МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ РФ
НОУ ВПО «С.І.Б.У.П.»
Контрольна робота по дисципліни «Вища математика» Варіант 13. Виконала студентка
Перевірив:
Красноярськ, 2008р.
ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Завдання 1
Коефіцієнти використання робочого часу у двох комбайнів відповідно рівні 0,8 і 0,6. Вважаючи, що зупинки в роботі кожного комбайна виникають випадково і незалежно один від одного, визначити відносний час (ймовірність: а) роботи тільки одного комбайна; б) простою обох комбайнів.
А) Дана подія (працює тільки один комбайн) є сума 2 несумісних подій:
A = B + C,
де B: працює лише 1-й (2-й простоює); C: працює тільки 2-й (1-й простоює). Кожне з цих подій є твір 2 незалежних подій:
B = D
;
C =
E,
де D, E - події, що складаються в тому, що 1-й і 2-й комбайни працюють;
,
- Протилежні їм події, тобто 1-й і 2-й комбайни не працюють. Їх ймовірності:
P (D) = 0,8
P (E) = 0,6
P (
) = 1 - P (D) = 1 - 0,8 = 0,2
P (
) = 1 - P (E) = 1 - 0,6 = 0,4
За теоремам додавання і множення ймовірностей
P (A) = P (B) + P (C) = P (D) P (
) + P (
) P (E) = 0,8 * 0,4 + 0,2 * 0,6 = 0,44
Б) Дана подія (обидва комбайна простоюють) є твір 2 незалежних подій:
F =
По теоремі множення ймовірностей
P (F) = P (
) P (
) = 0,2 * 0,4 = 0,08
Завдання 2
Імовірність
того, що пасажир запізниться до відправлення поїзда, дорівнює 0,01. Знайти найбільш ймовірне число тих, що запізнилися з 800 пасажирів і ймовірність такого числа тих, що запізнилися.
Відбувається n = 800 незалежних випробувань, в кожному з яких дана подія (запізнення на поїзд) відбувається з імовірністю p = 0,01. Найбільш вірогідне число наступів події задовольняє нерівностям
np - q ≤ k <np + p,
де q = 1 - p = 1 - 0,01 = 0,99
800 * 0,01 - 0,99 ≤ k <800 * 0,01 + 0,01
7,01 ≤ k <8,01
k = 8
Так як n велике, p мала,
відповідну ймовірність знайдемо за формулою Пуассона:
Pn (k) =
,
де a = np = 800 * 0,01 = 8
P800 (8) = = 0,140
Завдання 3
На двох
автоматичних верстатах виробляються однакові вироби, дані закони розподілу числа бракованих виробів, вироблених протягом зміни на кожному з них для першого і для другого.
X 0 1 2 Y 0 2
p 0,1 0,6 0,3 p 0,5 0,5
Скласти закон розподілу випадкової величини Z = X + Y числа вироблених протягом зміни бракованих виробів обома верстатами. Скласти функцію розподілу і побудувати її графік. Перевірити властивість математичного сподівання суми випадкових величин.
Розмір Z може приймати значення:
0 + 0 = 0
0 + 2 = 2
1 + 0 = 1
1 + 2 = 3
2 + 0 = 2
2 + 2 = 4
Ймовірності цих значень (за теоремам додавання і множення ймовірностей):
P (Z = 0) = 0,1 * 0,5 = 0,05
P (Z = 1) = 0,6 * 0,5 = 0,3
P (Z = 2) = 0,1 * 0,5 + 0,3 * 0,5 = 0,2
P (Z = 3) = 0,6 * 0,5 = 0,3
P (Z = 4) = 0,3 * 0,5 = 0,15
Закон розподілу:
Z 0 1 2 3 4
p 0,05 0,3 0,2 0,3 0,15
Перевірка:
Σ pi = 0,05 + 0,3 + 0,2 + 0,3 + 0,15 = 1.
