Ім'я файлу: Теореми існування.docx
Розширення: docx
Розмір: 31кб.
Дата: 15.06.2021
скачати
Пов'язані файли:
Відкритий урок Алгебра.docx

1. ТЕОРЕМИ ІСНУВАННЯ

1.1. Метод послідовних приближень в комплексній області

Розглянемо функцію одного комплексного перемінного голоморфну в області , обмеженою випуклою лінією , і на самій цій лінії; нехай буде найбільше значення модуля в цій області. Різність , де – будь які точки цієї області, рівна певному інтегралу , взятому уздовж прямої, яка з’єднує обидві ці точки. Отже, ми маємо:



Так само, нехай – голоморфна функція двох змінних , колиці змінні залишаються відповідно в двох областях і , обмежених двома випуклими лініями ; нехай будуть найбільші значення модулів в цій області. Якщо - дві довільні точки області , а - дві довільні точки області , то ми маємо:

, отже,



Цю нерівність можна узагальнити на будь яке число незалежних змінних.

Для простоти ми тут обмежимося випадком одного рівняння

(1)

Допустимо, що права частина (1) голоморфна в області, обумовленою нерівностями

; нехай буде значення максимума модуля в цій області і - менше з двох чисел . Опишемо в площині змінного з точки коло радіусом, рівним , і покладемо



Припускаючи, що точка лежить всередині кола , ми спочатку докажемо послідовно, що



Отже, всі ці функції змінного голоморфні в колі , і дії можна продовжувати необмежено. Далі ми маємо:

(2)

де інтеграл взятий уздовж прямої, з’єднуваної точки Нехай буде найбільше значення модуля , коли ; на основі попереднього ми маємо як і раніше:



Припустимо, що



Це співвідношення, очевидно, вірне при . Покладемо Змінюючи змінне через , ми приведемо інтеграл (2) до інтегралу по , взятому уздовж дійсної осі від 0 до , і отримаємо:



або



Ряд з загальним членом - рівномірно сходиться в колі , і, так як всі його члени суть голоморфні функції, то його сума є функція, голоморфна в тому ж колі, задовольняючи рівняння (1) і приймаючи значення

Примітка. Розв’язання лінійних рівнянь не можуть мати інших особливих точок, крім особливих точок коефіцієнтів цих рівнянь.

Лінійне диференціальне рівняння n-го порядку має вигляд

(3)

де – функції одного змінного . З загального міркування слідує, що загальний розв’язок рівняння (3) буде голоморфним в колі . Але в багатьох випадках можна стверджувати, що існує більш широка область, в якій цей розв’язок буде голоморфним.

Дійсно, допустимо, що - аналітичні функції комплексного змінного . Відмітимо на площині особливі точки цих функцій і допустимо, що від кожної з цих точок проведена напівпряма як продовження відрізку, що з’єднує точку з цією особливою точкою. Сукупність точок площини, що не лежать ні на одній з вказаних ліній, називається зіркою, відповідній системі особливих точок. Пряма, що з’єднує точку з будь якою точкою зірки, не проходить ні через одну з особливих точок. Значить, уздовж цієї прямої загальний розв’язок рівняння (3) буде голоморфним. А так як - будь яка точка зірки, то звідси укладаємо, що розглянуте рішення буде голоморфним по всій зірці.

Користуючись методом послідовних приближень, ми можемо отримати для рішення лінійного рівняння розкладання в ряди, що сходяться по всій зірці.

1.2. Теорема Коші

Метою цього параграфу є формулювання і доказ теореми, фундаментальної для всієї аналітичної теорії диференційних рівнянь. При цьому буде розглядатись випадок, коли рішення диференційного рівняння являється функцією комплексного змінного.

Розглянемо одне рівняння

(1)

де – взагалі кажучи комплексні, а - аналітична функція змінних

Задамо початкові умови для рівняння (1):



де - довільні комплексні числа.

Задача Коші. Знайти рішення рівняння (1), що задовольняє задані початкові умови.

Розглянемо випадок, коли функція голоморфна в області значень , тобто розкладається в степенний ряд що сходиться в області цих значень. Таким чином, задача Коші сходиться до пошуку степенного ряду що сходиться в деякій області по степеням , який задовольняє диференційне рівняння (1). Потрібно, виходячи з диференційного рівняння (1), знайти коефіцієнти цього ряду і доказати його збіжність в деякій області. Для рішення цієї задачі будемо використовувати метод Коші.

Вводимо заміну



Ця заміна зведе розглянуту задачу до знаходження рішення рівняння з початковими умовами при . Тому від самого початку можна рахувати, що мають нульові початкові значення і голоморфна в області цих початкових значень функція розкладається в ряд

(2)

який сходиться всередині деяких кіл з радіусами

(3)

на площинах

Отже, замість рівняння (1) можна розглядати рівняння

(1’)

з нульовими початковими умовами.

