Ім'я файлу: Tema_1 (2).doc
Розширення: doc
Розмір: 123кб.
Дата: 18.05.2022
скачати
Пов'язані файли:
2022 02 27 Підтримуємо Українську Армію! Help Ukrainian Army!.pd
1 Операции с картами (2).doc
навч. прог. (1).docx

Тема 1. Похибки вимірювань.

1.1. Вимірювання і їх класифікація


Під фізичною величиною розуміють властивість, загальну в якісному відношенні багатьом фізичним об'єктам, але в кількісному відношенні індивідуальне для кожного об'єкту. Такими властивостями можуть бути маса, довжина, ширина, площа, напруга, тиск і багато, багато інших, властиві різним фізичним об'єктам. При цьому не істотний конкретний якісний зміст того або іншого фізичного об'єкту. Так, маса властива шоколаду, муці, глині, піску, каменю і іншим речовинам; довжину має шматок тканини, відрізок труби, відстань між пунктами геодезичної мережі, площу має шкірка цінного хутрового звіра і земельна ділянка. Цей перелік можна продовжити.

У геодезії вимірюють або визначають наступні фізичні величини: горизонтальні напрями і кути, вертикальні кути, відстані, перевищення, висоти, ухили, площі, координати і ін.

Конкретний кількісний вміст в даному об'єкті властивості, відповідне поняттю «Фізична величина», називають розміром фізичної величини. Оцінка розміру фізичної величини у вигляді деякого числа прийнятих для неї одиниць називається значенням фізичної величини. Наприклад, значення перевищення між крапками А і В рівно – 11.93 м.

Значення фізичної величини, яке ідеальним чином відображало б відповідну властивість об'єкту, називається дійсним значенням фізичної величини. Так, дійсне значення суми кутів плоского трикутника рівне 180 градусів.

Попутно відмітимо, що в більшості випадків практики дійсне значення величини залишається невідомим. Значення фізичної величини, отримане експериментальним шляхом і що настільки наближається до дійсного значення, що в даному конкретному випадку практики може бути прийнято замість нього, називають дійсним значенням фізичної величини.

У геодезії значення фізичної величини, яке в даних умовах вимірювань є найбільш близьким по вірогідності до дійсного значення, називають найімовірнішим значенням.

Вимірюванням називають знаходження значення фізичної величини дослідним шляхом за допомогою спеціальних технічних засобів.

Значення фізичної величини, знайденої шляхом її вимірювання, називають результатом вимірювання. Результат вимірювання в загальному вигляді можна представити формулою:

l=nl0 , (1.1)

де l – результат вимірювання, l0 – значення одиниці вимірювання, n – число одиниць вимірювання.

По фізичному виконанню вимірювання можуть бути прямі або безпосередні, коли величина, що цікавить нас, безпосередньо порівнюється з одиницею вимірювання, і непрямі, коли значення вимірюваної величини виходить як функція одного або декількох аргументів зміряних безпосередньо або побічно.

Приклади:

Безпосередні вимірювання:

вимірювання температури термометром;

вимірювання маси тіла на вагах шляхом порівняння її з масою гирі;

вимірювання довжини лінії мірною стрічкою.

Непрямі вимірювання:

вимірювання довжини лінії нитяним далекоміром

D=kl+С, (1.2)

де довжина лінії D визначається як функція безпосередньо зміряного відрізка рейки l, який міститься між далекомірними штрихами, і параметрів далекоміра – коефіцієнта k; постійного додатку С.

вимірювання перевищення тригонометричною нівеляцією

h=½ Dsin2+I–V, (1.3)

де перевищення h визначається як функція побічно зміряних далекомірної відстані D, кута нахилу і безпосередньо зміряних висоти приладу I і точки візування V.

Вимірювання підрозділяють також на необхідні і додаткові або надмірні.

Вимірювання називають необхідними, якщо вони дають тільки один результат прямого вимірювання, непрямого вимірювання або тільки одне значення функції зміряних величин.

Приклади необхідних вимірювань: одноразове вимірювання довжини лінії мірною стрічкою або далекоміром, вимірювання горизонтального кута теодолітом одним напівприйомом, визначення тахеометром перевищення із станції на рейковий пікет, визначення координат точки засічкою по двох зміряних кутах, n–1 зміряних ліній і кутів в теодолітним ході з n точок.

Необхідні вимірювання неможливо проконтролювати, тому немає можливості судити про їх якість.

Всі вимірювання, виконані понад необхідних, які дозволяють отримати два і більше результати або два і більше значення функції, називають надмірними.

