Кафедра: Вища математика
Реферат
з дисципліни «Вища математика»
Тема: «Межа і безперервність функцій кількох змінних»
Тольятті, 2008
Введення
Поняття функції однієї змінної не охоплює всі залежності, що існують в природі. Навіть у найпростіших завданнях зустрічаються величини, значення яких визначаються сукупністю значень декількох величин.
Для вивчення подібних залежностей вводиться поняття функції декількох змінних.
Поняття функції декількох змінних
Визначення. Величина u називається функцією декількох незалежних змінних (x, y, z, ..., t), якщо кожній сукупності значень цих змінних ставиться у відповідність певне значення величини u.
Якщо змінна є функцією від двох змінних х і у, то функціональну залежність позначають
z = f (x, y).
Символ f визначає тут сукупність дій або правило для обчислення значення z по даній парі значень х і у.
Так, для функції z = x 2 + 3 xy
при х = 1 і у = 1 маємо z = 4,
при х = 2 і у = 3 маємо z = 22,
при х = 4 і у = 0 маємо z = 16 і т.д.
Аналогічно називається величина u функцією від трьох змінних x, y, z, якщо дано правило, як з цієї трійці значень x, y і z обчислити відповідне значення u:
u = F (x, y, z).
Тут символ F визначає сукупність дій або правило для обчислення значення u, відповідного даними значенням x, y і z.
Так, для функції u = xy + 2 xz - 3 yz
при х = 1, у = 1 і z = 1 маємо u = 0,
при х = 1, у = -2 і z = 3 маємо u = 22,
при х = 2, у = -1 і z = -2 маємо u = -16 і т.д.
Таким чином, якщо в силу деякого закону кожної сукупності п чисел (x, y, z, ..., t) з деякого безлічі Е ставиться у відповідність певне значення змінної u, то і u називається функцією від п змінних x, y, z, ... , t, визначеної на множині Е, і позначається
u = f (X, y, z, ..., t).
Змінні x, y, z, ..., t називаються аргументами функції, безліч Е - областю визначення функції.
Приватним значенням функції називається значення функції в деякій точці М 0 (x 0, y 0, z 0, ..., t 0) і позначається f (М 0) = f (x 0, y 0, z 0, ..., t 0) .
Областю визначення функції називається множина всіх значень аргументів, яким відповідають будь-які справжні значення функції.
Функція двох змінних z = f (x, y) в просторі представляється деякою поверхнею. Тобто, коли точка з координатами х, у пробігає всю область визначення функції, розташовану в площині хОу, відповідна просторова точка, взагалі кажучи, описує поверхню.
Функцію трьох змінних u = F (x, y, z) розглядають як функцію точки деякої безлічі точок тривимірного простору. Аналогічно, функцію п змінних u = f (X, y, z, ..., t) розглядають як функцію точки деякого п-мірного простору.
Межа функції декількох змінних
Для того щоб дати поняття границі функції кількох змінних, обмежимося випадком двох змінних х та у. За визначенням функція f (x, y) має межу в точці (х 0, у 0), що дорівнює числу А, позначається так:
(1)
(Пишуть ще f (x, y) → А при (x, y) → (х 0, у 0)), якщо вона визначена в деякій околиці точки (х 0, у 0), за винятком, можливо, самої цієї точки і якщо існує межа
(2)
якою б не була прагне до (х 0, у 0) послідовність точок (x k, y k).
Так само, як у випадку функції однієї змінної, можна ввести інше еквівалентне визначення межі функції двох змінних: функція f має в точці (х 0, у 0) межа, рівний А, якщо вона визначена в деякій околиці точки (х 0, у 0 ) за винятком, можливо, самої цієї крапки, і для будь-якого ε> 0 знайдеться таке δ> 0, що
| F (x, y) - A | <Ε (3)
для всіх (x, y), що задовольняють нерівностям
0 < <Δ. (4)
Це визначення, в свою чергу, еквівалентно наступному: для будь-якого ε> 0 знайдеться δ-окіл точки (х 0, у 0) така, що для всіх (x, y) з цієї околиці, відмінних від (х 0, у 0) , виконується нерівність (3).
