ОПТИМІЗАЦІЯ ХІМІКО-ТЕХНОЛОГІЧНИХ ПРОЦЕСІВ
Введення
Процеси хімічної технології це складні фізико-хімічні процеси, що протікають як у просторі, так і в часі. У них беруть участь потоки енергії (тепло і холод) і багатофазні та багатокомпонентні потоки речовини.
При розробці схеми конкретного процесу хімічної технології слід, шляхом оптимізації, знайти найкращий (за прийнятим критерієм) варіант рішення з кінцевого безлічі альтернативних. Такий шлях вибору варіанту схеми часто називають синтезом схем. Синтезу схем передує фізико-хімічне дослідження вихідної суміші, що проводиться з метою виявлення обмежень на отримання необхідних (кінцевих) продуктів. Таке дослідження можна назвати предсінтезом схем. Предсінтез схем дозволяє в більшості випадків як суттєво знизити розмірність оптимизируемого безлічі альтернативних варіантів, так і на самому початковому рівні відкинути нереалізующіеся варіанти при синтезі оптимальних схем. Ще одним етапом розробки схеми хіміко-технологічного процесу (ХТП) є вибір оптимальних варіантів конструкції і функціонування конкретних апаратів та вузлів схеми.
Розробку схеми хіміко-технологічного процесу можна розглядати як ієрархічну завдання, розділивши її на декілька рівнів ієрархії. При цьому результати більш низького рівня визначають результати на більш високому рівні, а при неоднозначності рішення на більш високому рівні можливе повернення на більш низький. Кожен рівень ієрархії може складатися з декількох підрівнів пов'язаних або не пов'язаних між собою зворотними зв'язками.
Метою цього курсу з оптимізації побудови ХТП є не стільки навчити набору стандартних рішень, скільки навчити думати, аналізувати завдання, вміти шукати рішення і оцінювати їх результати. Що це означає в наших конкретних обставин? Маючи інформацію про мету, вихідних речовинах, наборі обмежень, можливої сукупності впливів на систему, сформулювати приватні і загальні критерії оптимізації і знайти «кращий з можливих» варіантів.
Визначення
Сформулюємо деякі корисні визначення. Хіміко-технологічна система (ХТС) - це сукупність взаємопов'язаних технологічними потоками і діють як одне ціле апаратів, у яких здійснюється певна послідовність технологічних операцій (підготовка сировини, власне хімічне перетворення, виділення цільових продуктів). Елемент ХТМ - це апарат, в якому протікає будь-якої типової хіміко-технологічний процес.
Вхідними змінними (параметрами) ХТМ є фізичні параметри вхідних потоків сировини або вихідних продуктів, а також параметри різних фізико-хімічних впливів навколишнього середовища на процес функціонування ХТМ. Вхідні змінні за характером впливу на ХТМ можна розділити на три типи. I. Незмінні вхідні параметри. Ними називаються такі параметри, значення яких можуть бути виміряні, але можливість впливу, на які відсутній. Значення вказаних параметрів не залежать від режиму процесу (наприклад, склад вихідної сировини). II. Керуючі параметри. Це такі параметри, на які можна надавати прямий вплив у відповідності з тими або іншими вимогами, що дозволяє управляти процесом (наприклад, регульоване тиск в реакторі). III. Возмущающие параметри. Такими називаються параметри, значення яких випадковим чином змінюються з часом і які недоступні для вимірювання (наприклад, різні домішки у вихідній сировині).
Вихідні параметри. Під вихідними розуміються параметри, величини яких визначаються режимом процесу і які характеризують його стан, що виникає в результаті сумарного впливу вхідних, керуючих і збурюючих параметрів. Іноді вихідні параметри називають також, параметрами стану. Підкреслюючи тим самим їх призначення описувати стан процесу.
Зазначимо, що дія збурюючих параметрів виявляється в тому, що параметри стану процесу при відомій сукупності вхідних і керуючих параметрів визначаються неоднозначно. Процеси, для яких вплив випадкових збурень велике називають стохастичними. У зворотному випадку - детермінованими.
Для вивчення стохастичних процесів зазвичай використовують математичний апарат теорії ймовірностей. З його допомогою параметри стану оцінюються в термінах математичного очікування, а возмущающие параметри характеризуються імовірнісними законами розподілу. У теорії оптимізації працюють, як правило, з детермінованими процесами.
