1 завдання
Для вимірювання щільності (тісноти) зв’язку між факторними і результативним показниками визначають коефіцієнт кореляції.
У випадку прямолінійної форми зв’язку між показниками, що вивчаються, коефіцієнт кореляції розраховується за наступною формулою
.або
.Коефіцієнт кореляції може приймати значення від 0 до ±1. Коефіцієнт кореляції дорівнює -1 або +1, що свідчить про те, що залежність носить відповідно обернений або прямий функціональний (строго точний) характер. Якщо коефіцієнт кореляції дорівнює нулю, то будь який зв’язок між явищами, що вивчаються, відсутній. У практичному застосуванні використовують різні межі значень коефіцієнта кореляції. Для учбового застосування може бути використана наступна спрощена градація: коли
- зв’язок проявляється слабо; при 
- тіснота зв’язку середня; якщо 
- зв’язок щільний. Звичайно вважається, що при встановлену залежність доцільно використовувати в аналізі, прогнозуванні і у вирішенні інших практичних питань.При вимірюванні щільності зв’язку при криволінійній формі залежності, використовується не лінійний коефіцієнт кореляції, а кореляційне відношення
,де
- теоретичне значення функції.Дослідження стійкості зв’язку коефіцієнту множинної лінійної кореляції
говорить про його стабільність при всіх видах відхилення вихідної інформації (під впливом зміни факторних і залежної ознак на параметри результативного показника). Однією із формул, що визначає тісноту зв’язку при множинній лінійній кореляції є
де
- середнє значення залежної ознаки; 
- теоретичне значення залежного показника, які розраховані по встановленій кореляційній залежності.Непрямими показниками, за якими можна оцінити тісноту зв’язку між залежним і незалежним показниками є середнє квадратичне відхилення і дисперсія.
2 завдання
Оцінка рівняння регресії .
Визначимо вектор оцінок коефіцієнтів регресії. Відповідно до методу найменших квадратів, вектор s виходить з виразу: s = (X T X) -1 X T Y
До матриці зі змінними X j додаємо одиничний стовпець:
| 1 | 22 | 4 |
| 1 | 35 | 3 |
| 1 | 30 | 5 |
| 1 | 32 | 6 |
Матриця Y
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
Матриця X T
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 22 | 35 | 30 | 32 |
| 4 | 3 | 5 | 6 |
Помножуємо матриці, (X T X)
| X T X = |
| |
У матриці, (X T X) число 4, що лежить на перетині 1-го рядка та 1-го стовпця, отримано як сума творів елементів 1-го рядка матриці X T та 1-го стовпця матриці X
Помножуємо матриці, (X T Y )
| X T Y = |
| |
Знаходимо зворотну матрицю (X T X) -1
| (X T X) -1 = |
| |
Вектор оцінок коефіцієнтів регресії дорівнює
| Y(X) = |
| * |
| = |
| |
рівняння регресії (оцінка рівняння регресії)
Y = -5.3026 + 0.1392X 1 + 0.8139X 2
Інтерпретація коефіцієнтів регресії. Константа оцінює агрегований вплив інших (крім врахованих у моделі х i ) факторів на результат Y і означає, що Y за відсутності x i склала б -5.3026. Коефіцієнт b 1 показує, що зі збільшенням x 1 на 1 Y збільшується на 0.1392. Коефіцієнт b 2 показує, що зі збільшенням x 2 на 1 Y збільшується на 0.8139.
Матриця парних коефіцієнтів кореляції R .
Число спостережень n = 4. Число незалежних змінних у моделі дорівнює 2, а число регресорів з урахуванням одиничного вектора дорівнює числу невідомих коефіцієнтів. З урахуванням ознаки Y, розмірність матриці стає рівною 4. Матриця, незалежних змінних Х має розмірність (4 х 4).
Матриця A, складена з Y та X
| 1 | 1 | 22 | 4 |
| 1 | 2 | 35 | 3 |
| 1 | 3 | 30 | 5 |
| 1 | 4 | 32 | 6 |
Транспонована матриця.
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
| 22 | 35 | 30 | 32 |
| 4 | 3 | 5 | 6 |
Таблиця X T X.
| 4 | 10 | 119 | 18 |
| 10 | 30 | 310 | 49 |
| 119 | 310 | 3633 | 535 |
| 18 | 49 | 535 | 86 |
Отримана матриця має таку відповідність:
| ∑n | ∑y | ∑x 1 | ∑x 2 |
| ∑y | ∑y 2 | ∑x 1 y | ∑x 2 y |
| ∑x 1 | ∑yx 1 | ∑x 1 2 | ∑x 2 x 1 |
| ∑x 2 | ∑yx 2 | ∑x 1 x 2 | ∑x 2 2 |
Знайдемо парні коефіцієнти кореляції.
Значення парного коефіцієнта кореляції свідчить про помірний лінійний зв'язок між x 1 і y.
Значення парного коефіцієнта кореляції свідчить про сильний лінійний зв'язок між x 2 та y.
