10 способів розв'язку квадратних рівнянь
1. СПОСІБ : Розкладання лівій частині рівняння на множники.
2. СПОСІБ : Метод виділення повного квадрата.
3. СПОСІБ : Рішення квадратних рівнянь за формулою.
4. СПОСІБ: Графічне рішення квадратного рівняння.
Всі перераховані вище способи детально розібрані в підручнику, тому на них я не буду зупинятися.
5. СПОСІБ: Рішення рівнянь із використанням теореми Вієта.
Наведені квадратні рівняння легко вирішувати по теоремі Вієта. Досить знайти два числа такі, твір яких одно вільному члену, а сума - другому коефіцієнту з протилежним знаком. Наприклад, для рівняння x 2 -7x +12 = 0 Потрібно знайти числа, твір яких дорівнює 12, а сума 7. Такими числами будуть 3 і 4. Значить x 1 = 3, x 2 = 4
Але можна використовувати цей метод і для рівнянь з першим коефіцієнтом не дорівнює одиниці. Пояснимо на прикладі. Припустимо, потрібно вирішити рівняння 3x 2 +2 x-5 = 0
Беремо перший коефіцієнт і множимо його на вільний член: x 2 +2 x-15 = 0
Корінням цього рівняння будуть числа, твір яких одно - 15, а сума дорівнює - 2. Ці числа - 5 і 3. Щоб знайти коріння вихідного рівняння, отримані коріння ділимо на перший коефіцієнт. Таким чином x 1 = -5/3, x 2 = 1
6. СПОСІБ: Рішення рівнянь способом "перекидання".
Розглянемо квадратне рівняння ах 2 + b х + с = 0, де а? 0.
Примножуючи обидві його частини на а, отримуємо рівняння а 2 х 2 + аbх + ас = 0.
Нехай ах = у , звідки х = у/а ; тоді приходимо до рівняння у 2 + by + ас = 0, рівносильно даному. Його коріння у 1 і у 2 знайдемо за допомогою теореми Вієта.
Остаточно отримуємо х 1 = у 1 /а і х 1 = у 2 /а .
При цьому способі коефіцієнт a множиться на вільний член, як би "перекидається" до нього, тому його називають способом "перекидання" . Цей спосіб застосовують, коли можна легко знайти корені рівняння, використовуючи теорему Вієта і, що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.
Вирішимо рівняння 2х 2 - 11х + 15 = 0 .
Рішення. " перекинути" коефіцієнт 2 до вільного члену і зробивши заміну одержимо рівняння у 2 - 11у + 30 = 0.
Згідно зворотної теоремі Вієта
у 1 = 5 х 1 = 5/2 x 1 = 2,5
у 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.
Відповідь: х 1 ...
= 2,5; х 2 = 3.
7. СПОСІБ: Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння.
Нехай дано квадратне рівняння ах 2 + b х + с = 0, а? 0.
1. Якщо a + b + с = 0 (тобто сума коефіцієнтів рівняння дорівнює нулю), то х 1 = 1, х 2 = .
2. Якщо а - b + с = 0, або b = а + с, то х 1 = - 1, х 2 = - .
1. Вирішимо рівняння 345х2 - 137х - 208 = 0. p> Рішення . Так як а + b + с = 0 (345 - 137 - 208 = 0), то х1 = 1, х2 ==. Відповідь : х 1 = 1; х 2 = -.
. Вирішимо рівняння 132х2 + 247х + 115 = 0
Рішення. Т.к. a-b + с = 0 (132 - 247 +115 = 0), то
х1 = - 1, х2 = - Відповідь: х 1 = - 1; х 2 = -
8. СПОСІБ: Рішення квадратних рівнянь за допомогою циркуля і лінійки.