Надмірні вимірювання дають можливість:

здійснити контроль вимірювань;

оцінити точність виконаних вимірювань;

набути таких наближених значень зміряних величин, які в загальному випадку опиняються ближчим до дійсного значення, чим окремо взятий результат необхідного вимірювання.

Процес вимірювання протікає за наявності і взаємодії наступних необхідних чинників:

1) об'єкту вимірювання;

  1. суб'єкта вимірювання, тобто виконавця;

  2. мірного приладу, за допомогою якого виконавець здійснює вимірювання;

  3. методу вимірювання, що визначає вимірювальний процес;

  4. зовнішнього середовища, в якому протікає процес вимірювання.

Точність вимірювань, тобто відхилення їх результатів від дійсного значення безпосередньо залежить від названих вище чинників. Сукупність цих чинників визначає умови вимірювань.

Умови прийнято вважати однаковими, якщо:

  1. вимірювалися фізичні об'єкти одного і того ж роду;

  2. вимірювання виконувалися виконавцями однакової кваліфікації;

  3. вимірювання проводилися однаковими за якістю приладами;

  4. застосовувався один і той же метод вимірювань;

  5. стан зовнішнього середовища в процесі вимірювань змінювався в однакових межах.

Якщо вимірювання виконані в однакових умовах, їх результати вважають рівноточними.

Недотримання хоч би одне з перерахованих вище умов робить результати нерівноточними.

1.2. Класифікація поХИБОК вимірювань


Всі вимірювання, як би ретельно вони не були виконані, супроводжуються похибками. У цьому легко переконатися, змірявши одну і ту ж величину кілька разів і порівнявши отримані результати. У загальному випадку вони відрізнятимуться один від одного.

Під похибкою вимірювання розуміють різницю між результатом даного вимірювання l і істинним або дійсними значенням вимірюваної величини Х:

ε = l–X . (1.4)

Іншими словами, похибка рівна тому, що є, мінус те, що повинне бути.

Кожен з п'яти чинників, перерахованих в п.1.1, породжує ряд так званих елементарних похибок. Таким чином, похибка ε – сумарна дія елементарних похибок.

Всі похибки вимірювань можна підрозділити на три групи:

1. Грубі похибки або промахи, різко відхиляють результати вимірювань від дійсного значення. Завжди вони виникають тільки з вини виконавця. У теорії похибок грубі похибки не вивчають. Їх необхідно своєчасно виявити, а результати вимірювань, що містять ці похибки, виключити з подальшої обробки. Найбільш дієвими методами виявлення грубих похибок є виконання надмірних вимірювань. От чому в геодезії кожну величину вимірюють, як правило, не менше двох разів.

2. Систематичні елементарні похибки породжуються істотними зв'язками між чинниками вимірювань і виникають всякий раз за одних і тих же умов. Систематичні похибки підпорядковані якійсь в тому або іншому ступені певній закономірності.

Закономірності ці піддаються вивченню. І за певних умов систематичні похибки можуть бути виключені з окремого результату вимірювань.

3. Випадкові елементарні похибки породжуються не істотними, а другорядними випадковими зв'язками між чинниками вимірювань, за даних умов вимірювань вони можуть бути, а можуть і не з'явитися, можуть бути великими або меншими, позитивними або негативними. Величина і знак цих похибок носить випадковий характер, а їх розподіл підпорядкований законам теорії вірогідності.

Випадкові похибки не можуть бути виключені з окремого результату вимірювання. Вплив їх на результати вимірювань можна лише ослабити, підвищуючи кваліфікацію виконавця, удосконалюючи вимірювальні прилади і методику вимірювань, виконуючи вимірювання за сприятливіших умов. Вплив випадкових похибок можна також ослабити належною математичною обробкою результатів вимірювань.

Сумарний вплив елементарних систематичних похибок утворює систематичну похибку θ результату вимірювання, а сумарний вплив елементарних випадкових похибок – випадкову похибку Δ результату вимірювань.

Таким чином, погрішність вимірювання ε в (1.4) можна представити як суму двох складових:

ε= θ +Δ. (1.5)

У (1.5) похибка вимірювання чітко розділена на систематичну і випадкову. Але це тільки в теорії. На практиці при виконанні геодезичних вимірювань вони діють спільно, тому їх розділення в процесі обробки результатів вимірювань виявляється важким. Більш того, в деяких випадках похибки, випадкові за походженням, за певних умов стають систематичними.

Приклад. Похибки висот точок знімальної мережі, отриманих з геометричної або тригонометричної нівеляції, за своєю природою є випадковими. Проте при тахеометричній або мензульній зйомці на даній конкретній станції ця похибка постійна по величині і знаку, а тому увійде до висот рейкових пікетів як систематична.

