МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ
РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ
Воронезького державного університету
УДК 621.372
Кулігін В.А., Кулігіна Г.А., Корнєва М.В.
Фазова швидкість, групова швидкість
І ШВИДКІСТЬ ПЕРЕНОСУ ЕНЕРГІЇ
(Робота депонована у ВІНІТІ)
ВОРОНІЖ 2002
Введення
Рух електромагнітного поля, створеного системою зарядів або електромагнітної хвилею, пов'язане з перенесенням електромагнітної енергії і з переміщенням вектора напруженості цього поля. Як відомо, напруженість електричного поля числено дорівнює силі, яка діє на одиничний позитивний точковий заряд, що спочивають у системі відліку спостерігача. Напруженість електричного поля переміщається з фазовою швидкістю. Тому фазову швидкість ми можемо назвати швидкістю переміщення силовий характеристики цього поля.
Швидкість перенесення енергії характеризує рух енергії електричного або магнітного полів. Необхідність введення цього поняття виникла через широке використання в радіоелектроніці ліній передач енергії та інформації з дисперсійними властивостями. Це хвилеводи, що уповільнюють структури, які використовуються в електронних приладах НВЧ, в антенах поверхневих хвиль, прискорювачах і т.д.
У фізиці використовується поняття групової швидкості. Групова швидкість це швидкість переміщення хвильового пакету, тобто пакету, утвореного групою хвиль. Оскільки електромагнітна енергія зосереджена в цьому пакеті, групова швидкість стала інтерпретуватися як швидкість переносу енергії і почала грати її роль. Однак застосування поняття групової швидкості до монохроматичної хвилі призводить до парадоксів. Ми почнемо аналіз з викладу докази, в якому вводиться це поняття.
1.Групповая швидкість.
Розглянемо один з варіантів традиційного докази, де з'являється поняття групової швидкості (див. [1] і т.д.). Нехай на вході лінії передачі з дисперсією діє радіосигнал з вузьким Cпектр S (iW).
де: w о - несуча частота радіосигналу, w o>> W;
- Комплексна амплітуда (обвідна радіоімпульсу).
Припустимо, що лінія без втрат має наступний коефіцієнт передачі
де: g (w) = w / v p - постійна поширення; v p - фазова швидкість хвилі;
l - довжина лінії; w = w o + W.
У цьому випадку сигнал на виході лінії передачі енергії буде дорівнює:
Рис. 1
Враховуючи, що сигнал вузькосмуговий, розкладемо g (w) в ряд по ступенях W в околиці несучої частоти w о. Обмежуючись двома першими членами розкладу, запишемо сигнал на виході лінії передачі енергії.
(1.5)
Як видно з виразу (1.5), огинає вузькосмугового сигналу зберігає свою форму, але запізнюється на деякий час. Вона як би переміщається зі швидкістю v g.
Ця швидкість отримала назву групової швидкості.
Таким чином, групова швидкість є швидкість переміщення хвильового пакету. Оскільки енергія радіосигналу зосереджена в цьому хвильовому пакеті, групову швидкість стали ототожнювати зі швидкістю переносу енергії хвилею.
2. Парадокс.
Здається, що викладений вище підхід узгоджується із здоровим глуздом. Однак, в лініях з аномальною дисперсією виникають парадокси. Нагадаємо класифікацію яка існує в даний час.
а) Нормальна (позитивна) дисперсія має місце, якщо фазова та групова швидкості мають однаковий напрямок (твір v p v g> 0).
б) Аномальна (негативна) дисперсія має місце, якщо фазова та групова швидкості спрямовані в протилежні сторони (твір v p v g <0). Це означає, що фаза хвилі і хвильовий пакет рухаються в протилежних напрямках.
Припустимо, що на початку лінії передачі з аномальною дисперсією розташований генератор монохроматичної хвилі (див. рис. 1). Є два варіанти пояснення. Однак, будь-який з двох варіантів не дає задовільного пояснення парадоксу.
Рис. 2.
