- ймовірність)Властивості ймовірності:
Імовірність достовірної події
.Імовірність неможливої події
.Імовірність будь-якої випадкової події
.Класичне означення ймовірності: Імовірністю випадкової події А називається відношення кількості елементарних подій m, які сприяють появі цієї події (становлять множину її елементарних подій), до загальної кількості n рівноможливих елементарних подій, що утворюють простір елементарних подій
:
Щоб обчислити ймовірність події
за цією формулою, потрібно знайти кількість елементарних подій у просторі , а також кількість їх у множині, яка відповідає події . Для цього (за потреби) застосовують формули комбінаторики.Приклад 1. Знайти ймовірність того, що при киданні двох монет випаде два герба.
Розв'язання
Нехай подія
- «випало два герба».Простір елементарних подій складається з чотирьох подій:
- «випало два герба»; 
- «випали герб та число»; 
- «випали число та герб»; 
- «випали два числа».Події
сприяє лише одна подія - 
.Отже,
і тоді 
.Відповідь: 0,25.
Приклад 2. В урні лежать 20 кульок, з яких 12 білих, решта - чорні. З урни навмання виймають дві кульки. Яка ймовірність того, що вони білі?
Розв'язання
Загальна кількість елементарних подій випробування (вийнято дві кульки) дорівнює числу способів, якими можна вийняти 2 кульки із 20, тобто числу комбінацій із 20 елементів по 2 (
).Кількість елементарних подій, які сприяють події «вийнято дві білих кульки» дорівнює числу способів, якими можна вийняти 2 кульки із 12 білих, тобто числу комбінацій із 12 елементів по 2 (
).Отже, якщо подія
«вийнято дві білі кульки», то:
Відповідь:
.Приклад 3. У групі 25 студентів. З них 12 юнаків й 13 дівчат. Випадковим образом до дошки викликають двох студентів. Яка ймовірність, що це дівчата?
Розв'язання
Загальна кількість елементарних подій випробування (вибрір двох студентів) дорівнює числу способів, якими можна вибрати 2 із 25, тобто числу комбінацій із 25 елементів по 2 (
).Кількість елементарних подій, які сприяють події «вибрано двох дівчат» дорівнює числу способів, якими можна 2 із 13 , тобто числу комбінацій із 13 лементів по 2 (
).Отже, якщо подія
«вийнято дві білі кульки», то:
Відповідь:
.Приклад 4. У партії з 8 деталей 6 - стандартні. Знайти ймовірність того, що серед чотирьох взятих навмання деталей дві будуть стандартними.
Розв’язання.
Загальне число n можливих результатів цього експерименту дорівнює числу способів, за якими можна взяти 4 деталі з наявних 8, тобто
. Число результатів, які сприяють події (серед взятих 4-х деталей є дві стандартні). Дві стандартні деталі з шести наявних можна взяти 
способами, причому дві інші деталі повинні бути нестандартними. Взяти ж ті 2 нестандартні деталі з 2 наявних можна 
способами.Отже,
і шукана ймовірність
Відповідь:
.Приклад 5. Партія складається з 10 стандартних і 5 нестандартних деталей. Із партії навмання беруть 5 деталей. Знайти ймовірність того, що серед узятих деталей 3 виявились стандартними.
Розв’язання
Подія
– «серед 5 деталей 3 стандартні, а 2 нестандартні». Деталі беруться навмання, тому можливою елементарною подією є будь-яка група з 5 деталей, вибраних із 15 деталей. Порядок у групі неістотний, тому вона належить до комбінацій. Усі елементарні події рівно можливі. Для обчислення ймовірності застосуємо формулу класичного означення ймовірності.Загальна кількість елементарних подій
.Кількість елементарних подій, які становлять подію
, визначимо так: 3 стандартні деталі з 10 можна вибрати 
способами, а 2 нестандартні з 5 
способами. Отже 
.Остаточно
.Відповідь:
.Приклад 6. Із колоди з 36 карт навмання виймають 3 карти. Яка ймовірність того, що серед них буде точно один туз?