Функція розподілу
F (x) = P (X <x) =
=
\ S Математичні очікування:
M (x) = Σ xipi = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3 = = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3 \ * MERGEFORMAT 1,2
M (y) = Σ yipi = 0 * 0,5 + 2 * 0,5 = 1
M (z) = Σ zipi = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 = = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 \ * MERGEFORMAT 2,2
M (z) = M (x) + M (y) = = 0 * 0,1 + 1 * 0,6 + 2 * 0,3 \ * MERGEFORMAT 1,2 + 1 = = 0 * 0,05 + 1 * 0,3 + 2 * 0,2 + 3 * 0,3 + 4 * 0,15 \ * MERGEFORMAT 2,2
Завдання 4
Випадкова величина X задана
функцією розподілу
F (x) =
Знайти: 1) ймовірність попадання випадкової величини X в інтервал (1 / 3; 2 / 3); 2) функцію щільності розподілу ймовірностей f (x), 3)
математичне сподівання випадкової величини X; 4) побудувати графіки F (x) і f (x).
1) Ймовірність попадання випадкової величини в інтервал (a, b) дорівнює
P (a <X <b) = F (b) - F (a)
P (1 / 3 <X <2 / 3) = F (2 / 3) - F (1 / 3) = (2 / 3) 3 - (1 / 3) 3 = 8 / 27 - 1 / 27 = 7 / 27
f (x) = F `(x) =
3)
Математичне сподівання
M (X) =
=
=
=
= ¾ (14 - 04) = ¾
4) Графіки:
\ S \ S Завдання 5
Поточна ціна акції може бути змодельована за допомогою нормального закону розподілу з математичним очікуванням a = 26 і середнім квадратичним відхиленням σ = 0,7. Потрібно: а) записати функцію щільності ймовірності випадкової величини X - ціни акції і побудувати її графік; б) знайти ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення, що належить інтервалу (25,2; 26,8); в) знайти імовірність того, що абсолютна величина | X - 26 | виявиться менше ε = 0,5.
А) Функція щільності нормального розподілу має вигляд
f (x) =
=
=
\ S
Б) Імовірність того, що нормальна величина прийме значення з інтервалу (α; β), дорівнює
P (α <X <β) =
-
=
-
= Ф (1,14) - Ф (-1,14) = 0,3735 + 0,3735 = 0,747
Значення
функції Лапласа Ф (x) =
беремо з таблиць.
В) Імовірність того, що відхилення нормальної величини від математичного очікування не перевищує ε, дорівнює
P (| X - a | <ε) =
P (| X - 26 | <0,5) =
= 2Ф (0,714) = 2 * 0,2611 = 0,5222
СТАТИСТИКА
Завдання 1
У задачі наведена вибірка, витягнута з
відповідної генеральної сукупності. Потрібно: 1) за несгруппірованним даними знайти вибіркову середню, 2) знайти довірчий інтервал для оцінки невідомого математичного сподівання ознаки X генеральної сукупності (генеральної середньої), якщо ознака X розподілений за нормальним законом; відомі γ = 0,98 - надійність і σ = 200 - середнє квадратичне відхилення; 3) скласти інтервальний розподіл вибірки з кроком h = 200, взявши за початок першого інтервалу x1 = 700; 4) побудувати гістограму частот; 5) дати
економічну інтерпретацію отриманих результатів.
Проведено вибіркове
обстеження обсягу промислового виробництва за 16 місяців і отримані наступні результати (тис. крб.):
750; 950; 1000; 1050; 1050; 1150; 1150; 1150; 1200; 1200; 1250; 1250; 1350; 1400; 1400; 1550
1) Вибіркова середня
=
= (750 + 950 + 1000 + 1050 + 1050 + 1150 + 1150 + 1150 + 1200 + 1200 + 1250 + 1250 + 1350 + 1400 + 1400 + 1550) / 16 = 18850 / 16 = 1178,1 тис. руб.
2) Довірчий інтервал
-
<A <
+
,
де Ф (t) = γ / 2 = 0,98 / 2 = 0,49. По
таблиці функції Лапласа знаходимо: t = 2,32.
1178,1 -
<A <1178,1 +
1178,1 - 116,3 <a <1178,1 + 116,3
1061,8 <a <1294,4 тис. руб.
3) Підрахуємо
межі інтервалів:
x2 = x1 + h = 700 + 200 = 900 і т.д.