Варіант 1. Нехай фазова швидкість хвилі спрямована від генератора вздовж осі х (запізнілий потенціал). Ми вважаємо, що групова швидкість це швидкість переносу енергії. Отже, енергія, яку переносить хвиля, рухається до генератора (?!).
Варіант 2. Припустимо, що групова швидкість спрямована від генератора уздовж осі х. Тепер фаза хвилі рухається до джерела (?!). Ми маємо справу з випереджаючим потенціалом і принцип причинності порушується.
Більш того, в лініях передачі з аномальною дисперсією має місце ще одне протиріччя. Вектор Пойнтінга S і вектор v g мають протилежні напрямки. Цей важливий факт залишився непоміченим дослідниками.
3. Вектор Пойнтінга.
Щоб зрозуміти причини парадоксу, розглянемо електромагнітну хвилю ТИМ типу, яка поширюється в нескінченному діелектрику, які мають дисперсійними властивостями. Для такої хвилі справедлива теорема Пойнтінга. Запишемо її в комплексній формі:
Цей результат не залежить від характеру дисперсії лінії передачі енергії.
Припустимо тепер, що в однорідному і ізотропного середовищі поширюються дві хвилі одного типу з дуже близькими частотами і однаковою поляризацією.
де:
Використовуючи вираз (3.2), запишемо рівняння (3.1) для суми цих хвиль.
де
Спираючись на принцип суперпозиції, можна стверджувати, що співвідношення (3.1) повинно виконуватися для кожної хвилі окремо.
Потік енергії (вектор Пойнтінга), який переноситься кожною хвилею, завжди спрямований від джерела незалежно від дисперсійних властивостей середовища. Легко бачити, що залишилися члени вираження (3.3) є звичайними інтерференційними членами. Оскільки ми розглядаємо хвилі одного типу з дуже близькими частотами, амплітуди електричних і магнітних полів цих хвиль можна вважати пропорційними.
де l - комплексний коефіцієнт пропорційності.
Враховуючи (3.4) і (3.5), перетворимо вираз (3.3) і запишемо його в реальній формі.
Щільність потоку і щільність енергії дорівнюють
Якщо
Ми назвемо інтерференційну картину на площині, яка перпендикулярна до напрямку поширення хвиль, інтерференційної картиною першого роду. Інтерференційна картина, яка виникає уздовж напрямку поширення хвиль, може бути названа інтерференційної картиною другого роду. Групова швидкість є швидкість розповсюдження інтерференційної картини другого роду. Однак, ця швидкість аж ніяк не є швидкістю переносу енергії. Швидкість переміщення інтерференційної картини другого роду дорівнює (див. вираз (2.5)):
Отже, ми з'ясували фізичний зміст групової швидкості як швидкості переміщення інтерференційної картини, яка утворена групою хвиль. Питання про швидкість перенесення енергії хвилею ми розглянемо нижче. Отримані результати мають важливе теоретичне значення для квантових теорій, оптики та інших дисциплін. Однак обговорення цієї проблеми гідно спеціальної статті. Результати також мають пряме відношення до прикладних дисциплін, наприклад, до теорії НВЧ генераторів типу О.
4. Проблеми визначення швидкості переносу енергії.
Ми будемо визначати швидкість перенесення енергії, спираючись на класичну концепцію Умова [2]. Відповідно до цієї концепції рух енергії зі швидкістю v e завжди створює потік енергії.
де: S є щільність енергетичного потоку; w - густина енергії; v e - швидкість переносу енергії.
Концепція Умова універсальна. Вона не залежить від природи енергії і може безпосередньо використовуватися для ТИМ хвиль. Це, як відомо, суть поперечні хвилі у вільному просторі, плоскі хвилі в нескінченному діелектрику і ТИМ хвилі в коаксіальної лінії. Швидкість перенесення енергії дорівнює швидкості світла в даному середовищі. Вона співпадає з фазовою швидкістю і не залежить від дисперсії діелектрика.
