Топологічна визначуваність верхніх полурешеток

Федеральне агентство з освіти

Державна освітня установа вищої професійної освіти
Вятский державний гуманітарний університет

Математичний факультет

Кафедра алгебри та геометрії

Випускна кваліфікаційна робота

Топологічна визначуваність верхніх полурешеток.

Виконав:

студент V курсу математичного факультету

Малих Костянтин Леонідович

Науковий керівник:

кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри алгебри та геометрії В. В. Чермний

Рецензент:

доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач кафедрою алгебри і геометрії Є.М. Вечтомов

Допущена до захисту в державної атестаційної комісії

«___» __________2005 Р. Зав. Кафедрою Є.М. Вечтомов

«___»___________ 2005 Декан факультету В.І. Варанкіна

Кіров 2005

Зміст.

Введення ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... стор 3

Глава 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... стор 4

Впорядковані множини ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... стор 4
Грати. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Стор 5
Дистрибутивні решітки ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. стор 8
Топологічні простори ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... стор.10

Глава 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... Стор.11

1. Верхні полурешеткі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... Стор.11

2. Стоуново простір ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. стор.15

Список літератури ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... Стор.21

Введення.

Дистрибутивная решітка є одним з основних алгебраїчних об'єктів. У даній роботі розглядається частково упорядкований безліч P (L) простих ідеалів. Воно дає нам багато інформації про дистрибутивної решітці L, але воно не може її повністю охарактеризувати. Тому, для того, щоб безліч P (L) характеризувало грати L, необхідно наділити його більш складною структурою. Стоун [1937] задав на безлічі P (L) топологію.

У цій роботі розглядається цей метод в кілька більш загальному вигляді.

Робота складається з двох глав. У першому розділі вводяться початкові поняття, необхідні для вивчення даної теми. У другому розділі розглядаються верхні полурешеткі, а також безліч простих ідеалів з введеною на ньому топологією.

Глава 1.

Впорядковані множини.

Визначення: впорядкованим безліччю називається непорожня безліч, на якому визначено бінарне відношення , Що задовольнить для всіх таким умовам:

1.Рефлексівность: .

2.Антісімметрічность: якщо і , То .

3.Транзітівность: якщо і , То .

Якщо і , То говорять, що менше або більше , І пишуть або .

Приклади впорядкованих множин:

Безліч цілих позитивних чисел, а означає, що ділить .
Безліч всіх дійсних функцій на відрізку і

означає, що для .

Визначення: Ланцюгом називається упорядкований безліч, на якому для має місце або .

Використовуючи відношення порядку, можна отримати графічне представлення будь-якого кінцевого упорядкованої множини . Зобразимо кожен елемент множини у вигляді невеликого гуртка, розташовуючи вище , Якщо . З'єднаємо і відрізком. Отримана фігура називається діаграмою упорядкованої множини .

Приклади діаграм впорядкованих множин:

2. Грати

Визначення: Верхньої гранню підмножини в упорядкованому безлічі називається елемент з , Більший або рівний всіх з .

Визначення: Точна верхня грань підмножини упорядкованої множини - Це така його верхня грань, яка менше будь-який інший його верхній межі. Позначається символом і читається «Супремум X».

Згідно аксіомі антисиметричність упорядкованої множини, якщо точна верхня грань існує, то вона єдина.

Поняття нижньої межі і точної нижньої межі (яка позначається і читається «інфінум») визначаються двояко. Також, згідно аксіомі антисиметричність упорядкованої множини, якщо точна нижня грань існує, то вона єдина.

Визначення: Гратами називається упорядкований безліч , В якому будь-які два елементи і мають точну нижню грань, що позначається , І точну верхню грань, що позначається .

Приклади решіток:

1. Будь ланцюг є гратами, тому що збігається з меншим, а з великим з елементів .

Найбільший елемент, тобто елемент, більший або рівний кожного елемента упорядкованої множини, позначають , А найменший елемент, тобто менший або рівний кожного елемента упорядкованої множини, позначають .

На решітці можна розглядати дві бінарні операції:

- Складання і

- Твір

Ці операції мають такі властивості:

1. , ідемпотентность

2. , комутативність

3. ,

асоціативність

4. ,

закони поглинання

Теорема. Нехай - Безліч з двома бінарними операціями , Що володіють властивостями (1) - (4). Тоді відношення (Або ) Є порядком на , А виникає впорядковане безліч виявляється гратами, причому:

Доказ.

