2. 2 Спектральний аналіз 1 Ряд Фур’є

14
2.2 Спектральний аналіз
2.2.1 Ряд Фур’є
Будь-яку періодичну функцію, що відповідає умовам Діріхле, можна пред- ставити сумою гармонійних функцій або комплексних експонент. Такий розк- лад отримав назву розклад в ряд Фур’є.
Умови Діріхле: функція не повинна мати розривів другого роду, а кількість розривів першого роду та екстремумів повинна бути кінцевою.
Тригонометрична форма раду Фур’є представляється формулою:
0 1
( )
(
cos(
sin(
))
2
n
n
n
a
s t
a
n
t
b
n
t





    
  

де
2 / T

 
— основна частота коливань;
T
— період коливань;
2 2
2
( ) cos(
) ,
0,1, 2,...
T
n
T
a
s t
n
t dt
n
T



 


;
2 2
2
( )sin(
) ,
1, 2,3,...
T
n
T
b
s t
n
t dt
n
T



 


Також ряд Фур’є можна представити у вигляді:
0 1
( )
(
cos(
))
2
n
n
n
a
s t
A
n
t






  

де
2 2
n
n
n
A
a
b


— амплітуди гармонійних складових;
n
— номер гармоніки;
n
n
n
b
arctg
a


— початкові фази гармонійних складових.
Гармоніки на частотах
n

(
1,2,3,...
n

) утворюють амплітудну спектра- льну характеристику (амплітудний спектр), а початкові фази — фазову спект- ральну характеристику (фазовий спектр).
Не важко помітити, що для періодичної функції отримаємо дискретний спектр.
Для запису ряду Фур’є використовують і комплексну форму запису:
( )
jn t
n
n
s t
C e







15 де
2 2
1
( )
T
jn t
n
T
C
s t
e
dt
T

 




— коефіцієнти раду Фур’є.
2.2.2 Перетворення Фур’є
Перетворення Фур’є (Fourier transaform) — інструмент спектрального аналізу неперіодичних сигналів. Основні відмінності перетворення Фур’є від ряду Фур’є, викликані припущенням, що період неперіодичного сигналу пря- мує до нескінченності:
– частота з дискретних відліків перетворюється в неперервний параметр перетворення;
– результатом розрахунків замість коефіцієнтів ряду є функція частоти
(спектральна функція)
В результаті таких перетворень отримаємо функцію, яка розраховується за формулою:
(
)
( )
j t
S j
s t
e
dt








(2.1)
Функція
(
)
S j

отримала назву спектральна густина сигналу
( )
s t
, а фор- мула (2.1) — пряме перетворення Фур’є.
Обернене перетворення Фур’є розраховується за формулою:
1
( )
(
)
2
j t
s t
S j
e
d









Спектральна густина є комплексною величиною. Модуль спектральної гу- стини
(
)
S j

називається амплітудним спектром сигналу (в деяких джерелах використовується назва амплітудно-частотна характеристика (АЧХ) сигналу), аргумент спектральної густини називається фазовим спектром (відповідно, в деяких джерелах, називається ФЧХ — фазо-частотною характеристикою сигна- лу).
2.2.3 Спектри деяких сигналів
На рис. 2.4а наведено послідовність прямокутних імпульсів (

— трива- лість імпульсів,
T
— їх період,
A
— амплітуда), а на рис. 2.4б — спектр даної послідовності (дискретні відліки), як видно з рисунку огинаючою даного спект- ру є функція sin( ) /
x
x
(пунктирна лінія). Відстань між гармоніками спектру рівна 1/ T , тобто частоті послідовності імпульсів, ширина пелюсток спектру обернено пропорційна до тривалості імпульсу 1/

. Якщо період слідування ім- пульсів прямує до безкінечності (отримуємо одиничний прямокутний імпульс),

16 то відстань між гармоніками прямує до нуля і спектр з дискретного перетворю-
ється на неперервний. Зменшення тривалості імпульсу призводить до розши- рення основної пелюстки спектру. а б
Рисунок 2.4 — Послідовність прямокутних імпульсів (а) та її спектр (б).
Спектр сигналу у вигляді дельта-функції є константою, тобто рівномірний у всьому діапазоні частот. Спектром синусоїдального сигналу з частотою
f
є дві дельта-функції на частотах
f