Проте, коли існують граничні умови і хвиля може багаторазово відбиватися і виникають інтерференційні ефекти. У результаті інтерференції з'являється поздовжній компонент електричного поля (ТМ хвилі) або магнітного поля (ТІ хвилі). Спробуємо і тут скористатися концепцією Умова.
Розглянемо як приклад хвилю Н 10 в прямокутному хвилеводі. Компоненти полів наступні [5]:
де Е 0 - ефективне значення амплітуди напруженості поля хвилі.
Легко бачити, що швидкість перенесення енергії дорівнює:
Цей результат суперечить здоровому глузду. З одного боку, хвиля Н 10 є плоскою, структура хвилі зберігається, а її фазова швидкість не залежить від координати х. З іншого боку, слід, що швидкість перенесення енергії максимальна в центрі хвилеводу і дорівнює нулю біля стінок (x = 0; х = a). Чому?
Щоб уникнути труднощів у поясненні, як аналогії іноді використовується механічна модель. Нехай два однакових тіла рухаються з рівними швидкостями v. Після абсолютно непружного удару тіла рухаються разом зі швидкістю v sinq, як показано на малюнку 3.
1 - складання двох однорідних плоских хвиль в хвилеводі; 2 абсолютно непружне зіткнення двох тіл.
Рис. 3.
Хвиля Н 10 може розглядатися як інтерференція двох плоских хвиль, які при поширенні переотражаются від стінок хвилеводу. Кут відбиття дорівнює q. Будь-яка однорідна плоска хвиля переносить енергію зі швидкістю світла. Отже, швидкість переносу енергії хвилею вздовж осі z повинна дорівнювати:
У виразі (4.4) швидкість перенесення енергії хвилі v e виявилася рівною групової швидкості v g. Це випадковий збіг послужило виправданням висловом (4.4). Однак, як ми тепер знаємо, групова швидкість не має відношення до перенесення енергії і, більше того, вираз (4.4) не може бути погоджено з рівняннями (4.1) і (4.3). Вираз (4.4) це умовне угода, яка не має наукового обгрунтування. Нижче ми розглянемо інший метод визначення швидкості переносу енергії.
5. Швидкість перенесення енергії ТЕ і ТМ хвиль.
Механічна аналогія, яка була розглянута нами, є сумнівною. Ми замінюємо швидкість кожної однорідної плоскої хвилі двома ортогональними швидкостями v x = c sinq і v z = c cosq. Це рівнозначно тому, що ми заміщуємо кожну з двох однорідних плоских хвиль двома ортогональними плоскими хвилями.
Дві з них повинні рухатися в протилежних напрямках уздовж осі х. Завдяки інтерференції вони повинні створювати стоячу хвилю. Дві інші хвилі рухаються вздовж осі z паралельно. Саме вони, складаючись, повинні переносити енергію електромагнітного поля. Всі ці міркування сумнівні, оскільки однорідна плоска хвиля не може бути представлена як сума двох однорідних плоских хвиль.
Проте, в цьому прикладі існує також раціональний аспект. При інтерференції частина потоку зникає. Зустрічні потоки взаємно компенсують один одного. Це не означає, що енергія цих потоків звертається в нуль. Щільність енергії зустрічних потоків зберігається і дорівнює
Потік Пойнтінга створюється тільки двома складовими: Е у і Н z. Тому, слідуючи логіці, ми повинні враховувати щільність енергії тільки цих полів.
Легко бачити, що швидкість перенесення енергії дорівнює:
Тепер в якості іншого прикладу розглянемо поверхневі хвилі над ребристою сповільнює структурою (див. Ріc4).
Рис. 4.
У канавках існують тільки стоячі хвилі, тому ми будемо розглядати поля тільки при x> 0, тобто над канавками.
Опускаючи аналогічні міркування і використовуючи ту саму методику розрахунку, запишемо S z і w для поперечних компонент поля.
Ясно, що швидкість перенесення енергії визначається формулою (5.2).
