Межа і безперервність функцій кількох змінних

Для вивчення подібних залежностей вводиться поняття функції декількох змінних.

Поняття функції декількох змінних

Визначення. Величина u називається функцією декількох незалежних змінних (x, y, z, ..., t), якщо кожній сукупності значень цих змінних ставиться у відповідність певне значення величини u.

Якщо змінна є функцією від двох змінних х і у, то функціональну залежність позначають

z = f (x, y).

Символ f визначає тут сукупність дій або правило для обчислення значення z по даній парі значень х і у.

Так, для функції z = x ² + 3 xy

при х = 1 і у = 1 маємо z = 4,

при х = 2 і у = 3 маємо z = 22,

при х = 4 і у = 0 маємо z = 16 і т.д.

Аналогічно називається величина u функцією від трьох змінних x, y, z, якщо дано правило, як з цієї трійці значень x, y і z обчислити відповідне значення u:

u = F (x, y, z).

Тут символ F визначає сукупність дій або правило для обчислення значення u, відповідного даними значенням x, y і z.

Так, для функції u = xy + 2 xz - 3 yz

при х = 1, у = 1 і z = 1 маємо u = 0,

при х = 1, у = -2 і z = 3 маємо u = 22,

при х = 2, у = -1 і z = -2 маємо u = -16 і т.д.

Таким чином, якщо в силу деякого закону кожної сукупності п чисел (x, y, z, ..., t) з деякого безлічі Е ставиться у відповідність певне значення змінної u, то і u називається функцією від п змінних x, y, z, ... , t, визначеної на множині Е, і позначається

u = f (X, y, z, ..., t).

Змінні x, y, z, ..., t називаються аргументами функції, безліч Е - областю визначення функції.

Приватним значенням функції називається значення функції в деякій точці М ₀ (x _0, y _0, z _0, ..., t ₀₎ і позначається f (М ₀₎ = f (x _0, y _0, z _0, ..., t ₀₎ .

Областю визначення функції називається множина всіх значень аргументів, яким відповідають будь-які справжні значення функції.

Функція двох змінних z = f (x, y) в просторі представляється деякою поверхнею. Тобто, коли точка з координатами х, у пробігає всю область визначення функції, розташовану в площині хОу, відповідна просторова точка, взагалі кажучи, описує поверхню.

Функцію трьох змінних u = F (x, y, z) розглядають як функцію точки деякої безлічі точок тривимірного простору. Аналогічно, функцію п змінних u = f (X, y, z, ..., t) розглядають як функцію точки деякого п-мірного простору.

Межа функції декількох змінних

Для того щоб дати поняття границі функції кількох змінних, обмежимося випадком двох змінних х та у. За визначенням функція f (x, y) має межу в точці (х _0, у _0), що дорівнює числу А, позначається так:

(1)

(Пишуть ще f (x, y) → А при (x, y) → (х _0, у _0)), якщо вона визначена в деякій околиці точки (х _0, у _0), за винятком, можливо, самої цієї точки і якщо існує межа

(2)

якою б не була прагне до (х _0, у ₀₎ послідовність точок (x _k, y _k).

Так само, як у випадку функції однієї змінної, можна ввести інше еквівалентне визначення межі функції двох змінних: функція f має в точці (х _0, у ₀₎ межа, рівний А, якщо вона визначена в деякій околиці точки (х _0, у ₀ ) за винятком, можливо, самої цієї крапки, і для будь-якого ε> 0 знайдеться таке δ> 0, що

| F (x, y) - A | <Ε (3)

для всіх (x, y), що задовольняють нерівностям

0 < <Δ. (4)

Це визначення, в свою чергу, еквівалентно наступному: для будь-якого ε> 0 знайдеться δ-окіл точки (х _0, у ₀₎ така, що для всіх (x, y) з цієї околиці, відмінних від (х _0, у ₀₎ , виконується нерівність (3).