Рефлексивність відносини випливає з властивості (1). Зауважимо, що воно є наслідком властивості (4):

Якщо і , Тобто і , То в силу властивості (2), отримаємо . Це означає, що відношення антисиметричною.

Якщо і , То застосовуючи властивість (3), отримаємо: , Що доводить транзитивність відносини .

Застосовуючи властивості (3), (1), (2), отримаємо:

Отже, і

Якщо і , То використовуючи властивості (1) - (3), маємо:

, Тобто

За визначенням точніше верхньої межі переконаємося, що

З властивостей (2), (4) випливає, що і

Якщо і , То за властивостями (3), (4) отримаємо:

Звідси за властивостями (2) і (4) випливає, що

, Тобто

Таким чином, . ■

Нехай решітка, тоді її найбільший елемент характеризується одним з властивостей:

2. .

Аналогічно характеризується найменший елемент :

2. .

Дистрибутивні решітки.

Визначення: Решітка називається дистрибутивної, якщо для виконується:

У будь решітці тотожності (1) і (2) рівносильні. Доказ цього факту міститься в книзі [1], с 24.

Теорема: Решітка з 0 і 1 є дистрибутивної тоді і тільки тоді, коли вона не містить підграток виду

Доказ цього факту можна знайти в книзі [2].

Далі під словом "грати" розуміється довільна дистрибутивная решітка з 0 і 1 (причому ).

Визначення: Непорожнє безліч називається ідеалом в решітці , Якщо виконуються умови:

Визначення: Ідеал в решітці називається простим, якщо

або .

Ідеал, породжений безліччю Н (тобто найменший ідеал, що містить H), буде позначатися (Н]. Якщо М = {a}, то замість ({a}] будемо писати (a] і називати (a] головним ідеалом.

Позначимо через I (L) безліч всіх ідеалів решітки L. I (L) будемо називати гратами ідеалів.

Визначення: Грати і називаються ізоморфними (позначення: ), Якщо існує взаємно однозначне відображення , Зване изоморфизмом, безлічі на безліч , Таке, що

4. Топологічні простори.

Визначення: Топологічний простір - це непорожня множина з деякою системою виділених його підмножин, яка задовольняє аксіомам:

Пусте безліч і сам простір належить системі : .
Перетин будь-якого кінцевого числа множин з належить , Тобто .
Об'єднання будь-якого сімейства множин з належить , Тобто .

Таким чином, топологічний простір - це пара < , >, Де - Така безліч підмножин в , Що і замкнуто щодо кінцевих перетинів і довільних об'єднань. Множини з називають відкритими, а їх додатки замкнутими.

Визначення: Простір називається компактним, якщо в будь-якому його відкритому покритті можна вибрати кінцеве подпокритіе.

Визначення: Підмножина простору називається компактним, якщо в будь-якому його відкритому покритті можна вибрати кінцеве подпокритіе.

Визначення: Топологічний простір називається - Простором, якщо для будь-яких двох різних його точок існує відкрита безліч, що містить рівно одну з цих точок.

Глава 2.

1. Верхні полурешеткі.

Визначення: Ч.у. безліч називається верхньою полурешеткой, якщо sup {a, b} існує для будь-яких елементів a і b.

Визначення: Непорожнє безліч I верхньої полурешеткі L називається ідеалом, якщо для будь-яких включення має місце тоді і тільки тоді, коли .

Визначення: Верхня полурешетка називається дистрибутивної, якщо нерівність ≤ ( , , L) тягне за собою існування елементів , Таких, що , , І = . (Рис.1). Зауважимо, що елементи і не обов'язково єдині.

Деякі найпростіші властивості дистрибутивної верхньої полурешеткі дає:

Лемма 1:

(*). Якщо < , > - Довільна полурешетка, то верхня полурешетка дистрибутивно тоді і тільки тоді, коли решітка дистрибутивно.

(**). Якщо верхня полурешетка дистрибутивно, то для будь-яких існує елемент , Такий, що і . Отже, безліч є гратами.

(***). Верхня полурешетка дистрибутивно тоді і тільки тоді, коли безліч є дистрибутивної гратами.

Доказ.

(*). < , > - Дистрибутивно і , То для елементів , , Справедливо рівність :

значить, полурешетка < , > - Дистрибутивно.

< , > - Дистрибутивно. Нехай решітка містить діамант або пентагон (рис.2).

1) Нехай решітка містить пентагон, . Потрібно знайти такі елементи і , Щоб виконувалася рівність . Але безліч елементів менших b або c складається з елементів {0, b, c} і їх нижня межа не дасть a. Отримали протиріччя з тим, що < , > - Дистрибутивно. Значить, наше припущення не так і грати не містить пентагона.

2) Нехай решітка містить діамант, . Аналогічно, безліч елементів менших b або c складається з елементів {0, b, c}, їх нижня межа не дасть a. Значить, решітка не містить Діамант.

Можна зробити висновок, що грати дистрибутивно.

(**). Маємо , Тому , Де (За визначенням дистрибутивної полурешеткі). Крім того, є нижньою межею елементів і .

Розглянемо ідеали, що містять елемент і - і . Тоді Ø, т.к. , Нижня межа елементів a і b, міститься там.

Покажемо, що I (L) - решітка, тобто існують точні нижня і верхня межі для будь-яких A і B.

Покажемо, що збігається з перетином ідеалів A і B. По-перше, - Ідеал. Дійсно, і і По-друге, нехай ідеал і . Тоді , Тобто - Точна нижня грань ідеалів A і B, тобто .

Тепер покажемо, що збігається з перетином всіх ідеалів , Що містять A і B. Позначимо . Оскільки для для , То C ідеал. За визначенням C він буде найменшим ідеалом, що містить A і B.

(***). Нехай - Верхня дистрибутивная полурешетка. Покажемо, що

Нехай , Тобто (Рис.3), для деяких

Зрозуміло, що . За дистрибутивности, існують такі, що . Оскільки A - ідеал, то , Тому що . Аналогічно, . Тобто . Точно також, . Якщо , То легко показати, що .

Довели, що - Ідеал. Очевидно, він є верхньою межею ідеалів A і B. Якщо C містить A і B, то C міститиме елементи для будь-яких , Тобто Тому , Оскільки є верхньою межею ідеалів A і B і міститься в будь верхньої межі.

Тепер покажемо, що виконується рівність:

. Нехай , Де , . Т.к. , То , Звідки і отже . Аналогічно, , Значить,

. Нехай , Де .

Звідси випливає дистрибутивність решітки .

- Дистрибутивная решітка, . Тепер розглянемо ідеали, утворені цими елементами:

( , Буде нижньою межею для ). Тому , Що і доводить дистрибутивність полурешеткі . ■

2. Стоуново простір.

Визначення: Підмножина верхньої полурешеткі називається коідеалом, якщо з нерівності слід і існує нижня межа безлічі , Така, що .

Визначення: Ідеал полурешеткі називається простим, якщо і безліч є коідеалом.

Надалі нам потрібно лема Цорна, що є еквівалентним твердженням аксіомі вибору.

Лемма Цорна. Нехай A - безліч і X - непорожня підмножина множини P (A). Припустимо, що X має наступну властивість: якщо C - ланцюг в < >, То . Тоді X володіє максимальним елементом.

Лемма 2: Нехай - Довільний ідеал і - Непорожній коідеал дистрибутивної верхньої полурешеткі . Якщо , То в полурешетке існує простий ідеал такий, що і .

Доказ.

Нехай X - множина всіх ідеалів в L, що містять I і не перетинаються з D. Покажемо, що X задовольняє лемі Цорна.

Нехай C - довільна ланцюг в X і Якщо , То для деяких Нехай для визначеності . Тоді і , Тому що - Ідеал. Тому . Назад, нехай , Тоді , Для деякого Отримуємо , Звідки .

Довели, що M - ідеал, очевидно, містить I і не перетинається з D, тобто . За лемі Цорна X володіє максимальним елементом, тобто максимальним ідеалом P серед містять I і не перетинаються з D.

Покажемо, що P - простий. Для цього достатньо довести, що L \ P є коідеалом. Нехай L \ P і . Оскільки , То , Інакше в іншому випадку за визначенням ідеалу. Отже, . Якщо , То і перетинаються з D в силу максимальності P. Отримуємо і для деяких елементів . Існує елемент такий, що і , За визначенням коідеала, отже і для деяких Зауважимо, що і не лежать в P, т.к. в іншому випадку .

Далі, , Тому для деяких і . Як і раніше . Крім того , Тому - Нижня межа елементів a і b, не лежить в P. ■

Надалі, через будемо позначати дистрибутивну верхню полурешетку з нулем, через безліч всіх простих ідеалів полурешеткі .

Безлічі виду представляють елементи полурешеткі в ч.у. безлічі (Тобто ). Зробимо все такі безлічі відкритими в деякій топології.

Позначимо через топологічний простір, визначене на множині . Простір SpecL будемо називати стоуновим простором полурешеткі L.

Лемма 3: Для будь-якого ідеалу I полурешеткі L покладемо:

Тоді безлічі виду вичерпують всі відкриті множини в стоуновом просторі SpecL.

Доказ.

Потрібно перевірити виконання аксіом топологічного простору.

1) Розглянемо ідеал, утворений 0. Тоді

але 0 лежить в будь-якому ідеалі, а значить .

2) Візьмемо довільні ідеали і полурешеткі і розглянемо

Нехай . Тоді існують елементи a і Звідси випливає, що , Де L \ P - Коідеал. За визначенням коідеала існує елемент d такий, що і , Значить, . Т.к. , Отже, . Одержуємо, що .

Зворотне включення очевидно.

2) Нехай - Довільне сімейство ідеалів. Через позначимо множину всіх точних верхніх граней кінцевого числа елементів, що є представниками сімейства . Покажемо, що - Ідеал. Нехай , Тоді , Де для деякого ідеалу . Тоді лежить в ідеалі , Отже, і , Тобто . Зворотно очевидно.

Довели, що - Ідеал. Тепер розглянемо довільне об'єднання.

■

Лемма 4: Підмножини виду простору можна охарактеризувати як компактні відкриті множини.

Доказ.

Дійсно, якщо сімейство відкритих множин покриває безліч , Тобто , То Звідси випливає, що для деякого кінцевого підмножини , Тому . Таким чином, безліч компактно.

Нехай відкрите безліч r (I) компактно, тоді і можна виділити кінцеве подпокритіе для деяких .

Покажемо, що I породжується елементом .

Припустимо, що це не так, і в ідеалі I знайдеться елемент b не лежать в . Тоді [b) - коідеал, що не перетинається з . За лемі 2 знайдеться простий ідеал P містить і не перетинається з [b). Отримуємо, , Тому що (Тобто ), Але , Тому що , Протиріччя. Отже, компактним відкритим безліччю r (I) буде тільки у випадку, якщо - Головний ідеал. ■

Пропозиція 5: Простір є - Простором.

Доказ.

Розглянемо два різних простих ідеалу і Q. Хоча б один не міститься в іншому. Припустимо для визначеності, що . Тоді r (P) містить Q, але не містить P, тобто SpecL є - Простором. ■

Теорема 6: Стоуново простір визначає полурешетку з точністю до ізоморфізму.

Доказ.

Потрібно показати, що дві полурешеткі і ізоморфні тоді і тільки тоді, коли простору і гомеоморфни.

Очевидно, якщо грати ізоморфні, то простори, утворені цими полурешеткамі будуть збігатися.

Нехай і гомеоморфни ( ) І . Тоді a визначає компактне відкрите безліч r (a) . Безлічі r (a) відповідає компактне відкрите безліч , З однозначно певним елементом по лемі 4. Таким чином отримуємо відображення : , При якому . Покажемо, що - Ізоморфізм грат. Якщо a, b - різні елементи з , То , Отже, , Тому і - Ін'єкція.

Для довільного відкритого безлічі відповідає і очевидно , Що показує сюр'ектівность .

Нехай a, b - довільні елементи з . Зауважимо, що . Відкритому безлічі при гомеоморфізм відповідає відкрите безліч , А відповідає . Отже, = . Оскільки = , То , Тобто ■

Література.

Біргкоф Г. Теорія грат. - М.: Наука, 1984.
Гретцер Г. Загальна теорія решіток. - М.: Мир, 1982.
Чермний В.В. Півкільця. - Кіров.: ВДПУ, 1997.