Для детермінованих моделей залежність вихідних параметрів від вхідних і управляючих можна записати у вигляді:
x вих = φ (x вх, u) (1)
Критерій оптимальності детермінованого процесу представляється як функція вхідних, вихідних і керуючих параметрів:
R = R (x вх, x вих, u) (2)
Параметри ХТМ та параметри технологічного режиму елементів зумовлюють характер процесу функціонування системи, тобто деякий закон зміни стану системи. Параметри ХТМ поділяються на конструкційні і технологічні. Конструкційними параметрами ХТМ є геометричні характеристики апаратурного оформлення елементів системи (наприклад, діаметр і висота шару насадки в масообмінних апаратів). До технологічних параметрах ХТМ відносяться коефіцієнти ступенів перетворення і ступенів поділу хімічних компонентів, коефіцієнти тепло-і массопередачи, константи швидкостей хімічних реакцій і т.д.
Параметрами технологічного режиму елементів ХТМ називають сукупність основних факторів (параметрів) всередині елемента (температура, тиск, застосування і активність каталізатора, флегмовое число), які впливають на швидкість технологічного процесу, вихід і якість хімічних продуктів.
Слід розрізняти параметричну оптимізацію (оптимізація параметрів фізико-хімічних або емпіричних моделей природи процесу), оптимізацію технологічного процесу, оптимізацію схеми, оптимізацію управління процесом і оптимізацію самого процесу вибору.
Слід розрізняти оптимізацію ХТМ на стадії проектування і на стадії реконструкції (у зв'язку з тим, що значна частина обладнання не може бути замінена, виникає велика кількість додаткових граничних умов).
Критерії оптимізації
Для позначення показника, екстремум якого відповідає оптимальному вирішенню, використовується великий набір термінів: функція мети (цільова функція), функція відгуку, параметр оптимізації, критерій оптимізації та ін Найчастіше ці терміни розглядаються як синоніми.
Поняття критерій оптимізації треба чітко розрізняти з поняттям мета оптимізації. Метою оптимізації в ХТП є отримання заданого продукту (речовини) із заданими параметрами (наприклад, склад). З поняттями критерій оптимізації і мета оптимізації тісно пов'язані такі поняття як граничні умови по вхідним, вихідним і керуючим параметрами системи. Граничними умовами ми будемо називати такі в межах, яких можуть змінюватись вхідні, вихідні та керуючі параметрами системи (наприклад, температура як керуючий параметр процесу може змінюватись лише в певному діапазоні). Критерій оптимізації має сенс, якщо при його визначенні враховані граничні умови по вхідним, вихідним і керуючим параметрами системи.
Вибір критерію оптимізації є одним з перших і відповідальних етапів робіт з вибору оптимальних рішень. У самому справі, перш ніж шукати найкраще, найвигідніше рішення тієї або іншої задачі, необхідно чітко визначити, що ми будемо розуміти під поняттям «найвигідніше». Вибір критерію недостатньо повно відображає постановку завдання, може призвести до серйозних прорахунків, що призводить надалі до не досягнення мети оптимізації.
Зазвичай вважається, що як при розробці і проектуванні виробництва, так і при управлінні ним, оптимальним є рішення, що забезпечує найбільшу економічну ефективність виробництва. Для самостійного виробничого комплексу, вихідні і кінцеві продукти якого є товарними, це положення стало загальновизнаним. У разі окремих апаратів і вузлів технологічної схеми поряд з критерієм ефективності використовують і так звані «технологічні» критерії.
Основні труднощі у формуванні економічного критерію оптимізації обумовлена тим, що з математичної постановки задачі випливає вимога використовувати в якості критерію єдиний узагальнений показник. У той же час економічна ефективність виробництва має безліч приватних аспектів, і для їх оцінки застосовуються численні самостійні показники, в тому числі такі, як продуктивність, собівартість продукції, прибуток, рентабельність і ін
Важливо відзначити, що при виборі узагальненого показника мова йде не лише про облік в тій чи іншій мірі декількох аспектів економічної ефективності, але і про зіставлення їх в еквівалентних співвідношеннях, які дозволяли б порівнювати виграш за рахунок поліпшення одних показників з програшем за рахунок погіршення інших.