Чудово, що ми отримали для швидкості поширення енергії універсальну формулу, яка пов'язує фазову швидкість зі швидкістю переносу енергії. При цьому ми розглянули випадки v p> c (приклад 1) і v p <c (приклад 2). Результати виявилися однаковими (приклад 2) для хвиль з нормальною дисперсією (0 <kL <p / 2) і для хвиль з аномальною дисперсією (3p / 2 <kL <2p). Крім цього, результати для ТЕ і ТМ хвиль збіглися. Це зайвий раз підкреслює універсальність формули (5.3) для швидкості перенесення енергії ТЕ і ТМ хвилями. Працюючи над статтею, ми проаналізували багато прикладів, які не увійшли до даної статті, і у всіх випадках ми виявляли вираз (5.2), до якого входила швидкість світла в даному середовищі. Ми розглядаємо вираз (5.2) як універсальне. Пошук спільної докази - майбутня завдання.
Графічна залежність v e від v p зображена на рис. 5.
Рис. 5.
З малюнка видно, що в уповільнюють структурах (v p <c) енергія переноситься з більш високою швидкістю, ніж рухається фазовий фронт хвилі. За будь-яких фазових швидкостях швидкість перенесення енергії хвилею ніколи не перевищує швидкості світла у вакуумі (або середовищі). Загальний випадок розглянутий у Додатку 1.
Висновок.
У цій статті були розглянуті фазова швидкість, групова швидкість і швидкість переносу енергії.
1. Встановлено, що фазова швидкість це швидкість руху силового властивості поля.
2. Показано, що групова швидкість є швидкість переміщення інтерференційної картини другого роду. Ця картина виникає вздовж напрямку розповсюдження групи хвиль. Групова швидкість не може переносити хвильову енергію.
3. Швидкість перенесення енергії дорівнює відношенню густини хвильового потоку до густини енергії, які створюються тільки поперечними складовими електромагнітної хвилі.
4. Вектор енергетичної швидкості і вектор фазової швидкості завжди спрямовані однаково.
5. Швидкість перенесення енергії залежить тільки від фазової швидкості світла в середовищі та типу хвилі (ТИМ, ТІ або ТМ). Вона не може перевищувати швидкість світла в середовищі. Ця швидкість не залежить також від дисперсійних властивостей середовища.
6. Вираз (5.2), яке пов'язує фазову швидкість хвилі зі швидкістю переносу енергії, ми вважаємо універсальним.
Таким чином, для електромагнітних хвиль підтверджена концепція Умова, яка стверджує, що швидкість перенесення енергії дорівнює відношенню густини потоку енергії до щільності хвильової енергії.
Електромагнітні поля можуть бути виражені через потенціал Герца U [4].
де: H x (x; h) і H h (x; h) коефіцієнти Ламе;
U - потенціал Герца, який задовольняє рівнянню Гельмгольца:
Потенціал біжучої хвилі є
Обчислимо тепер швидкість перенесення енергії хвилею, використовуючи поперечні компоненти поля.
де: E t = E x x 0 + E h h 0 - Поперечне електричне поле;
H t = H x x 0 + H h h 0 - Поперечне магнітне поле.
Цілком аналогічно можна показати, що для ТЕ хвилі має місце той же самий вираз для швидкості перенесення електромагнітної хвилі (A.1).
Список літератури.
1. Левич В.Г. Курс теоретичної фізики. Т.1.-М.: Физматгиз, 1962. - 695 с.
2. Umov NA Beweg-Gleich. Energie in contin. Kopern, Zeitschriff d. Math. und Phys., v.XIX, Slomilch, 1874.
3. Кулігін В.А., Кулігіна Г.А., Корнєва М.В. Парадокси релятивістської механіки і електродинаміка / Воронеж. ун-т. - Воронеж, 1990. - 23 с. - Деп. у ВІНІТІ 24.07.90 № 4180 - В90.
4. Вайнштейн Л.А. Електромагнітні хвилі. - М.: Сов. радіо, 1957 .- 483 с.
РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ
Воронезького державного університету
УДК 621.372
Кулігін В.А., Кулігіна Г.А., Корнєва М.В.