Розв’язання
Три карти з 36 можна вибрати
способами. Одного туза можемо вибрати 
способами, при цьому дві інші карти можна вибрати 
способами. Отже, 
· , 
,і
Відповідь:
Приклад 7. У партії з 20 деталей є 16 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед навмання взятих трьох деталей виявиться принаймні одна стандартна.
Розв’язання.
Спосіб 1.Нехай подія
: виявиться одна стандартна; подія 
: виявиться дві стандартні; подія 
: виявиться три стандартні деталі. Ці події попарно несумісні. Нехай подія
: серед навмання взятих трьох деталей виявиться принаймні одна стандартна. Отже, 
і за формулою сумування: 
маємо:
.Ймовірності подій
, , : 
Отже
.Інший спосіб. Під час розв’язування задач часто буває зручно переходити до протилежної події. Так, якщо подія
– не виявиться жодної стандартної деталі, тоді подія протилежна до події , і події , , , утворюють повну групу попарно несумісних подій. Отже, будемо використовувати формулу 
. Обчисливши ймовірність отримаємо 
, звідки:
.Варіант 1
1. Серед 50 деталей 3 нестандартні. Випадково взято 2 деталі. Знайти ймовірність того, що серед взятих деталей одна стандартна, а інша нестандартна.
2. З колоди карт (36) виймається навмання одна карта. Знайти ймовірність того, що ця карта буде:
тузом;
пікової масті;
піковим тузом.
Варіант 2
1. У коробці простих олівців утричі більше, ніж кольорових. Навмання обирають один. Яка ймовірність того, що він простий?
2. Серед 40 деталей 5 - нестандартні. Взято навмання 2 деталі. Знайти ймовірність того, що обидві деталі будуть нестандартні.
Варіант 3
1. На клумбі 20 червоних, 10 синіх та 30 білих айстр. Яка ймовірність того, що зірвана в темряві айстра виявиться червоною або синьою?
2. У партії з r виробів k - браковані. Знайти ймовірність того, що
серед вибраних навмання 5 виробів l будуть браковані.
Варіант 4
1. З 60 питань, що входять до екзаменаційних білетів, студент підготував 50. Яка ймовірність того, що взятий навмання студентом білет, який містить два питання, буде складатися з підготовлених ним питань?
2. Яка ймовірність того, що серед вийнятих навмання чотирьох кульок з урни з 20 білими і 25 червоними кульками, дві виявляться білими?
Варіант 5
1. Підкидається правильний тетраедр, на гранях якого поставлені номери 1, 2, 3, 4. Якою є ймовірність того, що він упаде на грань з номером 2?
2. У групі 17 студентів, серед яких 8 дівчат. Шляхом жеребкування вибирають 7 студентів для поїздки в театр. Яка ймовірність того, що будуть вибрані 4 дівчини і 3 хлопці?
Варіант 6
1. Відомо, що зі 100000 атомів полонію самочинно розпадаються впродовж доби 495. Знайти ймовірність того, що впродовж доби певний атом полонію не розпадеться.
2. Складальник має 10 деталей, які мало відрізняються одна від одної. Серед них 4 першого, по 2 другого, третього і четвертого видів. Яка ймовірність того, що з шести взятих одночасно деталей 3 виявляться першого виду, 2 другого і 1 третього?
Варіант 7
1. Кидають два гральних кубики. Визначити ймовірність того,
що сума очок, які випали на кубиках, дорівнюватиме 8.
2. Студент знає 45 з 60 питань програми. Кожен екзаменаційний білет містить 3 питання. Знайти ймовірність того, що студент знає всі 3 питання навмання взятого білета.
Варіант 8
1. Визначити ймовірність того, що за одночасного кидання двох
гральних кубиків сума очок, які випали, виявиться меншою за 5.
2. В урні 5 білих та 4 чорних куль. З урни виймають відразу 5 куль. Знайти імовірність того, що 2 з них будуть білі, а 3 - чорні.
Варіант 9
1. На маршруті працюють 3 трамваї Луганського тепловозобудівельного заводу, і 6 - Київського. Знайти ймовірність того, що перший трамвай, який підійде на зупинку, зроблено Луганським заводом. .
