Опорний план-конспект. Методи доведення нерівностей. 9 клас
Довести нерівність – означає надати їй правильність при всіх допустимих значеннях змінних, що входять до неї.
1. Доведення нерівностей на основі означення числової нерівності
Щоб довести, що нерівність f(x)
1) знайти різницю лівої та правої частин нерівності: f(x)–g(x);
2) перетворити (спростити, виділити повний квадрат за допомогою формули квадрата двочлена а2+2аb+b2=(а+b)2 тощо) різницю так, щоб можна було визначити її знак (<0, >0, =0);
3) скориставшись означенням, зробити висновок.
2. Метод різниці (або рівносильних перетворень).
Цей прийом полягає в тому, що розглядають різницю лівої та правої частин нерівності і доводять, що ця різниця набуває значень постійного знака при будь-яких значеннях змінних.
3. Метод спрощення нерівності
У ряді випадків спрощення виразів, які утворюють нерівність, робить цю нерівність очевидною.
4. Метод міркування від супротивного
1.Робимо припущення, протилежне тому, яке треба довести.
2.За допомогою міркувань, спираючись на очевидні нерівності, доходимо висновку, що суперечить або умові, або доведеній раніше нерівності.
3.На цій основі робимо висновок, що наше припущення неправильне, а тому правильна нерівність, що доводиться.
5. Метод застосування очевидної нерівності:
Цей прийом полягає в такому: задану нерівність отримують у результаті перетворення очевидної нерівності чи додавання або множення кількох очевидних нерівностей.
6. Метод застосування раніше доведеної нерівності:
Нерідко раніше доведена нерівність може бути використана для доведення іншої, більш складної нерівності.
До опорних нерівностей належать такі нерівності:
1) a2≥0 при всіх дійсних а;
2) Сума додатних взаємно обернених чисел не менше за 2.
≥2, при a>0; b>0. Зауваження: рівність має місце при a=b.3) Середнє арифметичне двох невід’ємних чисел не менше за їх середнє геометричне.
, якщо a≥0; b≥0. Зауваження: рівність має місце при a=b або a=b=0.4)
, при a>0;5)
, при a<0;6) a2 + b2 ≥ 2ab – “нерівність двох квадратів”;
7) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac – “нерівність трьох квадратів”;
8) Нерівність Коші:
, хі ≥0 для довільних невід’ємних х1, х2, ..., хn, де 
- середнє арифметичне чисел х1, х2, ..., хn, 
- середнє геометричне даних чисел.Приклади розв’язування вправ на застосування даних прийомів доведення нерівностей детально розглянено у підручнику Мерзляк А. Г. Алгебра (9 кл. із поглибленим вивченням математики) (ст. 195-199).