Фазова швидкість, групова швидкість
І ШВИДКІСТЬ ПЕРЕНОСУ ЕНЕРГІЇ
(Робота депонована у ВІНІТІ)
ВОРОНІЖ 2002
Введення
Рух електромагнітного поля, створеного системою зарядів або електромагнітної хвилею, пов'язане з перенесенням електромагнітної енергії і з переміщенням вектора напруженості цього поля. Як відомо, напруженість електричного поля числено дорівнює силі, яка діє на одиничний позитивний точковий заряд, що спочивають у системі відліку спостерігача. Напруженість електричного поля переміщається з фазовою швидкістю. Тому фазову швидкість ми можемо назвати швидкістю переміщення силовий характеристики цього поля.
Швидкість перенесення енергії характеризує рух енергії електричного або магнітного полів. Необхідність введення цього поняття виникла через широке використання в радіоелектроніці ліній передач енергії та інформації з дисперсійними властивостями. Це хвилеводи, що уповільнюють структури, які використовуються в електронних приладах НВЧ, в антенах поверхневих хвиль, прискорювачах і т.д.
У фізиці використовується поняття групової швидкості. Групова швидкість це швидкість переміщення хвильового пакету, тобто пакету, утвореного групою хвиль. Оскільки електромагнітна енергія зосереджена в цьому пакеті, групова швидкість стала інтерпретуватися як швидкість переносу енергії і почала грати її роль. Однак застосування поняття групової швидкості до монохроматичної хвилі призводить до парадоксів. Ми почнемо аналіз з викладу докази, в якому вводиться це поняття.
1.Групповая швидкість.
Розглянемо один з варіантів традиційного докази, де з'являється поняття групової швидкості (див. [1] і т.д.). Нехай на вході лінії передачі з дисперсією діє радіосигнал з вузьким Cпектр S (iW).
де: w о - несуча частота радіосигналу, w o>> W;
- Комплексна амплітуда (обвідна радіоімпульсу).
Припустимо, що лінія без втрат має наступний коефіцієнт передачі
де: g (w) = w / v p - постійна поширення; v p - фазова швидкість хвилі;
l - довжина лінії; w = w o + W.
У цьому випадку сигнал на виході лінії передачі енергії буде дорівнює:
Рис. 1
Враховуючи, що сигнал вузькосмуговий, розкладемо g (w) в ряд по ступенях W в околиці несучої частоти w о. Обмежуючись двома першими членами розкладу, запишемо сигнал на виході лінії передачі енергії.
(1.5)
Як видно з виразу (1.5), огинає вузькосмугового сигналу зберігає свою форму, але запізнюється на деякий час. Вона як би переміщається зі швидкістю v g.
Ця швидкість отримала назву групової швидкості.
Таким чином, групова швидкість є швидкість переміщення хвильового пакету. Оскільки енергія радіосигналу зосереджена в цьому хвильовому пакеті, групову швидкість стали ототожнювати зі швидкістю переносу енергії хвилею.
2. Парадокс.
Здається, що викладений вище підхід узгоджується із здоровим глуздом. Однак, в лініях з аномальною дисперсією виникають парадокси. Нагадаємо класифікацію яка існує в даний час.
а) Нормальна (позитивна) дисперсія має місце, якщо фазова та групова швидкості мають однаковий напрямок (твір v p v g> 0).
б) Аномальна (негативна) дисперсія має місце, якщо фазова та групова швидкості спрямовані в протилежні сторони (твір v p v g <0). Це означає, що фаза хвилі і хвильовий пакет рухаються в протилежних напрямках.
Припустимо, що на початку лінії передачі з аномальною дисперсією розташований генератор монохроматичної хвилі (див. рис. 1). Є два варіанти пояснення. Однак, будь-який з двох варіантів не дає задовільного пояснення парадоксу.
Рис. 2.
Варіант 1. Нехай фазова швидкість хвилі спрямована від генератора вздовж осі х (запізнілий потенціал). Ми вважаємо, що групова швидкість це швидкість переносу енергії. Отже, енергія, яку переносить хвиля, рухається до генератора (?!).
