ИДЗ 12.1 – Вариант 2.
1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму.
1.2
Запишем:
Докажем сходимость каждого ряда.
Воспользуемся признаком Д’Аламбера
Пусть для ряда
, 
(начиная с некоторого n=n0) и существует предел 
Тогда
1) при q<1 данный ряд сходится;
2) при q>1 данный ряд расходится.
Исходный ряд сходится
Найдем сумму ряда S:
Считаем как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Тогда
Ответ:
2. Исследовать на сходимость указанные ряды с положительными членами.(2-6)
2.2
Воспользуемся признаком Д’Аламбера
Пусть для ряда
, (начиная с некоторого n=n0) и существует предел Тогда
1) при q<1 данный ряд сходится;
2) при q>1 данный ряд расходится.
где
, 
Ответ: ряд сходится3.2
Если, начиная с некоторого n=n0, un > 0 и
, то при q < 1 ряд сходится, а
при q > 1 ряд расходится
при q = 1 радикальный признак Коши не применим
Согласно радикальному признаку Коши, имеем:
Ответ: ряд сходится
4.2
Воспользуемся интегральным признаком Коши.
Для этого исследуем несобственный интеграл:
Так как интеграл расходится, следовательно, исследуемый ряд тоже расходится
Ответ: ряд расходится
5.2
Воспользуемся интегральным признаком Коши.
Для этого исследуем несобственный интеграл:
Так как интеграл сходится, следовательно, исследуемый ряд тоже сходится
Ответ: ряд сходится
6.2
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом
. Используем предельный признак сравнения
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с рядом
Ответ: ряд расходится
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды. (7-8)
7.2
Используем признак Лейбница.
Данный ряд является знакочередующимся.
- условие выполняетсяРяд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
Воспользуемся интегральным признаком Коши.
Для этого исследуем несобственный интеграл:
Так как интеграл расходится, следовательно, исследуемый ряд тоже расходитсяСледовательно, исходный ряд условно сходится
Ответ: ряд условно сходится
8.2
Используем признак Лейбница.
Данный ряд является знакочередующимся.
- условие выполняется Ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
Воспользуемся признаком Д’Аламбера
где
, 
Так как
, следовательно, исследуемый ряд сходитсяИсходный ряд абсолютно сходится
Ответ: ряд абсолютно сходится