НАЦІОНАЛЬНИЙ АВІАЦІЙНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
Кафедра комп'ютеризованих систем управління
Лабораторна робота № 1
з дисципліни «Математичні методи моделювання та оптимізації систем і процесів»
Виконав: Козьмін Є.В.
Група: СП-535
Перевірив: Супрун О.М.
Київ 2022
Тема: Моделювання випадкових подій та їх потоків.
Мета: Набуття практичних навичок із моделювання випадкових подій та їх потоків.
Хід роботи
Згенеруйте випадкові рівномірно розподілені числа від 0 до 1, використавши вбудований генератор випадкових чисел.
Використаємо функцію random() з бібліотеки random. Під час кожної ітерації циклу додаємо отримане випадкове значення в кінець масиву array_r.
for i in range(1000):
array_r.append(random.random())
Отримайте значення zі для інтервалів між викликами за формулою:
Під час кожної ітерації циклу додаємо отримане значення zi в кінець масиву array_z.
for i in range(1000):
lamda = 10 * (i + 1) / (i + 4)
array_z.append(- np.log(array_r[i]) / lamda)
На проміжку [ Tmin, Tmax], Tmin = 0, отримайте послідовність tk моментів надходження викликів.
Під час кожної ітерації циклу обчислюємо значення z та додаємо його в кінець масиву array_t_k.
for i in range(1000):
z = z + array_z[i]
array_t_k.append(z)
Для кожного проміжку визначте значення xj(t), j = 1, 2, ... – кількість викликів, що потрапили у проміжок часу довжиною t = 1 хв.
Під час кожної ітерації циклу обчислюємо суму однакових сусідніх елементів x та додаємо її в кінець масиву array_x.
for i in range(1000 - 1):
if (array_t_k[i] // 1) == (array_t_k[i + 1] // 1):
x = x + 1
if ((array_t_k[i] // 1) < (array_t_k[i + 1] // 1)) or (i == 1000 - 2):
x = x + 1
array_x.append(x)
x = 0
Побудуйте таблицю статистичного розподілу випадкової величини xj(t).
Спершу створюємо відсортований масив array_x_sort зі значеннями xj(t).
for i in range(len(array_x)):
array_x_sort.append(array_x[i])
array_x_sort.sort()
Далі під час кожної ітерації циклу обчислюємо суму однакових сусідніх елементів xj(t) та додаємо її в кінець масиву array_n.
for i in range(len(array_x) - 1):
if (array_x_sort[i] // 1) == (array_x_sort[i + 1] // 1):
x = x + 1
if ((array_x_sort[i] // 1) < (array_x_sort[i + 1] // 1)) or (i == len(array_x) - 2):
x = x + 1
array_n.append(x)
x = 0
Визначити модельне значення параметра потоку «лямбда» за такою формулою:
Для знаходження суми zi використаємо вбудовану функцію sum(), яка обчислює суму всіх елементів масиву.
z_ser = sum(array_z) / 1000
lamda_ser = 1 / z_ser
Для модельного «лямбда» та заданого «лямбда» значень параметрів потоку визначте імовірність P0(t) відсутності викликів за проміжок t = 1 хв.
Для найпростішого потоку ймовірність надходження i викликів
за час t дорівнює:
Модельне значення ймовірності надходження «i» викликів за час
t дорівнює:
Спершу обчислюємо ймовірність надходження викликів за 1 хв. Для знаходження експоненти та факторіала деякого числа використовуємо функції e() та factorial() з бібліотеки math. Під час кожної ітерації циклу обчислюємо значення ймовірності Pi(1) за відповідною формулою та додаємо його в кінець масиву array_p.
for i in range(len(array_n)):
array_p.append(((lamda ** i) * math.e ** (-lamda)) / (math.factorial(i)))
Далі знаходимо значення модальної ймовірності надходження викліків за 1 хв.
for i in range(len(array_n)):
array_p_ser.append(array_n[i] / sum(array_n))
В одній системі координат побудуйте графіки f1 = Pi(t) та f2 = Pmod,i(t).