Так як координати довільної точки (x, y) околиці точки (х 0, у 0) можна записати у вигляді х = х 0 + Δ х, у = у 0 + Δ у, то рівність (1) еквівалентно наступному рівності:
Розглянемо деяку функції, задану в околиці точки (х 0, у 0), крім, можливо, самої цієї точки.
Нехай ω = (ω х, ω у) - довільний вектор довжини одиниця (| ω | 2 = ω х 2 + ω у 2 = 1) і t> 0 - скаляр. Точки виду
(Х 0 + t ω х, y 0 + t ω у) (0 <t)
утворюють промінь, що виходить з (х 0, у 0) в напрямку вектора ω. Для кожного ω можна розглядати функцію
f (Х 0 + t ω х, y 0 + t ω у) (0 <t <Δ)
від скалярної змінної t, де δ - досить мале число.
Межа цієї функції (однієї змінної t)
f (Х 0 + t ω х, y 0 + t ω у),
якщо він існує, природно називати межею f в точці (х 0, у 0) за напрямом ω.
Приклад 1. Опції
визначені на площині (x, y) за винятком точки х 0 = 0, у 0 = 0. Маємо (врахувати, що і ):
Звідси
(Для ε> 0 вважаємо δ = ε / 2 і тоді | f (x, y) | <ε, якщо <Δ).
Далі, вважаючи, що k - постійна, маємо для y = kx рівність
з якого видно, що межа φ в точці (0, 0) з різних напрямів взагалі різний (одиничний вектор променя y = kx, х> 0, має вигляд
).
Приклад 2. Розглянемо в R 2 функцію
(Х 4 + у 2 ≠ 0).
Ця функція в точці (0, 0) на будь-який прямий y = kx, що проходить через початок координат, має межу, що дорівнює нулю:
при х → 0.
Однак ця функція не має границі в точки (0, 0), бо при у = х 2
і
Будемо писати , Якщо функція f визначена в деякій околиці точки (х 0, у 0), за винятком, можливо, самої точки (х 0, у 0) і для всякого N > 0 знайдеться δ> 0 таке, що
| f (x, y) |> N,
якщо 0 < <Δ.
Можна також говорити про межу f, коли х, у → ∞:
(5)
Наприклад, у разі кінцевого числа А рівність (5) треба розуміти в тому сенсі, що для всякого ε> 0 знайдеться таке N > 0, що для всіх х, у, для яких | x |> N, | y |> N, функція f визначена і має місце нерівність
| f (x, y) - А | <ε.
Справедливі рівності
(6)
(7)
(8)
де може бути х → ∞, у → ∞. При цьому, як завжди, межі (кінцеві) в їх лівих частинах існують, якщо існують межі f і φ.
Доведемо для прикладу (7).
Нехай (x k, y k) → (х 0, у 0) ((x k, y k) ≠ (х 0, у 0)); тоді
(9)
Таким чином, межа в лівій частині (9) існує і дорівнює правій частині (9), а так як послідовність (x k, y k) прагне до (х 0, у 0) з будь-якого закону, то ця межа дорівнює межі функції f (x, y) ∙ φ (x, y) в точці (х 0, у 0).
Теорема. Якщо функція f (x, y) має межу, не рівний нулю в точці (х 0, у 0), тобто
то існує δ> 0 таке, що для всіх х, у, що задовольняють нерівностям
0 < <Δ, (10)
вона задовольняє нерівності
(12)
Тому для таких (x, y)
тобто має місце нерівність (11). З нерівності (12) для зазначених (x, y) слід звідки при A > 0 і при
A <0 (збереження знака).
За визначенням функція f (x) = f (x 1, ..., x n) = A має межу в точці
x 0 = , Що дорівнює числу А, що позначається так:
(Пишуть ще f (x) → A (x → x 0)), якщо вона визначена на деякій околиці точки x 0, за винятком, можливо, її самої, і якщо існує межа
якою б не була прагне до x 0 послідовність точок х k з вказаної околиці (k = 1, 2, ...), відмінних від x 0.