2. В урні 8 білих та 6 чорних куль. З урни виймають відразу 3 кулі. Знайти ймовірність того, що всі три кулі будуть білі.
Варіант 10
1. Куб, всі грані якого пофарбовані, розпилено на 125 кубиків однакового розміру, які потім старанно змішані. Знайти ймовірність того, що навмання вийнятий кубик буде мати пофарбованих граней: а) три; б) дві; в) одну.
2. В урні 8 білих та 6 чорних куль. З урни виймають відразу 3 кулі. Знайти ймовірність того, що дві з них будуть білі, а одна - чорна.
Варіант 11
1. З 10 хлопчиків і 8 дівчаток треба виділити для участі в туристичному поході 5 осіб. Обчислити ймовірність того, що будуть виділені 2 хлопчики і 3 дівчинки.
2. В урні 8 білих та 6 чорних куль. З урни виймають відразу 3 кулі. Знайти ймовірність того, що всі три кулі будуть чорні.
Варіант 12
1. Бібліотека складається з десяти різних книг, причому п'ять книг коштують по 40 грн. кожна, три книги - по 10 грн. і дві книги - по 30 гри. Знайти ймовірність того, що взята навмання книга коштує 10 грн.
2. У лотереї розігруються 1000 квитків, серед них один виграш на 50 грн., 5 виграшів по 20 грн., 20 виграшів по 10 грн. і 50 виграшів по 5 грн. Дехто купляє один квиток. Знайти ймовірність:
1) виграти не менше 10 грн.;
2) будь-якого виграшу.
Варіант 13
1. Задумано двозначне число. Яка ймовірність того, що сума
цифр цього числа дорівнює 6?
2. У партії зі 100 деталей 5 бракованих. Визначити ймовірність того, що серед вибраних навмання 10 деталей 2 виявляться браковані.
Варіант 14
1. Задумано деяке двозначне число. Яка ймовірність того, що
сума цифр цього числа дорівнюватиме 7?
2. З колоди гральних карт (36 шт.), старанно перемішаних, виймають навмання 6 карт. Знайти ймовірність того, що серед них буде 2 карти “король пік”.
Варіант 15
1. На шістьох однакових картонках написано літери: А, В, К, М, О, С. Картонки перемішують і розкладають навмання в ряд. Яка ймовірність того, що виникло слово “МОСКВА”?
2. У цеху працюють 7 чоловіків та 3 жінки. За табельними номерами навмання вибрано 3 особи. Чому дорівнює ймовірність того, що всі троє вибраних будуть жінки?
Варіант 16
1. У ящику 10 деталей, серед них - 3 нестандартні. Навмання беруть 3 деталі. Знайти ймовірність того, що вибраними будуть 1 стандартна та 2 нестандартні деталі.
2. В урні 10 білих, 6 чорних та 7 червоних куль. З урни виймають одну за одною всі кулі і записують їх кольори. Знайти ймовірність того, що в цьому списку білий колір з'явиться раніше чорного.
Варіант 17
1. У цеху працюють 7 чоловіків та 3 жінки. Шляхом жеребкування вибрано 3 особи. Чому дорівнює ймовірність того, що всі троє вибраних - чоловіки?
2. З послідовності цілих чисел від 1 до 10 навмання вибирають два числа. Як ймовірність того, що одне з них менше 6, а друге більше 6?
Варіант 18
1. На складі знаходяться 10 кінескопів, серед них 7 кінескопів виробництва Львівського заводу. Навмання вибрано 3 кінескопи. Знайти ймовірність того, що серед них будуть 2 кінескопи Львівського заводу.
2. Набираючи номер телефону, абонент забув останні дві цифри і, пам'ятаючи лише, що ці цифри різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрано потрібні цифри.
Варіант 19
1. У пакеті на однакових картках надруковані 7 літер: А, Б, В, Г, Д, Е, О. Знайти ймовірність того, що виймаючи одну за одною 4 картки і розміщуючи їх у ряд, можна буде прочитати слово "ВОДА".