Для побудови графіків використаємо бібліотеку візуалізації даних на мові програмування Python – matplotlib.
fig = plt.figure() # створення графічного вікна
plt.title('Графіки P(t)') # назва графіка
plt.xlabel('t') # підпис осі X
plt.ylabel('P') # підпис осі Y
x_p = np.arange(0, len(array_p), 1) # масив значень X від 0 до len(array_p) з інтервалом 1
y_p = np.array(array_p) # масив значень Y
x_p_ser = np.arange(0, len(array_p_ser), 1) # масив значень X від 0 до len(array_p_ser) з інтервалом 1
y_p_ser = np.array(array_p_ser) # масив значень Y
plt.plot(x_p, y_p, 'red', x_p_ser, y_p_ser, 'blue') # додання масивів координат на графік
plt.grid(True) # відображення сітки
plt.show() # відображення вікна з графіками
Змоделюйте два найпростіших потоки, скориставшись для кожного з них методикою п.1-5:
Спершу обчислюємо значення zі для інтервалів між викликами.
for i in range(1000):
lamda_2 = 15 * (i + 1) / (i + 4)
array_z_2.append(- np.log(array_r[i]) / lamda_2)
Далі знаходимо послідовність tk моментів надходження викликів.
for i in range(1000):
z_2 = z_2 + array_z_2[i]
array_t_k_2.append(z_2)
Визначаємо кількість викликів xj(t), що потрапили у проміжок часу довжиною t = 1 хв.
x = 0
for i in range(1000 - 1):
if (array_t_k_2[i] // 1) == (array_t_k_2[i + 1] // 1):
x = x + 1
if ((array_t_k_2[i] // 1) < (array_t_k_2[i + 1] // 1)) or (i == 1000 - 2):
x = x + 1
array_x_2.append(x)
x = 0
Отримайте сумарний потік, складаючи x(t) відповідних інтервалів.
Під час кожної ітерації обчислюємо суму x(t) відповідних інтервалів. Якщо деякий потік більше іншого, то додаємо x(t) більшого потоку в масив сумарного потоку array_x_sum.
array_x_sum = []
for i in range(len(array_x)):
if i < len(array_x_2):
array_x_sum.append(array_x[i] + array_x_2[i])
else:
array_x_sum.append(array_x[i] + 0)
Побудуйте в одній системі координат графіки f1 = x1(n), f2 = x2(n), f3 = x(n), де n – номер інтервалу, x1, x2, x3 – кількість викликів, що потрапили до інтервалу для першого, другого і сумарного потоків відповідно.
fig2 = plt.figure() # створення графічного вікна
plt.title('Графіки x(n)') # назва графіка
plt.xlabel('n') # підпис осі X
plt.ylabel('x') # підпис осі Y
x_1 = np.arange(0, len(array_x), 1) # масив значень X1 від 0 до len(array_x) з інтервалом 1
y_1 = np.array(array_x) # масив значень Y для X1
x_2 = np.arange(0, len(array_x_2), 1) # масив значень X2 від 0 до len(array_x_2) з інтервалом 1
y_2 = np.array(array_x_2) # масив значень Y для X2
x = np.arange(0, len(array_x_sum), 1) # масив значень X3 від 0 до len(array_x_sum) з інтервалом 1
y = np.array(array_x_sum) # масив значень Y для X3
plt.plot(x_1, y_1, 'red', x_2, y_2, 'green', x, y, 'blue') # додання масивів координат на графік
plt.grid(True) # відображення сітки
plt.show() # відображення вікна з графіками
Для сумарного потоку визначте модельне значення лямбда(sum), використавши методику п. 6.
z_ser = sum(array_x) / 1000
lamda_ser = 1 / z_ser # лямбда першого потоку
z_ser_2 = sum(array_x_2) / 1000
lamda_ser_2 = 1 / z_ser_2 # лямбда другого потоку
z_ser_sum = sum(array_x_sum) / 1000
lamda_ser_sum = 1 / z_ser_sum # лямбда сумарного потоку
Порівняйте отримані значення лямбда.
print('Модельне значення лямда(x1) = ' + str(lamda_ser))
print('Модельне значення лямда(x2) = ' + str(lamda_ser_2))
print('Модельне значення лямда(x1+x2) = ' + str(lamda_ser_sum))
На основі отриманих результатів можна зробити висновок, що модальне значення лямбда сумарного потоку менше в порівнянні з першим та другим.
Висновок: в ході виконання лабораторної роботи №1 було отримано практичні навички із моделювання випадкових подій та їх потоків. Також було розроблено і реалізовано програму моделювання потоку випадкових подій за допомогою інтегрованої середи розробки(IDE) для програмування на мові Python – PyCharm. На основі результатів роботи програми було виконано статистичне оброблення отриманих даних, досліджено та проаналізовано властивості сумарного потоку двох найпростіших потоків подій. Також було побудовано графіки f1 = x1(n), f2 = x2(n), f3 = x(n), та f1 = P(t) і f2 = Pmod(t) за допомогою бібліотеки matplotlib.