Інше еквівалентне визначення полягає в наступному: функція f має в точці x 0 межа, рівний А, якщо вона визначена в деякій околиці точки x 0, за винятком, можливо, її самої, і для будь-якого ε> 0 знайдеться таке δ> 0, що
(13)
для всіх х, що задовольняють нерівностям
0 <| x - x 0 | <δ.
Це визначення в свою чергу еквівалентно наступному: для будь-якого ε> 0 знайдеться окіл U (x 0) точки x 0 така, що для всіх х U (x 0), х ≠ x 0, виконується нерівність (13).
Очевидно, що якщо число А є межа f (x) в x 0, то А є межа функції f (x 0 + h) від h в нульовій точці:
і навпаки.
Розглянемо деяку функцію f, задану у всіх точках околиці точки x 0, крім, можливо, точки x 0; нехай ω = (ω 1, ..., ω п) - довільний вектор довжини одиниця (| ω | = 1) і t> 0 - скаляр. Точки виду x 0 + t ω (0 <t) утворюють виходить з x 0 промінь в напрямі вектора ω. Для кожного ω можна розглядати функцію
(0 <t <δ ω)
від скалярної змінної t, де δ ω є число, залежне від ω. Межа цієї функції (від однієї змінної t)
якщо він існує, природно називати межею f в точці x 0 по напрямку вектора ω.
Будемо писати , Якщо функція f визначена в деякій околиці x 0, за винятком, можливо, x 0, і для всякого N > 0 знайдеться δ> 0 таке, що | f (x) |> N, якщо 0 <| x - x 0 | <δ.
Можна говорити про межу f, коли х → ∞:
(14)
Наприклад, у разі кінцевого числа А рівність (14) треба розуміти в тому сенсі, що для всякого ε> 0 можна вказати таке N > 0, що для точок х, для яких | x |> N, функція f визначена і має місце нерівність .
Отже, межа функції f (x) = f (x 1, ..., х п) від п змінних визначається за аналогією так само, як для функції від двох змінних.
Таким чином, перейдемо до визначення границі функції кількох змінних.
Число А називається границею функції f (M) при М → М 0, якщо для будь-якого числа ε> 0 завжди знайдеться таке число δ> 0, що для будь-яких точок М, відмінних від М 0 і задовольняють умові | ММ 0 | <δ, буде мати місце нерівність | f (M) - А | <ε.
Межа позначають У випадку функції двох змінних
Теореми про межі. Якщо функції f 1 (M) і f 2 (M) при М → М 0 прагнуть кожна до кінцевого межі, то:
а)
б)
в)
Приклад 1. Знайти межа функції:
Рішення. Перетворимо межа наступним чином:
Нехай y = kx, тоді
Приклад 2. Знайти межа функції:
Рішення. Скористаємося першим чудовим межею Тоді
Приклад 3. Знайти межа функції:
Рішення. Скористаємося другий чудовим межею Тоді
Безперервність функції декількох змінних
За визначенням функція f (x, y) неперервна в точці (х 0, у 0), якщо вона визначена в деякій її околиці, в тому числі в самій точці (х 0, у 0) і якщо межа f (x, y) в цій точці дорівнює її значенню в ній:
(1)
Умова неперервності f в точці (х 0, у 0) можна записати в еквівалентній формі:
(1 ')
тобто функція f неперервна в точці (х 0, у 0), якщо неперервна функція f (х 0 + Δ х, у 0 + Δ у) від змінних Δ х, Δ у при Δ х = Δ у = 0.
