Ім'я файлу: 1-5-b9.pdf
Розширення: pdf
Розмір: 1026кб.
Дата: 07.11.2022
скачати
Пов'язані файли:
аудит.docx
братусь.docx
Розширення: pdf
Розмір: 1026кб.
Дата: 07.11.2022
скачати
Пов'язані файли:
аудит.docx
братусь.docx
69
Розділ II. КІНЕМАТИКА
10. Кінематика точки
10.1. Основні поняття та означення
Кінематика — розділ теоретичної механіки, який вивчає механічний рух матеріальної точки, системи матеріальних точок і абсолютно твердого тіла в просторі і часі, без урахування сил, які спричинюють цей рух. Термін “кінематика “ запропонував Амперу р.
Поява перших досліджень з кінематики повязана з винаходом вогнепальної зброї в зв’язку з необхідністю визначення траєкторії польоту снаряда. А бурхливе зростання машинобудування у XIX столітті сприяло новому розвитку кінематики. В основі класичної механіки лежить поняття про абстрактний геометричний простір — тривимірний евклідовий простір. Час перебігає рівномірно, неперервно, однаково в усіх частинах Всесвіту незалежно від тих явищ, які в ньому відбуваються.
Положення тіла в кінематиці визначається відносно яких- небудь інших тіл. Тіла, які визначають положення рухомих тіл, називають системами відліку. З цими тілами пов’язують деяку систему координат, наприклад прямокутну (декартову) або полярну , і визначають відносно неї положення кожної точки рухомого тіла.
Кінематика поділяється на кінематику точки і твердого тіла.
Основна задача кінематики точки — визначення закону її руху і кінематичних характеристик руху. Законом руху називається залежність між положенням точки у вибраній системі відліку і часом.
Основна задача кінематики абсолютно твердого тіла — визначення закону руху тіл в цілому і кожної точки тіла окремо.
70
10.2. Способи задавання руху точки
Рух точки можна визначити трьома способами векторним координатним і натуральним
(природним). а Векторний спосіб (рис. 10.1). При векторному способі задання руху точки треба знати радіус-вектор точки як функцію часу
t
r
r
. (10.1) б) Координатний спосіб (10.1). За систему відліку звичайно беруть прямокутну (декартову) систему координат, але можна застосовувати полярні, циліндричні та сферичні системи координат. При координатному способі задаються координати точки як функції часу
t
x
x
,
t
y
y
,
t
z
z
(10.2)
Ці рівняння — параметричні рівняння кривої, вздовж якої рухається точка М Лінія, вздовж якої рухається точка, називається траєкторією. Для визначення рівняння траєкторії у звичайному вигляді треба із рівнянь (10.2) виключити час параметр t).
Наприклад, координати точки змінюються згідно з рівняннями:
t
a
x
cos
,
t
b
y
sin
. Треба знайти рівняння траєкторії точки у звичайному вигляді. Для цього слід виключити з рівнянь час, зробивши такі перетворення:
t
a
x
cos
,
t
b
y
sin
, або
1
sin cos
2 2
2 2
2 Таким чином, одержане рівняння являє собою рівняння траєкторії точки координат – еліпс з центром на початку координат.
Існує взаємозв’язок між векторним і координатним способами задання руху точки в просторі: Рис. 10.1
71
k
z
j
y
i
x
r
,
k
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r
. (10.3) в) Природний спосіб (рис. 10.2). При цьому способі задавання руху точки задаються: траєкторія, початок відліку О з позначенням знаком "+" додатного напряму відліку координата знаком "-" —
від’ємного напряму відліку, а також дугова координата s, яка залежить від часу, тобто
t
s
s
. (10.4)
Траєкторія точки може бути прямолінійною або криволінійною. Зазначимо, що часто помилково змішують поняття шляху, який проходить точка, з її дуговою координатою. Так дугова координата S (рис. 10.2) визначає положення точки на траєкторії, тобто координату для даного моменту часу, в той час як шлях точки – це сума абсолютних значень дугових координат.
10.3 Швидкість точки
Поняття про швидкість тіла та формулу для визначення швидкості падіння тіл отримав Е. Торрічеллі (1608-1647). а) Векторний спосіб. Згідно з рис. 10.3 можна записати
r
r
r
1 де
r
— вектор переміщення точки
1
r
,
2
r
— радіуси-вектори, які визначають початкове і кінцеве положення точки.
Середня швидкість точки — вектор, який дорівнює відношенню вектора переміщення
r
до проміжку часу руху
t
:
t
r
V
cp
.