Рішення рівняння (1’) будемо шукати у вигляді ряду

(4)

Підставивши ряд (4) в рівняння (1’), можна визначити коефіцієнти через відомі коефіцієнти розкладання (2). Так, допустивши, що ряд (4) сходиться всередині деякого кола (рядом Тейлора), отримаємо співвідношення типу

(5)

Значення знайдемо, знаючи тип рівняння (1’). Так з рівняння (1’) при отримаємо:

(6)

Потім, багаторазово диференціюючи рівняння (1’), знайдемо:

(7)

Після чого візьмемо в рівняннях (7) Звідси, враховуючи (2), маємо



Останні співвідношення дозволяють знайти всі коефіцієнти . Використовуючи (7), можна отримати

(8)

Підставивши значення з (6), , ,… з (8) в (5), визначимо коефіцієнти , які являють собою многочлени з позитивними коефіцієнтами від , тобто

(9)

Звідси слідує єдність .

Примітка. Відшукання рішення диференційного рівняння в формі ряду було відомо з часів Ньютона, але до Коші вважали, що якщо вдається визначити коефіцієнти , то побудований з них ряд (4) обов’язково сходиться і представляє рішення диференційного рівняння. Коші був перший, хто для цих формально складених степенних рядів став доводити збіжність підбором відповідних мажорант (див. нижче). Свій метод він назвав «methode dos limites» (методом границь).

Наведемо два приклади, в яких коефіцієнти ряда (4) легко визначаються, але при цьому ряд не дає рішення диференційного рівняння.

Приклад 1.

(10)

Будемо шукати рішення рівняння (10) з нульовими початковими умовами Нехай шукане рішення має вигляд

(11)

Підставимо ряд (11) в рівняння (10) і порівняємо коефіцієнти при відповідних степенях в обох частинах рівняння:



Враховуючи знайдені значення запишемо ряд (11)



де Цей ряд не представляє рішення рівняння (10), оскільки він розходиться при будь якому

Приклад 2.

(12)

Знову будемо шукати рішення рівняння (12) в вигляді (11) з нульовими початковими умовами. Після підстановки ряду (11) в рівняння (12) отримаємо співвідношення для визначення коефіцієнтів :



Звідси а коефіцієнт не може бути знайденим.

Присутні в прикладах 1,2 труднощі зв’язані з тим, що умови, які мають місце для рівняння (1’), не виконуються для рівнянь (10) і (12). А саме, перепишемо ці рівняння у вигляді



Їх праві частини в області нульових початкових значень не являються голоморфними. Звідси слідує неможливість розкладання (2).

Таким чином, голоморфність правої частини для рівняння (1) являється достатньою умовою того, що коефіцієнти розкладання рішення вдасться однозначно визначити і отриманий ряд буде сходящимся.

Метод границь Коші заснований на порівнянні ряду (4) з деяким спеціально підібраним рядом, який називається мажорант ним. Цей підібраний ряд обов’язково повинен бути сходящимся.

Коші показав, що наявності голоморфності правої частини достатньо і для сходи мості ряду (4).

Введемо тепер поняття мажорантної функції.

Нехай маємо функцію двох змінних, що розкладається в ряд

(13)

і нехай - аналітична функція, розкладання в ряд якої в області сходи мості

(14)

маємо

(15)

Допустимо, що дійсні позитивні коефіцієнти рядів (13) і (15) задовольняють умови

(16)

При виконанні умов (16) ряд (15) будемо називати мажорантним по відношенню до ряду (13) і, слідуючи Пуанкаре, позначати:



Через позначимо многочлен від коефіцієнтів ряду (13) з позитивними дійсними коефіцієнтами.

Очевидно, що



(модуль сум менше або рівний сумі модулів). В силу нерівності (16), маємо



Відмітимо, що ряд (13) сходиться в тій же області, де сходиться ряд (15), і, слідуючи, область сходи мості ряду (13) не менше області сходи мості ряду (15).

Теорема Коші. Нехай права частина рівняння (1) є голоморфна функція в області значень Тоді це рівняння має рішення, приймаюче при значення і голоморфне всередині кола, визначеного рівністю

(17)

Доказ. Нехай права частина рівняння (1)

(18)

голоморфна в області Рішення рівняння (1) будемо шукати у вигляді ряду

(19)

що задовольняє початкові значення Коефіцієнти ряду (19) визначаються через коефіцієнти ряду (18) за допомогою формул типу (9), де - многочлен по вхідним в нього аргументам з дійсними позитивними коефіцієнтами.

Наша задача полягає в доказі збіжності ряду (19) в деякій області Для цього виберемо числа такі, що Існує таке число , що всередині і на колах



Нехай Тоді функція приймає вигляд

(20)

Змінивши в обох частинах рівності (20) отримаємо

(21)

де - комплексне число, поєднане з , і – комплексне число поєднане з

Тоді



Інтегруючи останнє рівняння по в межах від 0 до знайдемо



Оскільки



то з (22) отримаємо


скачати

© Усі права захищені
написати до нас