1.3. Властивості випадкових похибок


У 1.2. встановлено, що випадкова похибка – наслідок дії на результат вимірювань безлічі різних за походженням випадкових чинників. Кажучи про властивості випадкових похибок, ми маємо на увазі не їх індивідуальні властивості, а найбільш загальні властивості, якими володіють чималі сукупності цих погрішностей.

Таких властивостей чотири:

1. Властивість обмеженості. За даних умов вимірювань випадкова похибка по абсолютній величині не може перевершити деякої заздалегідь відомої межі. Ця межа називається граничною похибкою. Позначивши її Δпр, дану властивість можна виразити нерівністю

|Δ|≤ Δпр . (1.6)

2. Властивість компенсації. Якщо ряд вимірювань однієї або декількох величин проводиться в одних і тих же умовах, то сума випадкових похибок, що ділиться на їх число, при необмеженому збільшенні ряду вимірювань в межі прагне до нуля, тобто

. (1.7)

У виразі (1.7) і надалі ми вживатимемо символіку К.Ф. Гауса, де квадратні дужки означають суму однорідних величин. Наприклад

(1.8)

3. Властивість незалежності. Якщо проводиться два ряди вимірювань з випадковими похибками:

1) Δ1', Δ2',…, Δn' і 2) Δ1'', Δ2'',…, Δn''

то сума попарних добутків цих похибок, що ділиться на число цих добутків, при необмеженому зростанні числа вимірювань в границі прагне до нуля.

Використовуючи символіку (1.8), цю властивість можна записати таким чином:

. (1.9)

Відмітимо, що дана властивість не є всеосяжною. У геодезичній практиці не часто, але зустрічаються залежні випадкові похибки.

4. Властивість розсіювання. Якщо ряд вимірювань проводиться в одних і тих же умовах, то для їх випадкових похибок має місце границя

. (1.10)

Величина називається стандартом. Квадрат стандарту 2 називають дисперсією, а величину

(1.11)

де с– довільне додатне число, – вагою.

З (1.10) і (1.11) слідує: ряди вимірювань, виконані з вищою точністю, володіють меншим стандартом і дисперсією і великою вагою.

1.4. Кількісні критерії оцінки точності ряду рівноточних вимірювань однієї величини


Отже, ми встановили, що результати геодезичних вимірювань і їх похибки – випадкові величини. Для судження про надійність цих величин і можливий розкид їх значень використовують кількісні критерії, які прийнято називати оцінками.

В теорії вірогідності і математичній статистиці використовують два види оцінок: інтервальні і точечні.

1.Інтервальна оцінка. Про точність вимірювань судять по тому, як далеко можуть відхилитися за даних умов вимірювань їх результати від дійсного або дійсного значення вимірюваної величини. Межі цього ухилення, беручи до уваги (1.4), можна записати у вигляді рівняння

P (a<

яке слід розуміти так: вірогідність того, що абсолютне значення похибки εпоміщене в інтервалі[a,b] дорівнює Q, де Q –достатньо висока вірогідність, наприклад 0,90; 0,95; 0,99.

У геодезичній практиці інтервальні оцінки використовують украй рідко, через те, що, як це витікає з (1.5), похибка εє сумою двох складових, систематичної і випадкової, що підкоряються (як це ми бачили в 3.1, 3.2) різним законам розподілу.

2. Точечна оцінка. Точність ряду рівноточних вимірювань характеризується тільки одній величиною.

У геодезії, зокрема в різних нормативних документах, що регламентують точність окремих видів геодезичних робіт, використовують три види точечних оцінок. Розглянемо кожну з них.

Виходячи з властивості розсіювання випадкових похибок, вираженого границею (1.10), якнайкращим точечним критерієм міг би бути стандарт σ. Але це тільки в теорії, оскільки для отримання величини σ необхідно реалізувати нескінченний ряд вимірювань. На практиці число вимірювань завжди обмежене, і значення σ залишається невідомим. От чому замість стандарту σ у геодезії використовують його наближене значення, що отримало назву середньої квадратичної похибки, яка обчислюється за формулою

m = . (1.13)

Якщо ми маємо кінцевий ряд похибок Δ1, Δ2, Δn, на суму [Δ2] переважаючий вплив надаватимуть похибки, великі по абсолютній величині. Отже, чим точніше виконані вимірювання, тим меншим як це видно з (1.13), буде значення m.

Далі на підставі (1.10), (1.13) можемо записати

. (1.14)

З (1.14) витікає, що оцінка m в границі прагне до стандарту σ. Оцінки, що володіють такою властивістю, називають спроможними.