Так як координати довільної точки (x, y) околиці точки (х _0, у ₀₎ можна записати у вигляді х = х ₀ + Δ х, у = у ₀ + Δ у, то рівність (1) еквівалентно наступному рівності:

Розглянемо деяку функції, задану в околиці точки (х _0, у _0), крім, можливо, самої цієї точки.

Нехай ω = (ω _х, ω _у) - довільний вектор довжини одиниця (| ω | ² = ω _х ² + ω _у ² = 1) і t> 0 - скаляр. Точки виду

(Х ₀ + t ω _х, y ₀ + t ω _у) (0 <t)

утворюють промінь, що виходить з (х _0, у ₀₎ в напрямку вектора ω. Для кожного ω можна розглядати функцію

f (Х ₀ + t ω _х, y ₀ + t ω _у) (0 <t <Δ)

від скалярної змінної t, де δ - досить мале число.

Межа цієї функції (однієї змінної t)

f (Х ₀ + t ω _х, y ₀ + t ω _у),

якщо він існує, природно називати межею f в точці (х _0, у ₀₎ за напрямом ω.

Приклад 1. Опції

визначені на площині (x, y) за винятком точки х ₀ = 0, у ₀ = 0. Маємо (врахувати, що і ):

Звідси

(Для ε> 0 вважаємо δ = ε / 2 і тоді | f (x, y) | <ε, якщо <Δ).

Далі, вважаючи, що k - постійна, маємо для y = kx рівність

з якого видно, що межа φ в точці (0, 0) з різних напрямів взагалі різний (одиничний вектор променя y = kx, х> 0, має вигляд

).

Приклад 2. Розглянемо в R ₂ функцію

(Х ⁴ + у ² ≠ 0).

Ця функція в точці (0, 0) на будь-який прямий y = kx, що проходить через початок координат, має межу, що дорівнює нулю:

при х → 0.

Однак ця функція не має границі в точки (0, 0), бо при у = х ²

і

Будемо писати , Якщо функція f визначена в деякій околиці точки (х _0, у _0), за винятком, можливо, самої точки (х _0, у ₀₎ і для всякого N > 0 знайдеться δ> 0 таке, що

| f (x, y) |> N,

якщо 0 < <Δ.

Можна також говорити про межу f, коли х, у → ∞:

(5)

Наприклад, у разі кінцевого числа А рівність (5) треба розуміти в тому сенсі, що для всякого ε> 0 знайдеться таке N > 0, що для всіх х, у, для яких | x |> N, | y |> N, функція f визначена і має місце нерівність

| f (x, y) - А | <ε.

Справедливі рівності

(6)

(7)

(8)

де може бути х → ∞, у → ∞. При цьому, як завжди, межі (кінцеві) в їх лівих частинах існують, якщо існують межі f і φ.

Доведемо для прикладу (7).

Нехай (x _k, y _k) → (х _0, у ₀₎ ((x _k, y _k) ≠ (х _0, у _0)); тоді

(9)

Таким чином, межа в лівій частині (9) існує і дорівнює правій частині (9), а так як послідовність (x _k, y _k) прагне до (х _0, у ₀₎ з будь-якого закону, то ця межа дорівнює межі функції f (x, y) ∙ φ (x, y) в точці (х _0, у _0).

Теорема. Якщо функція f (x, y) має межу, не рівний нулю в точці (х _0, у _0), тобто

то існує δ> 0 таке, що для всіх х, у, що задовольняють нерівностям

0 < <Δ, (10)

вона задовольняє нерівності

(12)

Тому для таких (x, y)

тобто має місце нерівність (11). З нерівності (12) для зазначених (x, y) слід звідки при A > 0 і при

A <0 (збереження знака).

За визначенням функція f (x) = f (x _1, ..., x _n) = A має межу в точці

x ⁰ = , Що дорівнює числу А, що позначається так:

(Пишуть ще f (x) → A (x → x ^0)), якщо вона визначена на деякій околиці точки x ^0, за винятком, можливо, її самої, і якщо існує межа

якою б не була прагне до x ⁰ послідовність точок х ^k з вказаної околиці (k = 1, 2, ...), відмінних від x ^0.