Можна ввести прирощення Δ та функції і = f (x, y) в точці (x, y), відповідне приростам Δ х, Δ у аргументів
Δ і = f (х + Δ х, у + Δ у) - f (x, y)
і на цій мові визначити безперервність f в (x, y): функція f неперервна в точці (x, y), якщо
(1'')
Теорема. Сума, різниця, твір і приватне безперервних в точці (х 0, у 0) функцій f і φ є безперервна функція в цій точці, якщо, звичайно, у випадку приватного φ (х 0, у 0) ≠ 0.
Постійну з можна розглядати як функцію f (x, y) = с від змінних x, y. Вона безупинна по цим змінним, тому що
| f (x, y) - f (х 0, у 0) | = | с - с | = 0 0.
Наступними за складністю є функції f (x, y) = х і f (x, y) = у. Їх теж можна розглядати як функції від (x, y), і при цьому вони безперервні. Наприклад, функція f (x, y) = х приводить у відповідність кожній точці (x, y) число, рівне х. Безперервність цієї функції в довільній точці (x, y) може бути доведена так:
| F (х + Δ х, у + Δ у) - f (x, y) | = | f (х + Δ х) - х | = | Δ х | ≤ 0.
Якщо проводити над функціями x, y і постійними дії додавання, віднімання та множення в кінцевому числі, то будемо отримувати функції, звані многочленами від x, y. На підставі сформульованих вище властивостей многочлени від змінних x, y - безперервні функції від цих змінних для всіх точок (x, y) R 2.
Ставлення P / Q двох многочленів від (x, y) є раціональна функція від (x, y), очевидно, безперервна всюди на R 2, за винятком точок (x, y), де Q (x, y) = 0.
Функція
Р (X, y) = х 3 - у 2 + х 2 у - 4
може бути прикладом многочлена від (x, y) третього ступеня, а функція
Р (X, y) = х 4 - 2 х 2 у 2 + у 4
є приклад многочлена від (x, y) четвертого ступеня.
Наведемо приклад теореми, яка каже безперервність функції від безперервних функцій.
Теорема. Нехай функція f (x, y, z) неперервна в точці (x 0, y 0, z 0) простору R 3 (точок (x, y, z)), а функції
x = φ (U, v), y = ψ (U, v), z = χ (U, v)
безперервні в точці (u 0, v 0) простору R 2 (точок (u, v)). Нехай, крім того,
x 0 = φ (u 0, v 0), y 0 = Ψ (u 0, v 0), z 0 = Χ (u 0, v 0).
Тоді функція F (U, v) = f [Φ (u, v), ψ (u, v), χ (u, v)] безупинна (по
(U, v)) в точці (u 0, v 0).
Доказ. Так як знак межі можна внести під знак характеристики неперервної функції, то
Теорема. Функція f (x, y), безперервна в точці (х 0, у 0) і не рівна нулю в цій точці, зберігає знак числа f (Х 0, у 0) в деякій околиці точки (х 0, у 0).
За визначенням функція f (x) = f (x 1, ..., х п) неперервна в точці х 0 = (х 0 1, ..., х 0 п), якщо вона визначена в деякій її околиці, в тому числі і в самій точці х 0, і якщо межа її в точці х 0 дорівнює її значенню в ній:
(2)
Умова неперервності f в точці х 0 можна записати в еквівалентній формі:
(2 ')
тобто функція f (x) неперервна в точці х 0, якщо неперервна функція f (х 0 + h) від h в точці h = 0.
Можна ввести прирощення f в точці х 0, відповідне збільшенню h = (h 1, ..., h п),
Δ h f (х 0) = f (х 0 + h) - f (х 0)
і на його мові визначити безперервність f в х 0: функція f неперервна в х 0, якщо
(2'')
Теорема. Сума, різниця, твір і приватне безперервних в точці х 0 функцій f (x) і φ (x) є безперервна функція в цій точці, якщо, звичайно, у випадку приватного φ (х 0) ≠ 0.
Зауваження. Приріст Δ h f (х 0) називають також повним приростом функції f в точці х 0.
У просторі R n точок х = (x 1, ..., х п) задамо безліч точок G.
За визначенням х 0 = (х 0 1, ..., х 0 п) є внутрішня точка безлічі G, якщо існує відкритий куля з центром в ньому, яке повністю належить до G.
