Цікаві приклади в метричних просторах: 1. У
n - мірному евклідовому просторі повна обмеженість збігається зі звичайною обмеженістю, тобто з можливістю укласти дану множину в досить великий куб. Дійсно, якщо
такий куб розбити на кубики з ребром e, то вершини цих кубиків будуть утворювати кінцеву
-Мережу в вихідному кубі, а значить, і поготів, в будь-якій безлічі, що лежить всередині цього куба.
1. Одинична сфера
S в просторі
l 2 дає нам приклад обмеженого, але не цілком обмеженої
множини. Розглянемо в
S точки види:
е 1 = (1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),
е 2 = (0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...,
е n = (0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),
... ... ... ... ... ... ... ... ... ....
Відстань між будь-якими двома точками е n і е м (n ¹ m) дорівнює Ö2. Тому послідовність {е i} і будь-яка її підпослідовність не сходяться. Звідси в S не може бути кінцевою e-мережі ні при якому e <Ö2 / 2.
2. Розглянемо в
l 2 безліч
П точок
x = (x
1, x
2, ¼, x
n, ...),
задовольняють умовам:
| X
1 | £ 1, | x
2 | £ 1 / 2, ¼, | x
n | £ 1 / 2
n -1, ...
Це безліч називається фундаментальним параллепіпедом («гільбертовому цеглою») простору
l 2. Воно являє собою приклад нескінченновимірного цілком обмеженої множини. Для доказу його повної обмеженості поступимо таким чином.
Нехай e> 0 задано. Виберемо n так, що 1 / 2 n-1 <e / 2. Кожній точці x = (x 1, x 2, ¼, x n, ...)
з
П зіставимо точку x *= (x
1, x
2, ¼, x
n, 0, 0, ...)
з
того ж множини. При цьому
r (x, x *) =
£
<1 / 2
n -1 <e / 2.
Безліч
П * точок виду x *= (x
1, x
2, ¼, x
n, 0, 0, ...) з
П цілком обмежене (як обмежене безліч в
n-мірному просторі). Виберемо в
П * кінцеву e/2-сеть. Вона буде в той же час e-мережею у всьому
П. Доведемо це.
Доказ: для "e> 0, виберемо
n так, що 1 / 2
n -1 <e / 2.
"XÎ
П: x = (x
1, x
2, ¼, x
n, ...) зіставимо
x *= (x
1, x
2, ¼, x
n, 0, 0, ...) і x * Î
П. При цьому r (x, x *) <e / 2. З простору
П виберемо x **: r (x *, x **) <e / 2.
Тоді: r (x, x **) £ r (x, x *) + r (x *, x **) <e / 2 + e / 2 = e.
Безліч
П * містить точки виду x *= (x
1, x
2, ¼, x
n, 0, 0, ...), в цій безлічі виберемо кінцеву e/2-сеть. Вона буде e-мережею в просторі
П, так як r (x, x **) <e.