Варіант 2. Припустимо, що групова швидкість спрямована від генератора уздовж осі х. Тепер фаза хвилі рухається до джерела (?!). Ми маємо справу з випереджаючим потенціалом і принцип причинності порушується.
Більш того, в лініях передачі з аномальною дисперсією має місце ще одне протиріччя. Вектор Пойнтінга S і вектор v g мають протилежні напрямки. Цей важливий факт залишився непоміченим дослідниками.
3. Вектор Пойнтінга.
Щоб зрозуміти причини парадоксу, розглянемо електромагнітну хвилю ТИМ типу, яка поширюється в нескінченному діелектрику, які мають дисперсійними властивостями. Для такої хвилі справедлива теорема Пойнтінга. Запишемо її в комплексній формі:
Цей результат не залежить від характеру дисперсії лінії передачі енергії.
Припустимо тепер, що в однорідному і ізотропного середовищі поширюються дві хвилі одного типу з дуже близькими частотами і однаковою поляризацією.
де:
Використовуючи вираз (3.2), запишемо рівняння (3.1) для суми цих хвиль.
де
Спираючись на принцип суперпозиції, можна стверджувати, що співвідношення (3.1) повинно виконуватися для кожної хвилі окремо.
Потік енергії (вектор Пойнтінга), який переноситься кожною хвилею, завжди спрямований від джерела незалежно від дисперсійних властивостей середовища. Легко бачити, що залишилися члени вираження (3.3) є звичайними інтерференційними членами. Оскільки ми розглядаємо хвилі одного типу з дуже близькими частотами, амплітуди електричних і магнітних полів цих хвиль можна вважати пропорційними.
де l - комплексний коефіцієнт пропорційності.
Враховуючи (3.4) і (3.5), перетворимо вираз (3.3) і запишемо його в реальній формі.
Щільність потоку і щільність енергії дорівнюють
Якщо
Ми назвемо інтерференційну картину на площині, яка перпендикулярна до напрямку поширення хвиль, інтерференційної картиною першого роду. Інтерференційна картина, яка виникає уздовж напрямку поширення хвиль, може бути названа інтерференційної картиною другого роду. Групова швидкість є швидкість розповсюдження інтерференційної картини другого роду. Однак, ця швидкість аж ніяк не є швидкістю переносу енергії. Швидкість переміщення інтерференційної картини другого роду дорівнює (див. вираз (2.5)):
Отже, ми з'ясували фізичний зміст групової швидкості як швидкості переміщення інтерференційної картини, яка утворена групою хвиль. Питання про швидкість перенесення енергії хвилею ми розглянемо нижче. Отримані результати мають важливе теоретичне значення для квантових теорій, оптики та інших дисциплін. Однак обговорення цієї проблеми гідно спеціальної статті. Результати також мають пряме відношення до прикладних дисциплін, наприклад, до теорії НВЧ генераторів типу О.
4. Проблеми визначення швидкості переносу енергії.
Ми будемо визначати швидкість перенесення енергії, спираючись на класичну концепцію Умова [2]. Відповідно до цієї концепції рух енергії зі швидкістю v e завжди створює потік енергії.
де: S є щільність енергетичного потоку; w - густина енергії; v e - швидкість переносу енергії.
Концепція Умова універсальна. Вона не залежить від природи енергії і може безпосередньо використовуватися для ТИМ хвиль. Це, як відомо, суть поперечні хвилі у вільному просторі, плоскі хвилі в нескінченному діелектрику і ТИМ хвилі в коаксіальної лінії. Швидкість перенесення енергії дорівнює швидкості світла в даному середовищі. Вона співпадає з фазовою швидкістю і не залежить від дисперсії діелектрика.
Проте, коли існують граничні умови і хвиля може багаторазово відбиватися і виникають інтерференційні ефекти. У результаті інтерференції з'являється поздовжній компонент електричного поля (ТМ хвилі) або магнітного поля (ТІ хвилі). Спробуємо і тут скористатися концепцією Умова.