Необхідність такого зіставлення випливає з компромісного характеру більшості задач оптимізації. Компромісний характер оптимізації обумовлений тим, що варіювання параметрів в околицях оптимуму призводить, як правило, до сприятливого зміні лише деяких приватних показників ефективності і одночасно супроводжується несприятливим зміною інших приватних показників. Так, наприклад, при зниженні собівартості продукції, внаслідок більш повної конверсії вихідних продуктів реакції, потрібне збільшення обсягу реактора, тобто відбувається зростання капітальних витрат. Збільшення чистоти продукту, при інших рівних умовах, часто може бути досягнуто при збільшенні капітальних і експлуатаційних витрат по вузлу поділу. Слід зазначити, що в деяких випадках оптимальний компроміс може знаходитися за межами допустимих значень варійованих параметрів, обмежених тими чи іншими технічними умовами, вимогами безпеки і т.п.
З безлічі приватних показників ефективності виробництва можна виділити основні економічні параметри, які при заданих цінах і нормативних показниках однозначно визначають значення переважної більшості інших показників. Часто головними економічними параметрами вибирають такі:
1. Кількість реалізованої продукції У т / рік. Для n видів продукції {B j}, де j = 1, ..., n.
2. Якість продукції, яка по кожному з кінцевих продуктів може оцінюватися сукупністю p j фізичних або фізико-хімічних параметрів, наприклад температура плавлення, вміст домішок, мутність розчину і т.п.
3. Експлуатаційні, тобто регулярні витрати на виробництво продукції.
4. Капітальні, тобто одноразові витрати, включаючи витрати на створення необхідних для функціонування виробництва оборотних фондів.
Як правило, варіюючи їх у тих чи інших пропорціях, отримують узагальнений критерій ефективності виробництва.
Сформульованому узагальненому критерію оптимізації схеми в цілому не повинні суперечити критерії оптимального функціонування окремих її складових частин. Локальні критерії оптимізації повинні, з одного боку, вибиратися автономно для даного вузла чи апарату, але з іншої сторони не вступати в конфлікт з глобальним критерієм. Відомо, що сукупність оптимальних критеріїв складових частин спільного не обов'язково дає сукупний критерій оптимізації цілого. Вірно і зворотне твердження.
Топологічний метод і ХТМ
Велика складність сучасних ХТМ, багатовимірність їх як за кількістю складових елементів, так і за кількістю виконуваних ними функцій, висока ступінь взаємозв'язку і параметричного взаємовпливу елементів визначає виникнення при вирішенні завдання аналізу та синтезу схем ряду принципових труднощів науково-дослідного, методологічного та обчислювального характеру. Ці труднощі можуть бути в деякій мірі подолані при застосуванні топологічного методу аналізу ХТС. Цей метод надає можливість формалізувати функціональний зв'язок між топологічним поданням системи і кількісними характеристиками функціонування системи. За допомогою топологічного методу аналізу можна розробляти оптимальну стратегію вирішення завдань аналізу функціонування та оптимізації складних систем.
Застосування топологічного методу аналізу грунтується на розгляді математичних топологічних моделей систем, якими є потокові та структурні графи. Застосування топологічних уявлень дозволяє великий обсяг суттєвої інформації про складну ХТМ приводити до компактної і наочній формі. Це вже саме по собі дає можливість скласти якісне уявлення про деякі властивості досліджуваної системи.
Відзначимо, що за допомогою потокових і структурних графів можна уявити фізико-хімічну структуру вихідної суміші, особливості технологічної топології системи в цілому та окремих її вузлів, встановлювати зв'язок між змінами технологічної структури та кількісними характеристиками ХТМ.
Основні поняття і визначення теорії графів
Нехай дано безліч Х, яке складається з елементів, званих точками. Дан закон, що дозволяє встановити співвідношення Т між кожним елементом множини Х і деякими з його підмножин. Позначимо через Тх якесь підмножина множини Х, що відповідає елементу х множини Х. Дві математичні величини - «безліч Х» і «відповідність Т» - визначають граф G, що позначається як G = (X, T). Елементи множини Х будемо зображати точками, і називати вершинами графа. Співвідношення Т будемо зображати відрізками (іноді орієнтованими), що з'єднують елемент з елементами підмножини Тх, і називати ребрами або дугами графа. Граф G називається кінцевим, якщо число його вершин звичайно. На рис.1, а показаний граф, який визначається безліччю
X = {x 0, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5}.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
а)
б)
SHAPE \ * MERGEFORMAT
в)
Рис.1. Різні графи: а - граф, який визначається безліччю вершин Х = {x 0, x 1, ..., x 5}; б - нуль граф; в - граф, який визначається безліччю вершин Х = {a, b, c, d}.