2. В урні а білих та в чорних куль. З урни виймають білу кулю і відкладають її вбік. Після цього з урни беруть ще одну кулю. Знайти ймовірність того, що ця куля буде також біла.
Варіант 20
1. На 8 однакових картках написані числа 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13. Навмання беруть дві картки. Знайти ймовірність того, що утворений з двох одержаних таким чином чисел дріб можна скоротити.
2. У майстерню для ремонту поступило 10 годинників марки “Чайка”. Відомо, що 6 штук з них потребують загальної чистки механізму. Майстер навмання бере 5 годинників. Знайти ймовірність того, що два з них потребують загальної чистки механізму.
Варіант 21
1. В урні а білих та в чорних куль. З урни виймають дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі будуть білі.
2. Учасники жеребкування тягнуть жетони з номерами від 1 до 100. Знайти ймовірність того, що номер першого, навмання взятого жетона, не містить цифри
Варіант 22
1. З 10 білетів виграшними є 2. Визначити ймовірність того, що серед взятих навмання 5 білетів:
1) один виграшний;
2) два виграшні.
2. Набираючи номер телефону, абонент забув останні три цифри і, пам'ятаючи, що ці цифри різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що він набрав потрібні цифри.
Варіант 23
1. Знайти ймовірність того, що при одночасному киданні двох
кубиків сума очок, які випали, дорівнюватиме 9.
2. Шість чоловік випадково розсаджуються на лаві. Знайти
ймовірність того, що дві фіксовані особи сидітимуть поруч.
Варіант 24
1. На кінець дня в наметі залишилось 60 кавунів, 50 з яких спілі. Покупець вибирає 2 кавуни. Яка ймовірність того, що обидва кавуни спілі?
2. Куб, всі грані якого пофарбовані, розпиляли на 64 кубики однакового розміру, які потім старанно змішали. Знайти ймовірність того, що вийнятий навмання кубик матиме пофарбованих граней:
три;
дві;
одну.
Варіант 25
У партії з 20 деталей 5 - браковані. Знайти ймовірність того, що з 5 взятих навмання деталей дві будуть браковані.
Кидають два гральних кубики. Знайти ймовірність того, що сума очок які випадуть на верхніх гранях обох кубиків, дорівнюватиме 7.
Варіант 26
1. Підкидається правильний тетраедр, на гранях якого поставлені номери 1, 2, 3, 4. Якою є ймовірність того, що він упаде на грань з номером 2?
2. У групі 17 студентів, серед яких 8 дівчат. Шляхом жеребкування вибирають 7 студентів для поїздки в театр. Яка ймовірність того, що будуть вибрані 4 дівчини і 3 хлопці?
Варіант 27
1. Відомо, що зі 100000 атомів полонію самочинно розпадаються впродовж доби 495. Знайти ймовірність того, що впродовж доби певний атом полонію не розпадеться.
2. Складальник має 10 деталей, які мало відрізняються одна від одної. Серед них 4 першого, по 2 другого, третього і четвертого видів. Яка ймовірність того, що з шести взятих одночасно деталей 3 виявляться першого виду, 2 другого і 1 третього?
Варіант 28
1. Кидають два гральних кубики. Визначити ймовірність того,
що сума очок, які випали на кубиках, дорівнюватиме 8.
2. Студент знає 45 з 60 питань програми. Кожен екзаменаційний білет містить 3 питання. Знайти ймовірність того, що студент знає всі 3 питання навмання взятого білета.
Варіант 29
1. Визначити ймовірність того, що за одночасного кидання двох
гральних кубиків сума очок, які випали, виявиться меншою за 5.
2. В урні 5 білих та 4 чорних куль. З урни виймають відразу 5 куль. Знайти імовірність того, що 2 з них будуть білі, а 3 - чорні.
Варіант 30
1. На маршруті працюють 3 трамваї Луганського тепловозобудівельного заводу, і 6 - Київського. Знайти ймовірність того, що перший трамвай, який підійде на зупинку, зроблено Луганським заводом. .
2. В урні 8 білих та 6 чорних куль. З урни виймають відразу 3 кулі. Знайти ймовірність того, що всі три кулі будуть білі.