Значення парного коефіцієнта кореляції свідчить про низький лінійний зв'язок між х 2 і х 1 .
| Ознаки x та y | ∑x i |  | ∑y i |  | ∑x i *y i |  |
| Для y та x 1 | 119 | 29.75 | 10 | 2.5 | 310 | 77.5 |
| Для y та x 2 | 18 | 4.5 | 10 | 2.5 | 49 | 12.25 |
| Для x 1 та x 2 | 18 | 4.5 | 119 | 29.75 | 535 | 133.75 |
Дисперсії та середньоквадратичні відхилення.
| Ознаки x та y |  |  |  |  |
| Для y та x 1 | 23.188 | 1.25 | 4.815 | 1.118 |
| Для y та x 2 | 1.25 | 1.25 | 1.118 | 1.118 |
| Для x 1 та x 2 | 1.25 | 23.188 | 1.118 | 4.815 |
Матриця парних коефіцієнтів кореляції R:
| - | y | x 1 | x 2 |
| y | 1 | 0.5805 | 0.8 |
| x 1 | 0.5805 | 1 | -0.02322 |
| x 2 | 0.8 | -0.02322 | 1 |
Приватні коефіцієнти кореляції .
Коефіцієнт приватної кореляції відрізняється від простого коефіцієнта лінійної парної кореляції тим, що він вимірює парну кореляцію відповідних ознак (y і x i ) за умови, що вплив на них інших факторів (x j ) усунуто.
З приватних коефіцієнтів можна дійти невтішного висновку про обгрунтованості включення змінних у регресійну модель. Якщо значення коефіцієнта мало або він незначний, це означає, що зв'язок між даним чинником і результативної змінної або дуже слабка, або зовсім відсутня, тому чинник можна виключити з моделі.
Приватні коефіцієнти кореляції обчислюються за формулою:
де R ij - доповнення алгебри елемента rij матриці R.
При порівнянні коефіцієнтів парної та приватної кореляції видно, що через вплив міжфакторної залежності між x i відбувається завищення оцінки тісноти зв'язку між змінними.
Модель регресії у стандартному масштабі .
Модель регресії у стандартному масштабі передбачає, що це значення досліджуваних ознак перетворюються на стандарти (стандартизовані значення) за формулами:
де х ji - значення змінної х ji в i-ом спостереженні.
Таким чином, початок відліку кожної стандартизованої змінної поєднується з її середнім значенням, а як одиниця зміни приймається її середнє квадратичне відхилення S .
Якщо зв'язок між змінними в природному масштабі лінійний, то зміна початку відліку та одиниці виміру цієї властивості не порушать, так що і стандартизовані змінні будуть пов'язані лінійним співвідношенням:
t y = ∑β j t xj
Рівняння, що шукається в стандартизованому масштабі: t y =β 1 t x1 +β 2 t x2
Розрахунок β-коефіцієнтів можна виконати і за формулами:
Стандартизована форма рівняння регресії має вигляд:
t y = 0.599x 1 + 0.814x 2
Знайдені з даної системи β-коефіцієнти дозволяють визначити значення коефіцієнтів у регресії у природному масштабі за формулами:
a = y - ∑b j · x j
Оцінка дисперсії дорівнює:
s e 2 = (YY (X)) T (YY (X)) = 0.00485
Незміщена оцінка дисперсії дорівнює:
Оцінка середньоквадратичного відхилення ( стандартна помилка для оцінки Y ):
Порівняльна оцінка впливу аналізованих факторів на результативну ознаку .
Порівняльна оцінка впливу аналізованих факторів на результативну ознаку проводиться:
- Середнім коефіцієнтом еластичності, що показує на скільки відсотків середньому за сукупністю зміниться результат y від своєї середньої величини при зміні фактора x i на 1% від свого середнього значення;
- β-коефіцієнти, що показують, що якщо величина фактора зміниться на одне середньоквадратичне відхилення S xi , то значення результативної ознаки зміниться в середньому на β свого середньоквадратичного відхилення;
- Частку кожного фактора в загальній варіації результативної ознаки визначають коефіцієнти роздільної детермінації (окремого визначення): d 2 i = r yxi β i .
d 2 1 = 0.58*0.599 = 0.348
d 2 2 = 0.8*0.814 = 0.651
При цьому має виконуватись рівність:
∑d i 2 = R 2 = 0.999
Оцінка значення результативної ознаки при заданих значеннях факторів .
Y(50,5) = -5.3 + 0.139 * 50 + 0.814 * 5 = 5.725
V = X 0 T (X T X) -1 X 0
де
| X 0 = |
| |
X 0 T = [1; 50; 5]
| (X T X) -1 = |
| |
Помножуємо матриці X 0 T і (X T X) -1
| X 0 T (X T X) -1 = (1; 50; 5) * |
| = |
| |
Помножуємо отриману матрицю на X 0 знаходимо V = 4.75
Довірчі інтервали з ймовірністю 0.95 для значення результативної ознаки M(Y).
(Y - t * S Y ; Y + t * S Y )
де t (4-2-1; 0.05/2) = 25.452 знаходимо по таблиці Стьюдента.
(5.72 - 25.452 * 0.15; 5.72 + 25.452 * 0.15)
(1.9; 9.54)
C ймовірністю 0.95 середнє значення Y при X 0i знаходиться в зазначених межах.
Довірчі інтервали з ймовірністю 0,95 для індивідуального значення результативної ознаки.
(5.72 – 25.452*0.17 ; 5.72 + 25.452*0.17)
(1.39;10.05)
C ймовірністю 0.95 індивідуальне значення Y при X 0iперебуває у зазначених межах.
Висновки
В результаті розрахунків було отримано рівняння множинної регресії: Y = -5.3026 + 0.1392X1 + 0.8139X2 . Можлива економічна інтерпретація параметрів моделі: збільшення X 1 на 1 од. призводить до збільшення Y в середньому на 0.139 од. збільшення X 2 на 1 од. призводить до збільшення Y в середньому на 0.814 од.