Підрахуємо частоти інтервалів (тобто кількість значень обсягу виробництва, що потрапили в даний інтервал). Інтервальний розподіл вибірки:
Інтервал | Частоти
|
(700; 900)
| 1
|
(900; 1100)
| 4
|
(1100; 1300)
| 7
|
(1300; 1500)
| 3
|
(1500; 1700)
| 1
|
4) Гістограма частот:
\ S 5)
Економічна інтерпретація. Середній обсяг промислового виробництва за 16 місяців склав 1178,1 тис. руб. З надійністю 0,98 можна стверджувати, що середній обсяг виробництва знаходиться в межах від 1061,8 до 1294,4 тис. крб. Найбільше число місяців (7) обсяг виробництва знаходився в інтервалі від 1100 до 1300 тис. руб.
Завдання 2
За кореляційної таблиці потрібно: 1) в прямокутній системі координат побудувати емпіричні ламані регресії Y на X і X на Y, зробити припущення про вид кореляційної зв'язку; 2) оцінити тісноту лінійної кореляційної зв'язку; 3) скласти лінійні
рівняння регресії Y на X і X на Y, побудувати їх графіки в одній системі координат, 4) використовуючи отримане рівняння, оцінити очікуване середнє значення ознаки Y при заданому x = 98. Дати економічну інтерпретацію отриманих результатів.
У таблиці дано розподіл 200 заводів по основних фондах X в млн. крб. і по готовій продукції Y у млн. крб.:
y \ x
| 20
| 30
| 40
| 50
| 60
| 70
| 80
| 90
| 100
| ny
|
12
| 4
| | | | | | | | | 4
|
18
| 6
| 10
| 2
| | | | | | | 18
|
24
| | 8
| 13
| 1
| 1
| | | | | 23
|
30
| | 4
| 7
| 9
| 3
| 4
| 2
| | | 29
|
36
| | 1
| 2
| 3
| 12
| 4
| 8
| | | 30
|
42
| | | | 1
| 3
| 18
| 24
| 1
| | 47
|
48
| | | | | | | 7
| 12
| 3
| 22
|
54
| | | | | | | | 9
| 18
| 27
|
nx
| 10
| 23
| 24
| 14
| 19
| 26
| 41
| 22
| 21
| n = 200
|
Підрахуємо умовні середні:
x = 20 =
= (12 * 4 + 18 * 6) / 10 = 15,6 і т.д.
y = 12 =
= 20 * 4 / 4 = 20,0 і т.д.
Емпіричні ламані регресії:
\ S \ S Емпіричні лінії регресії близькі до прямих. Можна зробити припущення про лінійний
характер зв'язку між величиною основних фондів і готовою продукцією.
2) Вибіркові середні:
=
= 12870 / 200 = 64,35
=
= 7362 / 200 = 36,81
Вибіркові середні квадратичні відхилення
σx =
=
= 24,12
σy =
=
= 11,39
Вибірковий коефіцієнт кореляції
r =
=
= 0,922
3) Рівняння лінійної регресії Y по X:
x -
= R
(X -
)
x - 36,81 = 0,922 *
(X - 64,35)
x = 0,435 x + 8,786
Рівняння лінійної регресії X по Y:
y -
= R
(Y -
)
y - 64,35 = 0,922 *
(Y - 36,81)
y = 1,951 y - 7,452
Графіки:
\ S 4) Очікуване середнє значення Y при X = 98:
x = 98 = 0,435 * 98 + 8,786 = 51,5 млн. крб.
Економічна інтерпретація. Зв'язок між величиною основних фондів і готової продукцій пряма і дуже тісний: коефіцієнт кореляції позитивний і близький до 1. При збільшенні основних фондів на 1 млн. крб.
готова продукція зростає в середньому на 0,435 млн. руб. При збільшенні готової продукції на 1 млн. крб.
основні фонди зростають у середньому на 1,951 млн. руб. При величині основних фондів 98 млн. руб. очікуване середнє значення готової продукції 51,5 млн. руб.
Завдання 3
Дано емпіричні значення випадкової величини. Потрібно: 1) висунути гіпотезу про вид розподілу; 2) перевірити гіпотезу за допомогою критерію Пірсона при заданому рівні значимості α = 0,05. За значення параметрів a і σ прийняти середню вибіркову і вибіркове середнє квадратичне відхилення, обчислені за емпіричними даними.
У таблиці дано розподіл доходу від реалізації деякого товару:
8-12
| 12-16
| 16-20
| 20-24
| 24-28
| 28-32
|
6
| 11
| 25
| 13
| 4
| 1
|