Графічний спосіб розв'язання квадратних рівнянь за допомогою параболи незручний. Якщо будувати параболу по точках, то буде потрібно багато часу, і при цьому ступінь точності одержуваних результатів невелика. Пропонуємо наступний спосіб знаходження коренів квадратного рівняння ах 2 + b х + с = 0 за допомогою циркуля і лінійки. Припустимо, що шукана окружність перетинає вісь абсцис в точках B (х 1 , 0) і D ( х < i> 2 , 0), де х 1 і х 2 - корені рівняння ах 2 + b х + с = 0, і проходить через точки А (0;
) і З (0;) на осі ординат. Тоді по теоремі про січних маємо ОВ? ОD = ОА? ОС , звідки ОС = .В
Центр кола знаходиться в точці перетину перпендикулярів SF і SK , відновлених у серединах хорд AC і BD.
Отже:побудуємо точки S (центр кола) і А; проведемо окружність з радіусом SA ; абсциси точок перетину цієї окружності з віссю Ох є корінням квадратного рівняння.
При цьому можливі три випадки.
1) Радіус кола більше ординати центру ( AS> SK , або R> ), окружність перетинає вісь Ох в двох точках B (х 1 , 0) і D ( х 2 ; 0), де х 1 і х 2 - коріня квадратного рівняння ах 2 + b х + с = 0. Радіус кола дорівнює ординате центру ( AS = SВ ,... або R = ), окружність стосується осі Ох (рис. б) у точці B (х 1 , 0), де х 1 - корінь квадратного рівняння. Радіус кола менше ординати центру ( AS , або R <), коло не має спільних точок з віссю абсцис (мал. в), в цьому випадку рівняння не має рішення.
В
1 . Вирішимо рівняння х2 - 2х - 3 = 0. p> Рішення. Визначимо координати точки центру кола за формулами: х = - в ==
Проведемо коло радіуса SA, де А. Відповідь : х1 = - 1, х2 = 3.
9. СПОСІБ: Рішення квадратних рівнянь за допомогою номограми.
Це старий і незаслужено забутий спосіб розв'язання квадратних рівнянь.
Номограма для вирішення рівняння z 2 + pz + q = 0. Ця номограма дозволяє, не вирішуючи квадратного рівняння, за його коефіцієнтами визначити корені рівняння. br/>В
Криволінійна шкала номограми побудована за формулами: ОВ =, АВ =
Вважаючи ОС = р, ЕD = q, ОЕ = а (все в см), з подоби трикутників САН і СDF отримаємо пропорцію звідки після підстановок і спрощень випливає рівняння z2 + pz + q = 0, причому буква z означає мітку будь-якої точки криволінійної шкали.
1. Для рівняння z 2 - 9z + 8 = 0. Номограма дає коріння z1 = 8 і z2 = 1 p> 2. Вирішимо за допомогою номограми рівняння 2z2 - 9 z + 2 = 0. p> Розділимо коефіцієнти цього рівняння на 2, отримаємо рівняння z2 - 4,5 +1 = 0.
Номограма дає коріння z1 = 4 і z2 = 0,5.
10. СПОСІБ: Геометричний спосіб розв'язання квадратних рівнянь.
У давнину, коли геометрія була більш розвинена, ніж алгебра, квадратні рівняння вирішується не алгебраїчно, а геометрично.Вирішимо рівняння х2 + 10х = 39.
В оригіналі ця задача формулюється так: "Квадрат і десять коренів рівні 39".
Рішення. Розглянемо квадрат зі стороною х, на його сторонах будуються прямокутники так, що інша сторона кожного з них дорівнює 2, отже, площа кожного дорівнює 2. Отриману фігуру доповнюють потім до нового квадрата АВСD , добудовуючи в кутах чотири рівних квадрата, сторона кожного з них 2, а площа 6
D x C
6262x2
2 6 2 6
A x B
Площа S квадрата ABCD можна представити як суму площ: початкового квадрата х 2 , чотирьох прямокутників
(4? 2 = 10х) і чотирьох прибудованих квадратів (6), тобто
S = х 2 + 10х = 25. Замінюючи х 2 + 10х числом 39, отримаємо що S = 39 + 25 = 64, звідки випливає, що сторона квадрата АВСD , т.е . відрізок АВ = 8. Для шуканої сторони х первісного квадрата отримаємо х = 8 - 2 - 2 = 3.