Інше еквівалентне визначення полягає в наступному: функція f має в точці x ⁰ межа, рівний А, якщо вона визначена в деякій околиці точки x ^0, за винятком, можливо, її самої, і для будь-якого ε> 0 знайдеться таке δ> 0, що

(13)

для всіх х, що задовольняють нерівностям

0 <| x - x ⁰ | <δ.

Це визначення в свою чергу еквівалентно наступному: для будь-якого ε> 0 знайдеться окіл U (x ⁰⁾ точки x ⁰ така, що для всіх х U (x ^0), х ≠ x ^0, виконується нерівність (13).

Очевидно, що якщо число А є межа f (x) в x ^0, то А є межа функції f (x ⁰ + h) від h в нульовій точці:

і навпаки.

Розглянемо деяку функцію f, задану у всіх точках околиці точки x ^0, крім, можливо, точки x ^0; нехай ω = (ω _1, ..., ω _п) - довільний вектор довжини одиниця (| ω | = 1) і t> 0 - скаляр. Точки виду x ⁰ + t ω (0 <t) утворюють виходить з x ⁰ промінь в напрямі вектора ω. Для кожного ω можна розглядати функцію

(0 <t <δ _ω)

від скалярної змінної t, де δ _ω є число, залежне від ω. Межа цієї функції (від однієї змінної t)

якщо він існує, природно називати межею f в точці x ⁰ по напрямку вектора ω.

Будемо писати , Якщо функція f визначена в деякій околиці x ^0, за винятком, можливо, x ^0, і для всякого N > 0 знайдеться δ> 0 таке, що | f (x) |> N, якщо 0 <| x - x ⁰ | <δ.

Можна говорити про межу f, коли х → ∞:

(14)

Наприклад, у разі кінцевого числа А рівність (14) треба розуміти в тому сенсі, що для всякого ε> 0 можна вказати таке N > 0, що для точок х, для яких | x |> N, функція f визначена і має місце нерівність .

Отже, межа функції f (x) = f (x _1, ..., х _п) від п змінних визначається за аналогією так само, як для функції від двох змінних.

Таким чином, перейдемо до визначення границі функції кількох змінних.

Число А називається границею функції f (M) при М → М _0, якщо для будь-якого числа ε> 0 завжди знайдеться таке число δ> 0, що для будь-яких точок М, відмінних від М ₀ і задовольняють умові | ММ ₀ | <δ, буде мати місце нерівність | f (M) - А | <ε.

Межа позначають У випадку функції двох змінних

Теореми про межі. Якщо функції f ₁ (M) і f ₂ (M) при М → М ₀ прагнуть кожна до кінцевого межі, то:

а)

б)

в)

Приклад 1. Знайти межа функції:

Рішення. Перетворимо межа наступним чином:

Нехай y = kx, тоді

Приклад 2. Знайти межа функції:

Рішення. Скористаємося першим чудовим межею Тоді

Приклад 3. Знайти межа функції:

Рішення. Скористаємося другий чудовим межею Тоді

Безперервність функції декількох змінних

За визначенням функція f (x, y) неперервна в точці (х _0, у _0), якщо вона визначена в деякій її околиці, в тому числі в самій точці (х _0, у ₀₎ і якщо межа f (x, y) в цій точці дорівнює її значенню в ній:

(1)

Умова неперервності f в точці (х _0, у ₀₎ можна записати в еквівалентній формі:

(1 ')

тобто функція f неперервна в точці (х _0, у _0), якщо неперервна функція f (х ₀ + Δ х, у ₀ + Δ у) від змінних Δ х, Δ у при Δ х = Δ у = 0.

Можна ввести прирощення Δ та функції і = f (x, y) в точці (x, y), відповідне приростам Δ х, Δ у аргументів

Δ і = f (х + Δ х, у + Δ у) - f (x, y)

і на цій мові визначити безперервність f в (x, y): функція f неперервна в точці (x, y), якщо

(1'')

Теорема. Сума, різниця, твір і приватне безперервних в точці (х _0, у ₀₎ функцій f і φ є безперервна функція в цій точці, якщо, звичайно, у випадку приватного φ (х _0, у ₀₎ ≠ 0.