Введення
Процеси хімічної технології це складні фізико-хімічні процеси, що протікають як у просторі, так і в часі. У них беруть участь потоки енергії (тепло і холод) і багатофазні та багатокомпонентні потоки речовини.
При розробці схеми конкретного процесу хімічної технології слід, шляхом оптимізації, знайти найкращий (за прийнятим критерієм) варіант рішення з кінцевого безлічі альтернативних. Такий шлях вибору варіанту схеми часто називають синтезом схем. Синтезу схем передує фізико-хімічне дослідження вихідної суміші, що проводиться з метою виявлення обмежень на отримання необхідних (кінцевих) продуктів. Таке дослідження можна назвати предсінтезом схем. Предсінтез схем дозволяє в більшості випадків як суттєво знизити розмірність оптимизируемого безлічі альтернативних варіантів, так і на самому початковому рівні відкинути нереалізующіеся варіанти при синтезі оптимальних схем. Ще одним етапом розробки схеми хіміко-технологічного процесу (ХТП) є вибір оптимальних варіантів конструкції і функціонування конкретних апаратів та вузлів схеми.
Розробку схеми хіміко-технологічного процесу можна розглядати як ієрархічну завдання, розділивши її на декілька рівнів ієрархії. При цьому результати більш низького рівня визначають результати на більш високому рівні, а при неоднозначності рішення на більш високому рівні можливе повернення на більш низький. Кожен рівень ієрархії може складатися з декількох підрівнів пов'язаних або не пов'язаних між собою зворотними зв'язками.
Метою цього курсу з оптимізації побудови ХТП є не стільки навчити набору стандартних рішень, скільки навчити думати, аналізувати завдання, вміти шукати рішення і оцінювати їх результати. Що це означає в наших конкретних обставин? Маючи інформацію про мету, вихідних речовинах, наборі обмежень, можливої сукупності впливів на систему, сформулювати приватні і загальні критерії оптимізації і знайти «кращий з можливих» варіантів.
Визначення
Сформулюємо деякі корисні визначення. Хіміко-технологічна система (ХТС) - це сукупність взаємопов'язаних технологічними потоками і діють як одне ціле апаратів, у яких здійснюється певна послідовність технологічних операцій (підготовка сировини, власне хімічне перетворення, виділення цільових продуктів). Елемент ХТМ - це апарат, в якому протікає будь-якої типової хіміко-технологічний процес.
Вхідними змінними (параметрами) ХТМ є фізичні параметри вхідних потоків сировини або вихідних продуктів, а також параметри різних фізико-хімічних впливів навколишнього середовища на процес функціонування ХТМ. Вхідні змінні за характером впливу на ХТМ можна розділити на три типи. I. Незмінні вхідні параметри. Ними називаються такі параметри, значення яких можуть бути виміряні, але можливість впливу, на які відсутній. Значення вказаних параметрів не залежать від режиму процесу (наприклад, склад вихідної сировини). II. Керуючі параметри. Це такі параметри, на які можна надавати прямий вплив у відповідності з тими або іншими вимогами, що дозволяє управляти процесом (наприклад, регульоване тиск в реакторі). III. Возмущающие параметри. Такими називаються параметри, значення яких випадковим чином змінюються з часом і які недоступні для вимірювання (наприклад, різні домішки у вихідній сировині).
Вихідні параметри. Під вихідними розуміються параметри, величини яких визначаються режимом процесу і які характеризують його стан, що виникає в результаті сумарного впливу вхідних, керуючих і збурюючих параметрів. Іноді вихідні параметри називають також, параметрами стану. Підкреслюючи тим самим їх призначення описувати стан процесу.
Зазначимо, що дія збурюючих параметрів виявляється в тому, що параметри стану процесу при відомій сукупності вхідних і керуючих параметрів визначаються неоднозначно. Процеси, для яких вплив випадкових збурень велике називають стохастичними. У зворотному випадку - детермінованими.
Для вивчення стохастичних процесів зазвичай використовують математичний апарат теорії ймовірностей. З його допомогою параметри стану оцінюються в термінах математичного очікування, а возмущающие параметри характеризуються імовірнісними законами розподілу. У теорії оптимізації працюють, як правило, з детермінованими процесами.
