Локальні формації з метаабелевимі групами

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

«Гомельський державний університет

імені Франциска Скорини »

математичний факультет

кафедра алгебри і геометрії

Курсова робота

"Локальні формації з метаабелевимі групами"

ГОМЕЛЬ 2006

Зміст

Введення

1 Формація. Твір формацій

2 Операції на класах груп

3 екрани

3.1 Екрани формації

3.2 Формація з однорідним екраном

4 Локальна формація

5 побудованих локальних формацій

6 локальних формації із заданими властивостями

Висновок

Література

Введення

Формації, тобто класи груп, замкнуті щодо фактор-груп і подпрямих творів, завжди знаходилися в полі діяльності дослідників з теорії кінцевих груп. Проте аж до 1963 р. формаційне розвиток теорії кінцевих груп йшло лише шляхом накопичення фактів, що відносяться до різних конкретних формацій, з яких найбільш популярними були формація вирішуваних груп і її подформаціі, складені з абелевих, нільпотентні і сверхразрешімих груп.

У курсовій роботі розглядається твір формацій, операції на класах груп, що призводять до формаціям. Розглядаються локальні формації та екрани. Розглядаються найпростіші властивості локальної формації усіх груп з нільпотентні компонентом.

Формація. Твір формацій

Визначення 1.1 Класом груп називають всяке безліч груп, що містить разом з кожною своєю групою і всі групи, ізоморфні .

Якщо група (підгрупа) належать класу , То вона називається -Групою ( -Підгрупою).

Визначення 1.2. Клас груп називається формацією, якщо виконуються наступні умови:

1) кожна фактор-група будь-якої групи з також належить ;

2) з завжди слід .

Якщо формації і такі, що , То називається подформаціей формації .

За визначенням, пусте безліч є формацією (порожній формація). Безліч всіх груп є, звичайно, формацією. Одинична формація - Це непорожній клас груп, що складається лише з одиничних груп. Формаціями є: клас всіх -Груп, клас всіх абелевих груп, клас всіх нільпотентні груп, клас всіх -Груп ( - Фіксований просте число), клас всіх нільпотентні -Груп, клас всіх розв'язаних груп, клас всіх розв'язаних -Груп. Ми привели поки лише приклади тих формацій, за якими закріплені відповідні позначення.

Лемма 1.1. Справедливі наступні твердження:

1) перетин будь-якого безлічі формацій також є формацією;

2) якщо - Деяке безліч формацій, лінійно упорядкований щодо включення , То об'єднання є формацією.

Доказ здійснюється перевіркою.

Визначення 1.3. Нехай - Непорожній формація. Позначимо через і назавем - Корадікалом групи перетин всіх тих нормальних підгруп з , Для яких .

Очевидно, -Корадікал будь-якої групи є характеристичною підгрупою. -Корадікал групи позначають інакше через і називають -Корадікалом. -Корадікал будемо називати нільпотентні радикалом; зрозумілі також терміни розв'язати корадікал, -Розв'язні корадікал, - Сверхразрешімий корадікал і т.д. -Корадікал (або Абелем корадікал) - це коммутант групи. Так само як і коммутант, -Корадікал зберігається при гомоморфізми.

Лемма 1.2. Нехай - Непорожній формація, . Тоді справедливі наступні твердження:

1)

2) якщо то

3) якщо і , То

Доказ. Нехай . Тоді

Звідси випливає, що . З іншого боку,

звідки отримуємо . З і слід рівність . Твердження 1) доведено.

Нехай - Природний гомоморфізм групи на Очевидно,

звідки випливає рівність . Зокрема, якщо , То . Лемма доведена.

Визначення 1.4. Нехай і - Деякі формації. Якщо , То покладемо Якщо , То позначимо через клас всіх тих груп , Для яких Клас називається твором формацій і .

З визначення 1.4 випливає, що твір формацій є порожньою формацією тоді і тільки тоді, коли принаймні одна з формацій є порожньою. Можна визначити твір декількох формацій як результат послідовного множення. Якщо задано упорядкований набір формацій причому твір вже визначено, то Зокрема, якщо для будь-якого то ми приходимо до поняття ступеня

Поняття твори формацій цікавить з точки зору побудови формацій.

Теорема 1.1. Твір будь-яких двох формацій також є формацією.