Далі з (1.13) витікає, що якщо результати вимірювань не містять систематичних похибок, то і величина m не буде зміщена у бік збільшення. Оцінки, що володіють такою властивістю, називають незміщеними.

Отже, середня квадратична похибка m – спроможна і незміщена оцінка стандарту σ.

Іншою точичною оцінкою є гранична похибка, встановлена в п.1.5 нерівністю (1.6).

Гранична попохибка, як і стандарт σ, залежить тільки від умов вимірювань. Отже, між цими величинами повинна існувати деяка залежність.

У теорії вірогідності встановлено, що, якщо випадкові похибки розподілені по нормальному закону, вираженому формулою (3.1), то вірогідність того, що

<2 σ = 0.9544,

<3 σ = 0.9974.

Це означає, що абсолютна величина випадкової похибки може бути більше 2σ лише в 5 випадках з 100 можливих, а більше 3σ тільки в 3 випадках з 1000 можливих.

Виходячи з цих міркувань, а також беручи до уваги, що замість невідомого стандарту використовується середня квадратична похибка, в геодезії прийнято як граничну похибку приймати величини

Δпр=2σ ≈ 2m (1.15)

при відносно невеликій кількості вимірюваних величин або при особливо відповідальних вимірюваннях. У решті всіх випадків

Δпр=3σ ≈ 3m . (1.16)

Отже, якщо який-небудь результат вимірювань має похибку, більшу чим гранична, то такий результат містить грубу похибку і тому повинен бути виключений з подальшій обробки і замінений новим, отриманим з повторних вимірювань.

Іноді замість середньої квадратичної похибки використовують ще одну точкову оцінку середню похибку, що обчислюється за формулою

υ= . (1.17)

В теорії вірогідності доведено, що між величинами m і υ існують залежності

υ =0.7979 m,

m =1.2533 υ. (1.18)

Таким чином, всі точкові оцінки, так або інакше, пов'язані з середньою квадратичною похибкою. У свою чергу, величина m є наближеним значенням стандарту.

Правомірним буде питання, наскільки і як швидко значення m, залежне від числа вимірювань, наближається до σ. Досліджуємо це на конкретному прикладі з практики геодезичних вимірювань.

У табл. 3.3 приведені значення m, обчислені послідовно по перших п'яти похибках Δi, потім по 10, 15. 60 похибкам, тобто кожного разу додавалося по 5 похибок, отриманих як різниця між зміряним і дійсним значенням горизонтального кута. Вимірювання виконане теодолітом 2Т30М в умовах, яким відповідає σ = 30''.
Таблиця 1.1

n
5
10
15
20
30
35
40
45
50
55
60

mсек
35
31
29
28
29
28
29
29
29
32
30


Як бачимо, при n>5 значення m достатньо швидко сходиться до границі (1.14). Та все ж m залишається хоч і стійкою, але проте, випадковою величиною, тобто є містить деяку похибку. Тому можна поставити питання про оцінку точності і надійності величини m. Такою оцінкою буде середня квадратична похибка mmсамої середньої квадратичноїпохибки m, яку обчислюють за наближеною формулою

mm= . (1.19)

Як випливає з (1.19), mm– убуваюча функція від n. Про швидкість цього убування можна судити за даними табл.3.4, де приведені значення відносної похибки

, (1.20)

виражені у відсотках.

Таблиця 1.2

n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
15
20
25
30

mm%
50
41
35
32
29
27
25
24
22
18
16
14
13


Таким чином, при малому числі вимірювань, як це буває в більшості випадків геодезичної практики, середня квадратична похибка має не більш за одну – дві значущих цифр.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ


1. Бурмистров Г.А. Основи способу найменших квадратів. – М.: Госгеолтехиздат, 1963.–392 з.

2. Гайдаев П.А., Большаков В.Д. Теорія математичної обробки геодезичних вимірювань. – М.: Надра, 1969.– 400 з.

3. Кемниц Ю.В. Теорія помилок вимірювань. – М.: Надра, 1962. – 175 з.

Чеботарев А.С. Спосіб найменших квадратів з основами теорії вірогідності.– М.: Геодезіздат, 1958. – 606 з.

5. Оуэн Д.Б. Збірка статистичних таблиць. – М.: ВЦ АН СРСР, 1973. – 586 з.

6. Хейфец Б.С., Данилевич Б.Б. Практикум по інженерній геодезії. – М., Надра, 1973. – 320 з.

7. Lesniok H. Wyklady z geodezji. Tom 1. – Warszawa, PWN. – 296 s.
скачати

© Усі права захищені
написати до нас