Середня швидкість
cp
V
спрямована вздовж хорди
1
MM
. Ця величина, взагалі кажучи, нестала і залежить від вибраної нами величини проміжку часу
t
. Тому користу- Рис. 10.2 Рис. 10.3
72
ватись цією величиною не дуже зручно.
Швидкість точки в даний момент часу — вектор, який дорівнює першій похідній від радіуса-вектора за часом і спрямований по дотичній до траєкторії точки.
Дійсна швидкість lim lim
0 0
dt
r
d
t
r
V
V
t
cp
t
dt
r
d
V
(10.5)
Ця величина вже не залежить від dt і тому точно характеризує рух точки. До речі буква V для позначення швидкості була запропонована
Ейлером у 1765 р. б) Координатний спосіб (рис. 10.4):
,
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
dt
r
d
k
z
j
y
i
x
r
(10.6)
k
V
j
V
i
V
V
z
y
x
. (10.7)
Порівнюючи ліві частини рівнянь (10.6) і (10.7), маємо
dt
dx
V
x
,
dt
dy
V
y
,
dt
dz
V
x
. (10.8)
Проекції вектора швидкості на декартові осі координат дорівнюють першим похідним за часом від відповідних координат. Модуль вектора швидкості та його напрям визначаються за формулами
2 2
2
x
y
x
V
V
V
V
, (10.9)
V
V
i
V
x
/
,
cos
,
V
V
j
V
y
/
,
cos
, в) Природний спосіб (рис. 10.5).
Швидкість точки при цьому способі задавання руху
dt
ds
ds
r
d
dt
r
d
V
,
s
r
ds
r
d
S
lim
0
, де
- орт дотичної. Модуль границі Рис. 10.4 Рис. 10.5
73
1
lim
0
s
r
s
Тоді
S
dt
ds
V
. (10.10) формула
s
dt
ds
V
- вперше з’явилась у Ейлера в 1736 р. Таким чином, швидкість при природному способі задання руху дорівнює першій похідній за часом від дугової координати і спрямована по дотичній до траєкторії руху точки.
Одиниця швидкості в СІ — метр на секунду (мс.
10.4. Прискорення точки
Під час руху точки її швидкість, взагалі кажучи, може змінюватись як за напрямом, так і за величиною. Величина, яка характеризує цю зміну, являє собою прискорення. Це векторна величина, її одиниця в СІ
— метр за секунду в квадраті (мс.
Поняття про прискорення тіла увів Галілей, асам термін
„прискорення” вперше почали використовувати Понселе (1841) і
Резаль (1851). а) Векторний спосіб задання руху (рис. 10.6):
V
V
V
1
,
V
V
V
1
Середнє прискорення точки
t
V
a
cp
,
V
a
cp
//
Дійсне прискорення
r
dt
r
d
dt
V
d
a
t
V
a
t
cp
t
2 2
0 0
lim lim
. (10.11)
Прискорення точки дорівнює першій похідній за часом від швидкості або другій похідній за часом від радіуса-вектора точки. Вектор прискорення напрямлений завжди всередину угнутості траєкторії (тобто по дотичній до годографа швидкості). Рис. 10.6
74 б) Координатний спосіб задання руху.
Розкладемо вектор прискорення точки
a
по координатним осях, які враховують (10.11) і (10.8):
k
a
j
a
i
a
a
z
y
x
,
k
dt
dV
j
dt
dV
i
dt
dV
dt
V
d
z
y
x
, (10.12)
k
dt
z
d
j
dt
y
d
i
dt
x
d
dt
r
d
2 2
2 2
2 2
2 Таким чином, порівнюючи ліві й праві частини цих залежностей, маємо:
x
dt
dV
a
x
x
,
y
dt
dV
a
y
y
,
z
dt
dV
a
z
z
. (10.13)
Проекції вектора прискорення на осі координат дорівнюють першим похідним за часом від відповідних проекцій швидкостей або другим похідним за часом від відповідних координат точки. Модуль і напрям вектора прискорення визначаються за формулами
2 2
2
z
y
x
a
a
a
a
,
a
a
i
a
x
/
,
cos
,
a
a
j
a
y
/
,
cos
,
a
a
k
a
z
/
,
cos
. (10.14) в) Природний спосіб задання рис. 10.7) руху точки.
Введемо природні осі координат (
, п, b), які постійно зв'язані з рухомою точкою.
Площина, яка проходить через дотичну і нормаль, називається
дотичною.