Розглянемо як приклад хвилю Н 10 в прямокутному хвилеводі. Компоненти полів наступні [5]:
де Е 0 - ефективне значення амплітуди напруженості поля хвилі.
Легко бачити, що швидкість перенесення енергії дорівнює:
Цей результат суперечить здоровому глузду. З одного боку, хвиля Н 10 є плоскою, структура хвилі зберігається, а її фазова швидкість не залежить від координати х. З іншого боку, слід, що швидкість перенесення енергії максимальна в центрі хвилеводу і дорівнює нулю біля стінок (x = 0; х = a). Чому?
Щоб уникнути труднощів у поясненні, як аналогії іноді використовується механічна модель. Нехай два однакових тіла рухаються з рівними швидкостями v. Після абсолютно непружного удару тіла рухаються разом зі швидкістю v sinq, як показано на малюнку 3.
1 - складання двох однорідних плоских хвиль в хвилеводі; 2 абсолютно непружне зіткнення двох тіл.
Рис. 3.
Хвиля Н 10 може розглядатися як інтерференція двох плоских хвиль, які при поширенні переотражаются від стінок хвилеводу. Кут відбиття дорівнює q. Будь-яка однорідна плоска хвиля переносить енергію зі швидкістю світла. Отже, швидкість переносу енергії хвилею вздовж осі z повинна дорівнювати:
У виразі (4.4) швидкість перенесення енергії хвилі v e виявилася рівною групової швидкості v g. Це випадковий збіг послужило виправданням висловом (4.4). Однак, як ми тепер знаємо, групова швидкість не має відношення до перенесення енергії і, більше того, вираз (4.4) не може бути погоджено з рівняннями (4.1) і (4.3). Вираз (4.4) це умовне угода, яка не має наукового обгрунтування. Нижче ми розглянемо інший метод визначення швидкості переносу енергії.
5. Швидкість перенесення енергії ТЕ і ТМ хвиль.
Механічна аналогія, яка була розглянута нами, є сумнівною. Ми замінюємо швидкість кожної однорідної плоскої хвилі двома ортогональними швидкостями v x = c sinq і v z = c cosq. Це рівнозначно тому, що ми заміщуємо кожну з двох однорідних плоских хвиль двома ортогональними плоскими хвилями.
Дві з них повинні рухатися в протилежних напрямках уздовж осі х. Завдяки інтерференції вони повинні створювати стоячу хвилю. Дві інші хвилі рухаються вздовж осі z паралельно. Саме вони, складаючись, повинні переносити енергію електромагнітного поля. Всі ці міркування сумнівні, оскільки однорідна плоска хвиля не може бути представлена як сума двох однорідних плоских хвиль.
Проте, в цьому прикладі існує також раціональний аспект. При інтерференції частина потоку зникає. Зустрічні потоки взаємно компенсують один одного. Це не означає, що енергія цих потоків звертається в нуль. Щільність енергії зустрічних потоків зберігається і дорівнює
Потік Пойнтінга створюється тільки двома складовими: Е у і Н z. Тому, слідуючи логіці, ми повинні враховувати щільність енергії тільки цих полів.
Легко бачити, що швидкість перенесення енергії дорівнює:
Тепер в якості іншого прикладу розглянемо поверхневі хвилі над ребристою сповільнює структурою (див. Ріc4).
Рис. 4.
У канавках існують тільки стоячі хвилі, тому ми будемо розглядати поля тільки при x> 0, тобто над канавками.
Опускаючи аналогічні міркування і використовуючи ту саму методику розрахунку, запишемо S z і w для поперечних компонент поля.
Ясно, що швидкість перенесення енергії визначається формулою (5.2).