Додаток А. Лістинг файлу «main.py»
import random
import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
array_r = []
array_z = []
lamda = 0
z = 0
x = 0
t_min = 0
array_t_k = []
array_x = []
array_x_sort = []
array_n = []
z_ser = 0
lamda_ser = 0
array_p = []
array_p_ser = []
counter = 0
# task 1
for i in range(1000):
array_r.append(random.random())
# task 2
for i in range(1000):
lamda = 10 * (i + 1) / (i + 4)
array_z.append(- np.log(array_r[i]) / lamda)
# task 3
for i in range(1000):
z = z + array_z[i]
array_t_k.append(z)
# task 5.2
for i in range(1000 - 1):
if (array_t_k[i] // 1) == (array_t_k[i + 1] // 1):
x = x + 1
if ((array_t_k[i] // 1) < (array_t_k[i + 1] // 1)) or (i == 1000 - 2):
x = x + 1
array_x.append(x)
x = 0
# task 5.3
for i in range(len(array_x)):
array_x_sort.append(array_x[i])
array_x_sort.sort()
for i in range(len(array_x) - 1):
if (array_x_sort[i] // 1) == (array_x_sort[i + 1] // 1):
x = x + 1
if ((array_x_sort[i] // 1) < (array_x_sort[i + 1] // 1)) or (i == len(array_x) - 2):
x = x + 1
array_n.append(x)
x = 0
# task 6
z_ser = sum(array_z) / 1000
lamda_ser = 1 / z_ser
# print('Zсер = ' + str(z_ser))
# print('Лямбда = ' + str(lamda_ser))
# task 7.1-7.3
for i in range(len(array_n)):
array_p.append(((lamda ** i) * math.e ** (-lamda)) / (math.factorial(i)))
for i in range(len(array_n)):
array_p_ser.append(array_n[i] / sum(array_n))
for i in range(len(array_p_ser)):
if counter == 4:
print()
counter = 0
print(array_p_ser[i], end=' ')
counter = counter + 1
print()
# task 7.4
fig = plt.figure()
plt.title('Графіки P(t)')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('P')
x_p = np.arange(0, len(array_p), 1)
y_p = np.array(array_p)
x_p_ser = np.arange(0, len(array_p_ser), 1)
y_p_ser = np.array(array_p_ser)
plt.plot(x_p, y_p, 'red', x_p_ser, y_p_ser, 'blue')
plt.grid(True)
plt.show()
# task 8
array_r_2 = []
lamda_2 = 0
array_z_2 = []
z_2 = 0
array_t_k_2 = []
array_x_2 = []
for i in range(1000):
lamda_2 = 15 * (i + 1) / (i + 4)
array_z_2.append(- np.log(array_r[i]) / lamda_2)
for i in range(1000):
z_2 = z_2 + array_z_2[i]
array_t_k_2.append(z_2)
x = 0
for i in range(1000 - 1):
if (array_t_k_2[i] // 1) == (array_t_k_2[i + 1] // 1):
x = x + 1
if ((array_t_k_2[i] // 1) < (array_t_k_2[i + 1] // 1)) or (i == 1000 - 2):
x = x + 1
array_x_2.append(x)
x = 0
# task 9
array_x_sum = []
for i in range(len(array_x)):
if i < len(array_x_2):
array_x_sum.append(array_x[i] + array_x_2[i])
else:
array_x_sum.append(array_x[i] + 0)
# task 10
fig2 = plt.figure()
plt.title('Графіки x(n)')
plt.xlabel('n')
plt.ylabel('x')
x_1 = np.arange(0, len(array_x), 1)
y_1 = np.array(array_x)
x_2 = np.arange(0, len(array_x_2), 1)
y_2 = np.array(array_x_2)
x = np.arange(0, len(array_x_sum), 1)
y = np.array(array_x_sum)
plt.plot(x_1, y_1, 'red', x_2, y_2, 'green', x, y, 'blue')
plt.grid(True)
plt.show()
# task 11
z_ser = sum(array_x) / 1000
lamda_ser = 1 / z_ser
z_ser_2 = sum(array_x_2) / 1000
lamda_ser_2 = 1 / z_ser_2
z_ser_sum = sum(array_x_sum) / 1000
lamda_ser_sum = 1 / z_ser_sum
# task 12
print('Модельне значення лямбда(x1) = ' + str(lamda_ser))
print('Модельне значення лямбда(x2) = ' + str(lamda_ser_2))
print('Модельне значення лямбда(x1+x2) = ' + str(lamda_ser_sum))