Для детермінованих моделей залежність вихідних параметрів від вхідних і управляючих можна записати у вигляді:
x вих = φ (x вх, u) (1)
Критерій оптимальності детермінованого процесу представляється як функція вхідних, вихідних і керуючих параметрів:
R = R (x вх, x вих, u) (2)
Параметри ХТМ та параметри технологічного режиму елементів зумовлюють характер процесу функціонування системи, тобто деякий закон зміни стану системи. Параметри ХТМ поділяються на конструкційні і технологічні. Конструкційними параметрами ХТМ є геометричні характеристики апаратурного оформлення елементів системи (наприклад, діаметр і висота шару насадки в масообмінних апаратів). До технологічних параметрах ХТМ відносяться коефіцієнти ступенів перетворення і ступенів поділу хімічних компонентів, коефіцієнти тепло-і массопередачи, константи швидкостей хімічних реакцій і т.д.
Параметрами технологічного режиму елементів ХТМ називають сукупність основних факторів (параметрів) всередині елемента (температура, тиск, застосування і активність каталізатора, флегмовое число), які впливають на швидкість технологічного процесу, вихід і якість хімічних продуктів.
Слід розрізняти параметричну оптимізацію (оптимізація параметрів фізико-хімічних або емпіричних моделей природи процесу), оптимізацію технологічного процесу, оптимізацію схеми, оптимізацію управління процесом і оптимізацію самого процесу вибору.
Слід розрізняти оптимізацію ХТМ на стадії проектування і на стадії реконструкції (у зв'язку з тим, що значна частина обладнання не може бути замінена, виникає велика кількість додаткових граничних умов).
Критерії оптимізації
Для позначення показника, екстремум якого відповідає оптимальному вирішенню, використовується великий набір термінів: функція мети (цільова функція), функція відгуку, параметр оптимізації, критерій оптимізації та ін Найчастіше ці терміни розглядаються як синоніми.
Поняття критерій оптимізації треба чітко розрізняти з поняттям мета оптимізації. Метою оптимізації в ХТП є отримання заданого продукту (речовини) із заданими параметрами (наприклад, склад). З поняттями критерій оптимізації і мета оптимізації тісно пов'язані такі поняття як граничні умови по вхідним, вихідним і керуючим параметрами системи. Граничними умовами ми будемо називати такі в межах, яких можуть змінюватись вхідні, вихідні та керуючі параметрами системи (наприклад, температура як керуючий параметр процесу може змінюватись лише в певному діапазоні). Критерій оптимізації має сенс, якщо при його визначенні враховані граничні умови по вхідним, вихідним і керуючим параметрами системи.
Вибір критерію оптимізації є одним з перших і відповідальних етапів робіт з вибору оптимальних рішень. У самому справі, перш ніж шукати найкраще, найвигідніше рішення тієї або іншої задачі, необхідно чітко визначити, що ми будемо розуміти під поняттям «найвигідніше». Вибір критерію недостатньо повно відображає постановку завдання, може призвести до серйозних прорахунків, що призводить надалі до не досягнення мети оптимізації.
Зазвичай вважається, що як при розробці і проектуванні виробництва, так і при управлінні ним, оптимальним є рішення, що забезпечує найбільшу економічну ефективність виробництва. Для самостійного виробничого комплексу, вихідні і кінцеві продукти якого є товарними, це положення стало загальновизнаним. У разі окремих апаратів і вузлів технологічної схеми поряд з критерієм ефективності використовують і так звані «технологічні» критерії.
Основні труднощі у формуванні економічного критерію оптимізації обумовлена тим, що з математичної постановки задачі випливає вимога використовувати в якості критерію єдиний узагальнений показник. У той же час економічна ефективність виробництва має безліч приватних аспектів, і для їх оцінки застосовуються численні самостійні показники, в тому числі такі, як продуктивність, собівартість продукції, прибуток, рентабельність і ін
Важливо відзначити, що при виборі узагальненого показника мова йде не лише про облік в тій чи іншій мірі декількох аспектів економічної ефективності, але і про зіставлення їх в еквівалентних співвідношеннях, які дозволяли б порівнювати виграш за рахунок поліпшення одних показників з програшем за рахунок погіршення інших.
Необхідність такого зіставлення випливає з компромісного характеру більшості задач оптимізації. Компромісний характер оптимізації обумовлений тим, що варіювання параметрів в околицях оптимуму призводить, як правило, до сприятливого зміні лише деяких приватних показників ефективності і одночасно супроводжується несприятливим зміною інших приватних показників. Так, наприклад, при зниженні собівартості продукції, внаслідок більш повної конверсії вихідних продуктів реакції, потрібне збільшення обсягу реактора, тобто відбувається зростання капітальних витрат. Збільшення чистоти продукту, при інших рівних умовах, часто може бути досягнуто при збільшенні капітальних і експлуатаційних витрат по вузлу поділу. Слід зазначити, що в деяких випадках оптимальний компроміс може знаходитися за межами допустимих значень варійованих параметрів, обмежених тими чи іншими технічними умовами, вимогами безпеки і т.п.
