Нелінійні елементи

Предмет: Теорія автоматичного керування

Тема: НЕЛІНІЙНІ ЕЛЕМЕНТИ

1. Класифікація нелінійних елементів

Нелінійні залежності z = f (x) можна класифікувати за різними ознаками:

1. За гладкості характеристик: гладка - якщо в будь-якій точці характеристики існує похідна dz / dx, тобто функція диференційовна (рис. 1а, б); кусково-лінійна - характеристика, у якій похідні мають розрив першого (рис.2) або другого роду (рис. 2б).

Рис. 1

Рис.2

За однозначності: однозначні - в яких кожному значенню вхо-дной величини відповідає одне значення вихідної величини (рис. 3a); багатозначні - в яких кожному значенню вхідної величини х відповідає кілька значень вихідної величини z (ріс.3б, в, г).

Рис. 3

За симетрії: парному-симетричні - симетричні відносно осі ординат, тобто z (х) = z (- х) (рис. 4а); непарній-симетричні - сим-метричних щодо початку координат, при цьому z (х) = - z (- х) (рис. 4б); не симетричні (рис. 4в).

Рис. 4

2. Нелінійні ланцюга

Нелінійними називаються ланцюга, до складу яких входить хоча б один нелінійний елемент. Нелінійні елементи описуються нелінійними характеристиками, які не мають суворого аналітичного виразу, визначаються експериментально і задаються таблично або графіками.

Нелінійні елементи можна розділити на двох - і багатополюсні. Останні містять три (різні напівпровідникові та електронні тріоди) і більше (магнітні підсилювачі, багатообмотувальних трансформатори, тетроди, пентоди і ін) полюсів, за допомогою яких вони приєднуються до електричного кола. Характерною особливістю багатополюсних елементів є те, що в загальному випадку їх властивості визначаються сімейством характеристик, що представляють залежності вихідних характеристик від вхідних змінних і навпаки: вхідні характеристики будують для ряду фіксованих значень одного з вихідних параметрів, вихідні - для ряду фіксованих значень одного з вхідних.

За іншою ознакою класифікації нелінійні елементи можна розділити на інерційні та безінерційні. Інерційними називаються елементи, характеристики яких залежать від швидкості зміни змінних. Для таких елементів статичні характеристики, що визначають залежність між діючими значеннями змінних, відрізняються від динамічних характеристик, які визначають взаємозв'язок між миттєвими значеннями змінних. Безінерційний називаються елементи, характеристики яких не залежать від швидкості зміни змінних. Для таких елементів статичні і динамічні характеристики збігаються.

Поняття інерційних та безінерційних елементів відносні: елемент може розглядатися як безінерційний в допустимому (обмеженому зверху) діапазоні частот, при виході за межі якого він переходить у розряд інерційних.

Залежно від виду характеристик розрізняють нелінійні елементи з симетричними і несиметричними характеристиками. Симетричною називається характеристика, яка не залежить від напрямку визначають її величин, тобто що має симетрію щодо початку системи координат. Для несиметричною характеристики ця умова не виконується, тобто Наявність у нелінійного елемента симетричної характеристики дозволяє в цілому ряді випадків спростити аналіз схеми, здійснюючи його в межах одного квадранта.

За типом характеристики можна також розділити всі нелінійні елементи на елементи з однозначною і неоднозначною характеристиками. Однозначної називається характеристика, у якій кожному значенню х відповідає єдине значення y і навпаки. У випадку неоднозначною характеристики якимось значенням х може відповідати два або більше значення y або навпаки. У нелінійних резисторів неоднозначність характеристики зазвичай пов'язана з наявністю падаючого ділянки, а у нелінійних індуктивних і ємнісних елементів - з гістерезисом.

Нарешті, всі нелінійні елементи можна розділити на керовані і некеровані. На відміну від некерованих керовані нелінійні елементи (зазвичай три-і багатополюсників) містять керуючі канали, змінюючи напругу, струм, світловий потік і ін в яких, змінюють їх основні характеристики: вольт-амперна, вебер-амперну або кулон-вольтную.

Залежно від виду складових нелінійних елементів, називають нелінійні ланцюги.

3. Коефіцієнт посилення нелінійного елемента

Розглянемо нелінійний елемент (рис. 5). Подамо на вхід нелінійного елемента гармонійний сигнал з амплітудою - А ₀ і визначимо першу гармоніку вихідного сигналу.

Рис. 5

При цьому для вхідного і вихідного сигналів можна записати наступні співвідношення

(1)

де: - Модуль вектора; - Аргумент вектора.