Чудово, що ми отримали для швидкості поширення енергії універсальну формулу, яка пов'язує фазову швидкість зі швидкістю переносу енергії. При цьому ми розглянули випадки v p> c (приклад 1) і v p <c (приклад 2). Результати виявилися однаковими (приклад 2) для хвиль з нормальною дисперсією (0 <kL <p / 2) і для хвиль з аномальною дисперсією (3p / 2 <kL <2p). Крім цього, результати для ТЕ і ТМ хвиль збіглися. Це зайвий раз підкреслює універсальність формули (5.3) для швидкості перенесення енергії ТЕ і ТМ хвилями. Працюючи над статтею, ми проаналізували багато прикладів, які не увійшли до даної статті, і у всіх випадках ми виявляли вираз (5.2), до якого входила швидкість світла в даному середовищі. Ми розглядаємо вираз (5.2) як універсальне. Пошук спільної докази - майбутня завдання.
Графічна залежність v e від v p зображена на рис. 5.
Рис. 5.
З малюнка видно, що в уповільнюють структурах (v p <c) енергія переноситься з більш високою швидкістю, ніж рухається фазовий фронт хвилі. За будь-яких фазових швидкостях швидкість перенесення енергії хвилею ніколи не перевищує швидкості світла у вакуумі (або середовищі). Загальний випадок розглянутий у Додатку 1.
Висновок.
У цій статті були розглянуті фазова швидкість, групова швидкість і швидкість переносу енергії.
1. Встановлено, що фазова швидкість це швидкість руху силового властивості поля.
2. Показано, що групова швидкість є швидкість переміщення інтерференційної картини другого роду. Ця картина виникає вздовж напрямку розповсюдження групи хвиль. Групова швидкість не може переносити хвильову енергію.
3. Швидкість перенесення енергії дорівнює відношенню густини хвильового потоку до густини енергії, які створюються тільки поперечними складовими електромагнітної хвилі.
4. Вектор енергетичної швидкості і вектор фазової швидкості завжди спрямовані однаково.
5. Швидкість перенесення енергії залежить тільки від фазової швидкості світла в середовищі та типу хвилі (ТИМ, ТІ або ТМ). Вона не може перевищувати швидкість світла в середовищі. Ця швидкість не залежить також від дисперсійних властивостей середовища.
6. Вираз (5.2), яке пов'язує фазову швидкість хвилі зі швидкістю переносу енергії, ми вважаємо універсальним.
Таким чином, для електромагнітних хвиль підтверджена концепція Умова, яка стверджує, що швидкість перенесення енергії дорівнює відношенню густини потоку енергії до щільності хвильової енергії.
ДОДАТОК 1.
В якості прикладу розглянемо ТМ хвилю, яка поширюється вздовж осі z. Поширення хвилі ми будемо розглядати в узагальнених циліндричних координатах x, h і z. Нехай h 0, x 0 і z 0 орти.Електромагнітні поля можуть бути виражені через потенціал Герца U [4].
де: H x (x; h) і H h (x; h) коефіцієнти Ламе;
U - потенціал Герца, який задовольняє рівнянню Гельмгольца:
Потенціал біжучої хвилі є
Обчислимо тепер швидкість перенесення енергії хвилею, використовуючи поперечні компоненти поля.
де: E t = E x x 0 + E h h 0 - Поперечне електричне поле;
H t = H x x 0 + H h h 0 - Поперечне магнітне поле.
Цілком аналогічно можна показати, що для ТЕ хвилі має місце той же самий вираз для швидкості перенесення електромагнітної хвилі (A.1).
Список літератури.
1. Левич В.Г. Курс теоретичної фізики. Т.1.-М.: Физматгиз, 1962. - 695 с.
2. Umov NA Beweg-Gleich. Energie in contin. Kopern, Zeitschriff d. Math. und Phys., v.XIX, Slomilch, 1874.
3. Кулігін В.А., Кулігіна Г.А., Корнєва М.В. Парадокси релятивістської механіки і електродинаміка / Воронеж. ун-т. - Воронеж, 1990. - 23 с. - Деп. у ВІНІТІ 24.07.90 № 4180 - В90.
4. Вайнштейн Л.А. Електромагнітні хвилі. - М.: Сов. радіо, 1957 .- 483 с.