Безліч G R n називається відкритим, якщо всі його точки внутрішні.
Кажуть, що функції
х 1 = φ 1 (T), ..., х п = φ п (T) (a ≤ t ≤ b)
безперервні на відрізку [a, b], визначають безперервну криву в R n, що сполучає точки х 1 = (х 1 1, ..., х 1 п) і х 2 = (х 2 1, ..., х 2 п ), де х 1 1 = φ 1 (А), ..., х 1 п = φ п (А), х 2 1 = φ 1 (B), ..., х 2 п = φ п (B). Букву t називають параметром кривої.
Безліч G називається зв'язковим, якщо будь-які його дві точки х 1, х 2 можна з'єднати безперервної кривої, що належить G.
Чіткий відкрите безліч називається областю.
Теорема. Нехай функція f (x) визначена і неперервна на R n (у всіх точках R n). Тоді безліч G точок х, де вона задовольняє нерівності
f (x)> с (або f (x) <с), яка б не була постійна с, є відкрите безліч.
Справді, функція F (x) = f (x) - з безупинна на R n, і безліч всіх точок х, де F (x)> 0, збігається з G. Нехай х 0 G, тоді існує куля
| Х - х 0 | <δ,
на якому F (x)> 0, тобто він належить до G і точка х 0 G - внутрішня для G.
Випадок з f (x) <с доводиться аналогічно.
Таким чином, функція кількох змінних f (М) називається безперервної в точці М 0, якщо вона задовольняє наступним трьом умовам:
а) функція f (М) визначена в точці М 0 і поблизу цієї точки;
б) існує межа ;
в)
Якщо в точці М 0 порушено хоча б одна з цих умов, то функція в цій точці терпить розрив. Точки розрив можуть утворювати лінії розриву, поверхня розриву і т. д. Функція f (М) називається безперервної в області G, якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.
Приклад 1. Знайти точки розриву функції: z = ln (x 2 + y 2).
Рішення. Функція z = ln (x 2 + y 2) терпить розрив в точці х = 0, у = 0. Отже, точка О (0, 0) є точкою розриву.
Приклад 2. Знайти точки розриву функції:
Рішення. Функція не визначена в точках, в яких знаменник перетворюється на нуль, тобто x 2 + y 2 - z 2 = 0. Отже, поверхня конуса
x 2 + y 2 = z 2 є поверхнею розриву.
Висновок
Початкові відомості про межі і безперервності зустрічаються в шкільному курсі математики.
У курсі математичного аналізу поняття межі є одним з основних. За допомогою межі вводяться похідна та визначений інтеграл; межі ж є основним засобом у побудові теорії рядів. Поняття межі, що вперше з'явилося в 17 столітті в роботах Ньютона, використовується і отримує подальший розвиток в теорії рядів. У цьому розділі аналізу досліджуються питання, пов'язані з сумою нескінченної послідовності величин (як постійних, так і функцій).
Безперервність функції дає уявлення про її графіку. Це означає, що графік є суцільна лінія, а не складається з окремих розрізнених ділянок. Це властивість функції знаходить широке застосування у сфері економіки.
Тому поняття межі і безперервності грають важливу роль в дослідженні функцій кількох змінних.
Список використаної літератури
1. Бугров Я.С., Нікольський С.М. Вища математика: Підручник для вузів. Том 2: Диференціальне та інтегральне числення. Москва: Дрофа, 2004 рік, 512 с.
2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин І.М., Фрідмен М.Н. Вища математика для економістів. Москва: Юніті, 2000 рік, 271 с.
3. Черненко В.Д. Вища математика в прикладах і задачах. Навчальний посібник для вузів. Санкт-Петербург: Політехніка, 2003 рік, 703 с.
4. Http://elib.ispu.ru/library/math/sem2/index.html
5. Http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Fn/toc.htm
Посилання (links):
http://elib.ispu.ru/library/math/sem2/index.html