Розглянемо характеристику нелінійного елемента - , Яка називається комплексним коефіцієнтом передачі нелінійного елементу. Цю характеристику можна будувати в комплексній площині також, як і комплексний коефіцієнт передачі лінійної частини. При цьому характеристика - Залежить від частоти сигналу і не залежить від його амплітуди. Характеристика - Залежить від амплітуди вхідного сигналу і не залежить від частоти, так як нелінійний елемент є безінерційним. Для однозначних характеристик його значення є дійсними величинами, а для багатозначних - комплексними.

Розглянемо приклади побудови комплексних коефіцієнтів передачі для найбільш характерних нелінійних елементів - .

1. Нелінійний елемент типу "підсилювач з обмеженням". Характеристики ланки показані на рис. 6. Подібними характеристиками володіють різного типу підсилювальні і виконавчі елементи автоматики (електронні, магнітні, пневматичні, гідравлічні та ін) в області великих вхідних сигналів.

Рис. 6

Якщо амплітуда вхідного впливу менше а, то це звичайне лінійне безінерційні ланка, при цьому коефіцієнт підсилення до є постійною величиною. Фазовий зсув між входом і виходом дорівнює нулю, оскільки характеристика нелінійного елемента є симетричною. У міру збільшення амплітуди - коефіцієнт підсилення зменшується. У деяких методах дослідження нелінійних систем використовується характеристика зворотного комплексного коефіцієнта передачі нелінійного елемента (-1 / ). Ця характеристика наведена на рис. 6.

Так як фазового зсуву між гармоніками вхідного і вихідного сигналу немає, то характеристика співпадає з речовинної віссю.

Нелінійний елемент типу "зона нечутливості". Характеристики ланки показані на рис. 7. Подібними характеристиками володіють різного типу підсилювачі в області малих вхідних сигналів.

Рис. 7

Якщо амплітуда вхідного сигналу розташована в межах діапазону ± а, то вихідний сигнал дорівнює нулю в іншому випадку вихідний сигнал дорівнює не нулю, так як з'являються вершини вхідний гармоніки. Фазового зсуву немає. При великих амплітудах вхідного сигналу коефіцієнт посилення має постійне значення, тобто нелінійність не робить істотного впливу на вихідний сигнал.

3. Нелінійний елемент типу "трьохпозиційний реле без гістерезису". Характеристики ланки показані на рис.8. Ця характеристика властива релейним систем зі зворотним зв'язком.

Так як характеристика однозначна, то фазового зсуву немає. Якщо амплітуда вхідного сигналу ® ¥, то вихідний сигнал перетворюється в послідовність імпульсів. При малих і великих амплітудах коефіцієнт k - малий.

Рис. 8

4. Нелінійний елемент типу "релейна характеристика". Характеристики ланки показані на (рис. 9).

Рис. 9

Перша гармоніка буде зрушена убік запізнювання. Величина ф азово зсуву залежить від амплітуди вхідного сигналу і величини ± а.

Відношення амплітуд А ₁ / А ₀ при великих значеннях амплітуди вхідного сигналу прагне до 0, при цьому фазовий зсув зменшується. При малих амплітудах фазовий зсув дорівнює 90 °.

Якщо - Вектор, то - Зворотний вектор.

5. Нелінійний елемент типу "люфт, зазор". Характеристики даного

Рис. 10

нелінійного елемента наведено на рис. 10.

Моделі нелінійних елементів. Моделі нелінійних елементів можуть бути реалізовані шляхом включення в ланцюг операційного підсилювача (на вхід або у зворотний зв'язок) нелінійних двополюсників. Залежно від характеристик двухполюсника і способу його підключення можна реалізувати будь-яку нелінійну залежність (рис. 11а, б, в).

Рис. 11

Моделі нелінійних ланок широко використовуються при моделюванні систем автоматичного управління на ЕОМ.

Література

Атабеков Г.І., Тимофєєв А.Б., Купалян С.Д., Хухріков С.С. Теоретичні основи електротехніки (ТОЕ). Нелінійні електричні кола. Електромагнітне поле. 5-е вид. Вид-во: Лань, 2005. - 432с.

Бесекерскій В.А., Попов О.П. "Теорія систем автоматичного керування". Професія, 2003 р. - 752с.

Гаврилов Нелінійні ланцюга в програмах схемотехнічного моделювання. Вид-во: СОЛОН-ПРЕС, 2002. - 368с.

Дорф Р., Бішоп Р. Автоматика. Сучасні системи управління. 2002р. - 832с.

Збірник завдань з теорії автоматичного регулювання та управління / Під редакцією В. А. Бесекерскій. - M.: Наука, 1978.