Із формули (10.10) відомо, що
dt
ds
V
Знаходимо прискорення
ds
d
dt
ds
dt
s
d
dt
ds
ds
d
dt
ds
dt
s
d
dt
d
dt
ds
dt
s
d
dt
ds
dt
d
dt
V
d
a
2 2
2 2
2 2
2
(10.15) Рис. 10.7
75 Вектор
d
показує зміну орта дотичної за довжиною дуги і має назву вектора кривини:
1
lim
0
s
k
t
,
n
k
ds
d
1
Враховуючи рівняння (10.15), маємо
n
a
a
n
V
dt
dV
n
dt
ds
dt
s
d
a
2 2
2 2
1
, (10.16) де
a
— дотичне, або тангенціальне, прискорення, яке характеризує зміну швидкості за величиною (воно напрямлене, як і швидкість, по дотичній до кривої).
Причому вектор швидкості
V
завжди напрямлений по дотичній у напрямі руху точки, а вектор дотичного прискорення
a
, може бути напрямлений і в протилежний бік, якщо швидкість зменшується зі зміною часу (на рис. 10.8 цей вектор накреслено пунктиром
n
a
— нормальне, або доцентрове, прискорення, яке характеризує зміну швидкості за напрямом
(воно напрямлене по головній нормалі до кривої в бік угнутості траєкторії, до її центра кривини). До речі терміни „тангенціальне прискорення” і „нормальне прискорення” вперше з’явилися у
Резаля в 1862 р, хоч уяву про можливість розкладання прискорення на дотичне та нормальне звернув Х. Гюйгенса строге доведення зроблене Л. Ейлером. Модуль повного прискорення точки та його напрям визначаються за формулами
2 2
2 2
V
dt
dV
a
a
a
n
,
n
a
a
tg
. (10.17)
10.5. Окремі випадки руху точки
Розглядаючи рух матеріальної точки. Можна зустрітись з такими випадками:
1) Прямолінійний рух точки буде у тому випадку, якщо Рис. 10.8
76
нормальне прискорення
0
n
a
, а повне прискорення
a
a
2)
Рівномірний прямолінійний рух точки буде у тому випадку, якщо її прискорення
0
a
0
,
0
dt
dV
a
a
n
Швидкість точки при цьому не змінюється ні за величиною, ні за напрямком, тобто
const
V
Тоді закон руху точки
t
V
s
s
0
. (10.18)
3) Рівномірний криволінійний рух точки буде, коли дотичне прискорення
0
a
, а повне прискорення дорівнює
n
a
, яке
0
n
a
Проекція швидкості при цьому не змінюється, тобто
const
V
4) Рівнозмінний криволінійний рух точки буде в тому випадку, якщо дотичне прискорення залишається весь час сталою величиною, тобто,
const
. Причому, якщо прискорення
a
збігається з напрямом швидкості, то рух точки називається
рівноприскореним, якщо
a
напрямлене в бік, протилежний напряму швидкості - рівноуповільнений. Швидкість і закон руху визначаються за формулами
t
a
V
V
0
,
2 0
0 2
1
t
a
t
V
s
s
. (10.19)
Якщо рух точки прискорений, тов формулах (10.19) береться знака якщо сповільнений – знак „ – ”.
10.6. Методика розв’язування задач кінематики точки
Розв’язуючи задачі на прямолінійний і криволінійний рух точки, треба додержувати такої послідовності:
1) вибрати систему відліку;
2) скласти (згідно з умовою задачі) у вибраній системі відліку рівняння руху точки, тобто знайти залежність координат точки від часу
3) установити вигляд траєкторії руху точки
4) згідно з рівняннями руху точки визначити проекції швидкості на осі координата також величину швидкості;
5) визначити проекції прискорення точки на координаті осі і
77 модуль прискорення;
6) згідно з рівняннями руху точки накреслити траєкторію її руху і визначити положення точки на траєкторії за час
1
t
t
;
7) накреслити вектори швидкості і прискорення за їх складовими, визначеними за час
1
t
t
(графічна побудова дозволяє перевірити правильність розрахунків);
8) у випадку криволінійного руху (згідно з умовою задачі) визначаються дотичне і нормальне прискорення, а також радіус кривини траєкторії. Використання цієї методики розглянемо на конкретному прикладі. Задача 2.1. Точка рухається згідно з рівняннями:
cм
t
y
см
t
x
,
7 6
/
cos
8
,
2 6
/
sin
8 2
2
(10.20)
Визначити траєкторію, швидкість і прискорення точки, коли
1
t
t
1 с.
1 2 3 4 5