Варівант № 2 З Адані 1 Дан трикутник ABC, де А (-3,2), В (3, -1), С (0,3). Знайти:
1. Довжину боку АВ;
2. Внутрішній кут А з точністю до градуса;
3. Рівняння і довжину висоти, опущеної з вершини С;
4. Точку перетину висот;
5. Рівняння медіани, опущеної з вершини С;
6. Систему
нерівностей, що визначають трикутник АВС;
7. Зробити креслення;
Рішення:
1. Знайдемо координати вектора АВ:
Довжина сторони АВ дорівнює:
2. Кут А будемо шукати як кут між векторами АВ і АС (-3,1)
Тоді
3. Пряма СК
перпендикулярна АВ проходить через точку С (0,3) і має нормаллю вектор
.
За формулою отримаємо рівняння висоти:
Скорочуємо на 3 отримаємо рівняння висоти:
4. Координати
підстави медіани будуть:
;
Рівняння медіани знайдемо, користуючись даною формулою, як ураненіе прямої, що проходить через 2 точки: С і М
Так як знаменник лівої частини дорівнює нулю, то рівняння медіани буде
мати такий вигляд х = 0
5. Відомо що висоти трикутника перетинаються в одній точці Р. Рівняння висоти СК знайдено, виведемо аналогічно висоту BD проходить через точку В
перпендикулярно вектору
Координати точки Р знайдемо як розв'язок системи рівнянь:
х = 11 у = 23
6. Довжину висоти hc будемо її шукати як відстань від точки С до прямої АВ. Ця пряма проходить через точку А і має направляючий вектор
.
Тепер скориставшись формулою
Підставляючи в неї координати точки С (0,3)
Завдання 2 Дано вектори
Довести, що
утворюють базис чотиривимірного простору, і знайти координати вектора «в» у цьому базисі.
Рішення:
1. Доведемо, що підсистема
лінійно незалежна:
З четвертого рівняння маємо, що
, Тоді з першого, другого і третього випливає, що
. Лінійна незалежність доведена.
Доведемо, що вектори
можна представити у вигляді лінійних комбінації
векторів .
Очевидно,
Знайдемо уявлення
через
.
З четвертого рівняння знаходимо
і підставляємо в перші три
Отримали, що дана система векторів не може називатися базисом!
Завдання 3 Знайти похідні функцій:
Завдання 4. Дослідити функцію і побудувати її графік
1. Область визначення:
, Тобто
2. Крива
має вертикальну ассімптоту х =- 1, так як
Знаходимо похилі асимптоти.
а то означає, що є вертикальна асимптота у = 0.
3.
Функція загального вигляду, так як
і
4.
Функція періодичністю не має
5. Знаходимо похідну функції
Отримуємо 3 критичні точки х =- 1 х = 1, і х = 5.
Результати дослідження на монотонність і екстремуми оформляється у вигляді таблиці
х
|
|
| 1
|
| 5
|
|
y '
| -
| -
| 0
| +
| 0
| -
|
y
| убуває
| убивиает
| 0 min
| зростає
| 0,074
| убуває
|
6. Знаходимо другу похідну функції
Отримуємо критичні точки х =- 1; х = 0,22; х = 6,11
Результати досліджень на опуклість та точки перегину оформляємо у вигляді таблиці.
х
|
|
| 0.22
|
| 6.11
|
|
y "
| -
| +
| 0
| +
| 0
| -
|
y
| опукла
| увігнута
| 0,335 перегин
| увігнута
| 0,072
| опукла
|
7. Знаходимо точки перетину графіка з осями координат Ох і Оу
отримуємо точку (0; 1);
отримуємо точку (1; 0)
8. При х =- 2, у =- 9, при х =- 5, у =- 0,56, при х =- 10, у =- 0,166
9. Будуємо графік
відповідно до результатів досліджень:
Завдання 5 Знайти невизначені інтеграли і перевірити їх диференціюванням.
а)
; Б)
, В)
; Г)
Рішення:
а) зробимо підстановку sin3x = t, тоді dt = cos3x dx, отже:
Перевірка:
б) зробимо підстановку
Перевірка:
в) Скористаємося способом інтегрування по частинах
Перевірка:
г) скористаємося способом інтегрування раціональних дробів
Перевірка:
Завдання 6 Обчислити площу
фігури, обмеженої графіками функцій:
Рішення:
знаходимо координати точок перетину заданих графіків функцій:
прирівнюючи праві частини, отримуємо квадратне рівняння
коріння цього квадратного рівняння
отже:
, І значить координати точок перетину А (0,7) і В (5,2). Точка х = 2 знаходиться між точками 0 і 5. Підставляючи в рівняння 2 отримуємо:
т.к
отримуємо: