Розклад числа на прості множники

Реферат на тему:

Розклад числа на прості множники

Означення. Розкладом натурального числа n на прості множники (факторизацією числа) називається представлення його у вигляді n = , де p_i – взаємно прості числа, k_i 1 .

Задача перевірки числа на простоту є простішою за задачу факторизації. Тому перед розкладанням числа на прості множники слід перевірити число на простоту.

Означення. Розбиттям числа називається задача представлення натурального числа n у вигляді n = a * b, де a, b – натуральні числа, більші за 1 (не обов’язково прості).

Метод Ферма

Нехай n – складене число, яке не є степенем простого числа. Метод Ферма намагається знати такі натуральні x та y, що n = x² – y². Після чого дільниками числа n будуть a = x – y та b = x + y: n = a * b = (x – y)(x + y).

Якщо припустити що n = a * b, то в якості x та y (таких що n = x² – y²) можна обрати

,

Приклад. Виберемо n = 143 = 11 * 13.

Тоді x = (13 + 11) / 2 = 12, y = (13 – 11) / 2 = 1.

Перевірка: x² – y² = 12² – 1¹ = 143 = n.

Теорема. Якщо n = x² – y², то < x < (n + 1) / 2.

Доведення. З рівності n = x² – y² випливає, що n < x², тобто < x.

Оскільки a = n / b, то . Максимальне значення x досягається при мінімальному b, тобто при b = 1. Звідси x = < .

Отже для пошуку представлення n = x² – y² слід перебрати всі можливі значення x із проміжку [, (n + 1) / 2], перевіряючи при цьому чи є вираз x² - n повним квадратом.

Приклад. Розкласти на множники n = 391 методом Ферма. = 19.

20² – 391 = 9 = 3². Маємо рівність: 391 = 20² – 3².

Звідси 391 = (20 – 3)(20 + 3) = 17 * 23.

Алгоритм Полард - ро факторизації числа

У 1974 році Джон Полард запропонував алгоритм знаходження нетривіального дільника натурального числа n. Пр цьому алгоритм використовує лише операції додавання, множення та віднімання модулярної арифметики.

Ідея алгоритма Полард – ро полягає в ітеративному обчисленні деякої наперед заданої поліноміальної функції f з цілими коефіцієнтами. Побудуємо послідовність x_i наступним чином: x₀ оберемо довільним із Z_n, а x_i+1 = f(x_i) mod n, i 0. Оскільки x_i можуть приймати лише скінченний набір значень (цілі числа від 0 до n), то існують такі цілі n₁ та n₂ (n₁ < n₂), що = . Враховуючи поліноміальність f, для кожного натурального k маємо: =, тобто починаючи з індекса i = n₁ послідовність {x_i mod n} буде періодичною.

Приклад. Нехай n = 21, x₀ = 1, x_i+1 = + 3 mod 21.

Тоді послідовність x_i має вигляд: 1, 4, 19, 7, 10, 19, 7, 10, ... .

Таким чином x₃ = x₆, період послідовності дорівнює 3.

Послідовність x_i можна відобразити у вигляді кола з хвостом: коло відповідає періодичній частині, а хвіст – доперіодичній. Картинка нагадує грецьку літеру , тому метод який застосовується в алгоритмі називається  – евристикою. Послідовність із попереднього прикладу можна зобразити так:

Ідея алгоритму полягає в обчисленні для кожного i > 0 значення d = НСД(x_2i – x_i, n). Якщо на деякому кроці d > 1, то це і є нетривіальний дільник числа n.

Побудуємо послідовність елементів x_i наступним чином:

x₀ = 2, x_i+1 = f(x_i) = ( + 1) mod n, i > 0

Алгоритм

Вхід: натуральне число n, параметр t  1.

Вихід: нетривіальний дільник d числа n.

1. a =2, b =2;

2. for i 1 to t do

2.1. Обчислити a a² + 1) mod n; b b² + 1) mod n; b b² + 1) mod n;

2.2. Обчислити d НСД(a - b, n);

2.3. if 1 < d < n return (d); // знайдено нетривіальний дільник

3. return (False); // дільника не знайдено

Вважаємо, що функція f(x) = (x² + 1) mod n генерує випадкові числа. Тоді для знаходження дільника числа n необхідно виконати не більш ніж O() операцій модулярного множення.

Якщо алгоритм Поларда – ро не знаходить дільника за t ітерацій, то замість функції f(x) = (x² + 1) mod n можна використовувати f(x) = (x² + c) mod n, для деякого цілого c, c  0, -2.

Приклад. Нехай n = 19939.

Послідовність x_i: 2, 5, 26, 677, 19672, 11473, 12391, 6582, 15217, 5483, 15217, 5483, 15217, ... .

a	b	d
2	2	1
5	26	1
26	19672	1
677	12391	1
19672	15217	1
11473	15217	1
12391

15217

157

Знайдено розклад 19939 = 157 * 127.

Нехай n = 143. Послідовність x_i: 2, 5, 26, 105, 15, ... .

a	b	d
2	2	1
5	26	НСД(21, 143) = 1
26	15	НСД(11, 143) = 11

Знайдено розклад 143 = 11 * 13.

Ймовірносний квадратичний алгоритм факторизації числа

Твердження. Нехай x та y – цілі числа, x²  y² (mod n) та x  y (mod n). Тоді x² – y² ділиться на n, при чому жоден із виразів x + y та x – y не ділиться на n. Число d = НСД(x² – y², n) є нетривіальним дільником n.

Теорема. Якщо n – непарне складене число, яке не є степенем простого числа, то завжди існують такі x та y, що x²  y² (mod n), при чому x   y (mod n).

Доведення. Нехай n = n₁ * n₂ – добуток взаємно простих чисел. Оберемо таке y, що НСД(y, n) = 1. Далі розв’яжемо систему рівнянь:

Розв’язком системи будуть такі x та y за модулем n = НСК(n₁, n₂), що x²  y² (mod n). Якщо при цьому припустити, що x  – y (mod n), то з другого рівняння системи маємо: y  – y (mod n₂), або 2 * y = 0 (mod n₂). Оскільки було обрано НСД(y, n₂) = 1, то з останньої рівності випливає що n₂ ділиться на 2, тобто є парним. Це суперечить умові теореми про непарність n.

Приклад. Виберемо n₁ = 11, n₂ = 13 – взаємно прості числа. Тоді n = 11 * 13 = 143. Покладемо y = 5, НСД(5, 143) = 1. Складемо систему порівнянь:

або

Розв’язком системи буде x  60 (mod 143).

Має місце рівність 60²  5² (mod 143) , при чому 60  5 (mod 143).

Тоді дільником числа n буде d = НСД(60 – 5, 143) = 11.

Формально ймовірносний квадратичний алгоритм факторизації будується на наступній ідеї:

Нехай F = {p₀, p₁, p₂, …, p_t} – множникова основа, p_i – різні прості числа, при чому дозволяється обрати p₀ = -1. Побудуємо множину порівнянь

 z_i ,

таку що значення z_i є повіністю факторизованими у множині F :

,

та добуток деякої підмножини значень z_i є повним квадратом:

z = = y², y Z, f_i {0, 1}

Якщо множина порівнянь із вказаними властивостями побудована, то поклавши x = і перевіривши виконання нерівності x   y (mod n), отри маємо x²  y² (mod n). Число d = НСД(x² – y², n) є нетривіальним дільником n.

Приклад. Знайти дільник числа n = 143.

Обираємо випадково число x  [2, 142], обчислюємо x² (mod 143) та розкладаємо результат на множники:

1. z₁ = 19² (mod 143) = 75 = 3 * 5².

2. z₂ = 77² (mod 143) = 66 = 2 * 3 * 11.

3. z₃ = 29² (mod 143) = 126 = 2 * 3² * 7.

4. z₄ = 54² (mod 143) = 56 = 2³ * 7.

Можна помітити, що добуток z₃ та z₄ є повним квадратом:

z = z₃ * z₄ = 2⁴ * 3² * 7² = (2² * 3 * 7)² = 84²

Маємо рівність:

z₃ * z₄ = 29² * 54²  84² (mod 143)

або враховуючи що 29 * 54 (mod 143)  136, маємо:

136² = 84² (mod 143), при чому 136  84 (mod 143)

Дільником числа n = 143 буде d = НСД(136 – 84, 143) = НСД(52, 143) = 13.

Квадратичний алгоритм факторизації

Серед усіх існуючих алгоритмів факторизації найшвидшим є квадратичний. Він ефективно застосовується для чисел, кількість цифр яких менша за 100 та які не мають малих простих дільників. Еврістичний аналіз, проведений Померансом [1] у 1981 році показав, що число N може бути розкладено на множники за час .

Нехай n – число, яке факторизується, m = . Розглянемо многочлен

q(x) = (x + m)² - n

Квадратичний алгоритм обирає a_i = x + m (x = 0, 1, 2, …), обчислює значення b_i = (x + m)² – n та перевіряє, чи факторизується b_i у множниковій основі F = {p₀, p₁, p₂, …, p_t}.

Помітимо, що = (x + m)² – n  (x + m)² (mod n)  b_i (mod n).

Алгоритм

Вхід: натуральне число n, яке не є степенм простого числа.

Вихід: нетривіальний дільник d числа n.

1. Обрати множникову основу F = {p₀, p₁, p₂, …, p_t}, де p₀ = -1, p_i – i - те просте число p, для якого n є квадратичним лишком за модулем p.

2. Обчислити m = [].

3. Знаходження t + 1 пари (a_i, b_i).

Значення x перебираються у послідовності 0, 1, 2, … .

Покласти i  1. Поки i  t + 1 робити:

3.1. Обчислити b = q(x) = (x + m)² – n та перевірити, чи розкладається b у множниковій основі F. Якщо ні, обрати наступне x та повторити цей крок.

3.2. Нехай b = . Покласти a_i = x + m, b_i = b, v_i = (v_i1, v_i2, …, v_it), де v_ij = e_ij mod 2, 1 j t.

3.3. i  i + 1.

4. Знайти підмножину T {1, 2, …, t + 1} таку що = 0.

5. Обчислити x = mod n.

6. Для кожного j, 1 j t, обчислити l_j = () / 2.

7. Обчислити y = mod n.

8. Якщо x  y (mod n), знайти іншу підмножину T {1, 2, …, t + 1} таку що = 0 та перейти до кроку 5.

9. Обчислити дільник d = НСД(x – y, n).

Приклад. Розкласти на множники n = 24961.

1. Побудуємо множникову основу: F = {-1, 2, 3, 5, 13, 23}

2. m = [] = 157.

3. Побудуємо наступну таблицю:

i	x	q(x)	факторизація q(x)	ai	vi
1	0	-312	-23 * 3 * 13	157	(1, 1, 1, 0, 1, 0)
2	1	3	3	158	(0, 0, 1, 0, 0, 0)
3	-1	-625	-54	156	(1, 0, 0, 0, 0, 0)
4	2	320	26 * 5	159	(0, 0, 0, 1, 0, 0)
5	-2	-936	-23 * 32 * 13	155	(1, 1, 0, 0, 1, 0)
6	4	960	26 * 3 * 5	161	(0, 0, 1 ,1, 0, 0)
7	-6	-2160	-24 * 33 * 5	151	(1, 0, 1, 1, 0, 0)

4. Виберемо T = {1, 2, 5}, оскільки v₁ + v₂ + v₅ = 0.

5. Обчислимо x = (a₁a₂a₅) (mod n) = 936 = 2⁶ * 3⁴ * 13².

6. l₁ = 1, l₂ = 3, l₃ = 2, l₄ = 0, l₅ = 1, l₆ = 0.

7. y = -2³ * 3² * 13 (mod n) = 24025.

8. Оскільки 936 –24025 (mod n), необхідно шукати іншу множину T.

9. Виберемо T = {3, 6, 7}, оскільки v₃ + v₆ + v₇ = 0.

10. Обчислимо x = (a₃a₆a₇) mod n = 23405 = 2¹⁰ * 3⁴ * 5⁶.

11. l₁ = 1, l₂ = 5, l₃ = 2, l₄ = 3, l₅ = 0, l₆ = 0.

12. y = -2⁵ * 3² * 5³ (mod n) = 13922.

13. 23405  13922 (mod n).

d = НСД(x – y, n) = НСД(9483, 24961) = 109 – дільник.

Відповідь: 109 – дільник 24961.