Постійну з можна розглядати як функцію f (x, y) = с від змінних x, y. Вона безупинна по цим змінним, тому що

| f (x, y) - f (х _0, у ₀₎ | = | с - с | = 0 0.

Наступними за складністю є функції f (x, y) = х і f (x, y) = у. Їх теж можна розглядати як функції від (x, y), і при цьому вони безперервні. Наприклад, функція f (x, y) = х приводить у відповідність кожній точці (x, y) число, рівне х. Безперервність цієї функції в довільній точці (x, y) може бути доведена так:

| F (х + Δ х, у + Δ у) - f (x, y) | = | f (х + Δ х) - х | = | Δ х | ≤ 0.

Якщо проводити над функціями x, y і постійними дії додавання, віднімання та множення в кінцевому числі, то будемо отримувати функції, звані многочленами від x, y. На підставі сформульованих вище властивостей многочлени від змінних x, y - безперервні функції від цих змінних для всіх точок (x, y) R _2.

Ставлення P / Q двох многочленів від (x, y) є раціональна функція від (x, y), очевидно, безперервна всюди на R _2, за винятком точок (x, y), де Q (x, y) = 0.

Функція

Р (X, y) = х ³ - у ² + х ² у - 4

може бути прикладом многочлена від (x, y) третього ступеня, а функція

Р (X, y) = х ⁴ - 2 х ² у ² + у ⁴

є приклад многочлена від (x, y) четвертого ступеня.

Наведемо приклад теореми, яка каже безперервність функції від безперервних функцій.

Теорема. Нехай функція f (x, y, z) неперервна в точці (x _0, y _0, z ₀₎ простору R ₃ (точок (x, y, z)), а функції

x = φ (U, v), y = ψ (U, v), z = χ (U, v)

безперервні в точці (u _0, v ₀₎ простору R ₂ (точок (u, v)). Нехай, крім того,

x ₀ = φ (u _0, v _0), y ₀ = Ψ (u _0, v _0), z ₀ = Χ (u _0, v _0).

Тоді функція F (U, v) = f [Φ (u, v), ψ (u, v), χ (u, v)] безупинна (по

(U, v)) в точці (u _0, v _0).

Доказ. Так як знак межі можна внести під знак характеристики неперервної функції, то

Теорема. Функція f (x, y), безперервна в точці (х _0, у ₀₎ і не рівна нулю в цій точці, зберігає знак числа f (Х _0, у ₀₎ в деякій околиці точки (х _0, у _0).

За визначенням функція f (x) = f (x _1, ..., х _п) неперервна в точці х ⁰ = (х ⁰ _1, ..., х ⁰ _п), якщо вона визначена в деякій її околиці, в тому числі і в самій точці х ^0, і якщо межа її в точці х ⁰ дорівнює її значенню в ній:

(2)

Умова неперервності f в точці х ⁰ можна записати в еквівалентній формі:

(2 ')

тобто функція f (x) неперервна в точці х ^0, якщо неперервна функція f (х ⁰ + h) від h в точці h = 0.

Можна ввести прирощення f в точці х ^0, відповідне збільшенню h = (h _1, ..., h _п),

Δ _h f (х ⁰⁾ = f (х ⁰ + h) - f (х ⁰⁾

і на його мові визначити безперервність f в х ^0: функція f неперервна в х ^0, якщо

(2'')

Теорема. Сума, різниця, твір і приватне безперервних в точці х ⁰ функцій f (x) і φ (x) є безперервна функція в цій точці, якщо, звичайно, у випадку приватного φ (х ⁰⁾ ≠ 0.

Зауваження. Приріст Δ _h f (х ⁰⁾ називають також повним приростом функції f в точці х ^0.

У просторі R _n точок х = (x _1, ..., х _п) задамо безліч точок G.