З безлічі приватних показників ефективності виробництва можна виділити основні економічні параметри, які при заданих цінах і нормативних показниках однозначно визначають значення переважної більшості інших показників. Часто головними економічними параметрами вибирають такі:
1. Кількість реалізованої продукції У т / рік. Для n видів продукції {B j}, де j = 1, ..., n.
2. Якість продукції, яка по кожному з кінцевих продуктів може оцінюватися сукупністю p j фізичних або фізико-хімічних параметрів, наприклад температура плавлення, вміст домішок, мутність розчину і т.п.
3. Експлуатаційні, тобто регулярні витрати на виробництво продукції.
4. Капітальні, тобто одноразові витрати, включаючи витрати на створення необхідних для функціонування виробництва оборотних фондів.
Як правило, варіюючи їх у тих чи інших пропорціях, отримують узагальнений критерій ефективності виробництва.
Сформульованому узагальненому критерію оптимізації схеми в цілому не повинні суперечити критерії оптимального функціонування окремих її складових частин. Локальні критерії оптимізації повинні, з одного боку, вибиратися автономно для даного вузла чи апарату, але з іншої сторони не вступати в конфлікт з глобальним критерієм. Відомо, що сукупність оптимальних критеріїв складових частин спільного не обов'язково дає сукупний критерій оптимізації цілого. Вірно і зворотне твердження.
Топологічний метод і ХТМ
Велика складність сучасних ХТМ, багатовимірність їх як за кількістю складових елементів, так і за кількістю виконуваних ними функцій, висока ступінь взаємозв'язку і параметричного взаємовпливу елементів визначає виникнення при вирішенні завдання аналізу та синтезу схем ряду принципових труднощів науково-дослідного, методологічного та обчислювального характеру. Ці труднощі можуть бути в деякій мірі подолані при застосуванні топологічного методу аналізу ХТС. Цей метод надає можливість формалізувати функціональний зв'язок між топологічним поданням системи і кількісними характеристиками функціонування системи. За допомогою топологічного методу аналізу можна розробляти оптимальну стратегію вирішення завдань аналізу функціонування та оптимізації складних систем.
Застосування топологічного методу аналізу грунтується на розгляді математичних топологічних моделей систем, якими є потокові та структурні графи. Застосування топологічних уявлень дозволяє великий обсяг суттєвої інформації про складну ХТМ приводити до компактної і наочній формі. Це вже саме по собі дає можливість скласти якісне уявлення про деякі властивості досліджуваної системи.
Відзначимо, що за допомогою потокових і структурних графів можна уявити фізико-хімічну структуру вихідної суміші, особливості технологічної топології системи в цілому та окремих її вузлів, встановлювати зв'язок між змінами технологічної структури та кількісними характеристиками ХТМ.
Основні поняття і визначення теорії графів
Нехай дано безліч Х, яке складається з елементів, званих точками. Дан закон, що дозволяє встановити співвідношення Т між кожним елементом множини Х і деякими з його підмножин. Позначимо через Тх якесь підмножина множини Х, що відповідає елементу х множини Х. Дві математичні величини - «безліч Х» і «відповідність Т» - визначають граф G, що позначається як G = (X, T). Елементи множини Х будемо зображати точками, і називати вершинами графа. Співвідношення Т будемо зображати відрізками (іноді орієнтованими), що з'єднують елемент з елементами підмножини Тх, і називати ребрами або дугами графа. Граф G називається кінцевим, якщо число його вершин звичайно. На рис.1, а показаний граф, який визначається безліччю
X = {x 0, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5}.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Х 4 |
Х 0 |
Х 5 |
Х 2 |
Х 3 |
Х 1 |
а)
|
|
|
|
|
|
б)
SHAPE \ * MERGEFORMAT
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
d |
b |
c |
a |
в)
Рис.1. Різні графи: а - граф, який визначається безліччю вершин Х = {x 0, x 1, ..., x 5}; б - нуль граф; в - граф, який визначається безліччю вершин Х = {a, b, c, d}.