За визначенням х ⁰ = (х ⁰ _1, ..., х ⁰ _п) є внутрішня точка безлічі G, якщо існує відкритий куля з центром в ньому, яке повністю належить до G.

Безліч G R _n називається відкритим, якщо всі його точки внутрішні.

Кажуть, що функції

х ₁ = φ ₁ (T), ..., х _п = φ _п (T) (a ≤ t ≤ b)

безперервні на відрізку [a, b], визначають безперервну криву в R _n, що сполучає точки х ¹ = (х ^{₁ 1,} ..., х ¹ _п) і х ² = (х ² _1, ..., х ² _п ), де х ^{₁ 1} = φ ₁ (А), ..., х ¹ _п = φ _п (А), х ² ₁ = φ ₁ (B), ..., х ² _п = φ _п (B). Букву t називають параметром кривої.

Безліч G називається зв'язковим, якщо будь-які його дві точки х ^1, х ² можна з'єднати безперервної кривої, що належить G.

Чіткий відкрите безліч називається областю.

Теорема. Нехай функція f (x) визначена і неперервна на R _n (у всіх точках R _n). Тоді безліч G точок х, де вона задовольняє нерівності

f (x)> с (або f (x) <с), яка б не була постійна с, є відкрите безліч.

Справді, функція F (x) = f (x) - з безупинна на R _n, і безліч всіх точок х, де F (x)> 0, збігається з G. Нехай х ⁰ G, тоді існує куля

| Х - х ⁰ | <δ,

на якому F (x)> 0, тобто він належить до G і точка х ⁰ G - внутрішня для G.

Випадок з f (x) <с доводиться аналогічно.

Таким чином, функція кількох змінних f (М) називається безперервної в точці М _0, якщо вона задовольняє наступним трьом умовам:

а) функція f (М) визначена в точці М ₀ і поблизу цієї точки;

б) існує межа ;

в)

Якщо в точці М ₀ порушено хоча б одна з цих умов, то функція в цій точці терпить розрив. Точки розрив можуть утворювати лінії розриву, поверхня розриву і т. д. Функція f (М) називається безперервної в області G, якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.

Приклад 1. Знайти точки розриву функції: z = ln (x ² + y ^2).

Рішення. Функція z = ln (x ² + y ²⁾ терпить розрив в точці х = 0, у = 0. Отже, точка О (0, 0) є точкою розриву.

Приклад 2. Знайти точки розриву функції:

Рішення. Функція не визначена в точках, в яких знаменник перетворюється на нуль, тобто x ² + y ² - z ² = 0. Отже, поверхня конуса

x ² + y ² = z ² є поверхнею розриву.

Висновок

Початкові відомості про межі і безперервності зустрічаються в шкільному курсі математики.

У курсі математичного аналізу поняття межі є одним з основних. За допомогою межі вводяться похідна та визначений інтеграл; межі ж є основним засобом у побудові теорії рядів. Поняття межі, що вперше з'явилося в 17 столітті в роботах Ньютона, використовується і отримує подальший розвиток в теорії рядів. У цьому розділі аналізу досліджуються питання, пов'язані з сумою нескінченної послідовності величин (як постійних, так і функцій).

Безперервність функції дає уявлення про її графіку. Це означає, що графік є суцільна лінія, а не складається з окремих розрізнених ділянок. Це властивість функції знаходить широке застосування у сфері економіки.

Тому поняття межі і безперервності грають важливу роль в дослідженні функцій кількох змінних.

Список використаної літератури

1. Бугров Я.С., Нікольський С.М. Вища математика: Підручник для вузів. Том 2: Диференціальне та інтегральне числення. Москва: Дрофа, 2004 рік, 512 с.

2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин І.М., Фрідмен М.Н. Вища математика для економістів. Москва: Юніті, 2000 рік, 271 с.

3. Черненко В.Д. Вища математика в прикладах і задачах. Навчальний посібник для вузів. Санкт-Петербург: Політехніка, 2003 рік, 703 с.

4. Http://elib.ispu.ru/library/math/sem2/index.html

5. Http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Fn/toc.htm