Лемма 1.3. Нехай і - Нормальні підгрупи групи . Тоді кожен головний фактор групи -Ізоморфний або деякого головному фактору групи , Або деякого головному фактору групи

Доказ випливає з розгляду -Ізоморфізму

Теорема 1.2. Нехай - Деяка формація, - Клас всіх тих груп, всі головні фактори яких належать Нехай - Об'єднання формацій Тоді - Подформація формації

Доказ. З леми 1.3 виводимо, що - Формація. З теореми 1.1 та леми 1.1 випливає, що клас є формацією. Якщо - Мінімальна нормальна підгрупа групи , То по індукції для деякого натурального . Але тоді або , Або - -Корадікал групи . Так як , То звідси випливає, що , І теорема доведена.

Операції на класах груп

Визначення 2.1. Усяке відображення множини всіх класів груп в себе називається операцією на класах груп.

Операції ми будемо позначати, як правило, прямими великими латинськими буквами. Результат операції , Застосованої до класу позначається через Ступінь операції визначається так: Твір операцій визначається рівністю:

Введемо операції наступним чином:

тоді і тільки тоді, коли вкладається в якості підгрупи в деяку -Групу;

тоді і тільки тоді, коли вкладається в якості нормальної підгрупи в деяку -Групу;

тоді і тільки тоді, коли є гомоморфний чином деякою -Групи;

тоді і тільки тоді, коли совподает з твором деякого кінцевого числа своїх нормальних -Підгруп;

тоді і тільки тоді, коли має нормальні підгрупи такі, що

тоді і тільки тоді, коли є розширенням -Групи за допомогою -Групи;

тоді і тільки тоді, коли має нормальну підгрупу таку, що

Якщо , То замість пишуть Звернемо увагу на той факт, що якщо - Нормальні підгрупи групи , Причому для будь-якого , То Зауважимо ще, що операцію можна визначити за допомогою поняття подпрямого твору. Нагадаємо (див. Каргаполов і Мерзляков [1]), що підгрупа прямого твори називається подпрямим твором груп якщо проекція на збігається з Легко бачити, що тоді і тільки тоді, коли є подпрямое твір деякого кінцевого числа -Груп.

Визначення 2.2. Клас називається замкнутим щодо операції або, більш коротко, - Замкнутим, якщо

Формацію можна визначити тепер як клас груп, який одночасно -Замкнутий і -Замкнутий. -Замкнутий клас згідно Гашюцу [3] називається насиченим. -Замкнутий клас груп називається гомоморфом. Клас груп називається замкнутим щодо підгруп (нормальних підгруп), якщо він -Замкнутий (відповідно -Замкнутий).

Лемма 2.1. . Якщо клас груп містить одиничну групу і -Замкнутий, то

Доказ. Щодо операцій і твердження очевидно. Нехай - Довільний клас груп. Ясно, що Якщо , То в знайдеться нормальна підгрупа така, що . Група має нормальну підгрупу таку, що і Але тоді Так як , То , А значить, Таким чином, , Що і потрібне.

Нехай . Якщо , То має нормальну -Підгрупу таку, що Група має нормальну -Підгрупу таку, що . Так як і , То з -Замкнутості класу випливає, що . Значить, , Тобто . Зворотне включення очевидно.

Лемма 2.2. Для будь-якого класу справедливо наступне твердження:

Доказ. Якщо , То Нехай Якщо , То , А значить, . Таким чином, . Нехай . Тоді має такі нормальні підгрупи , Що Група має такі нормальні підгрупи , Що Так як , То , Що й доводить рівність

Лемма 2.3. Для будь-якого класу має місце включення

Доказ. Якщо , То . Нехай і група є подпрямим твором груп , Де . Розглянемо функцію . Функція є гомоморфізмом групи до групи . Ясно, що

є подпрямое твір груп , Причому . Отже, , І лема доведена.

Лемма 2.4.

У роботі Фішера, Гашюца і Хартлі [1] введено таке поняття, в деякому сенсі двоїсте визначення формації.

Визначення 2.3. Клас груп називається класом фіттінги, якщо він одночасно -Замкнутий і -Замкнутий.

Клас фіттінги ми будемо надалі називати інакше радикальним класом. Зважаючи подвійності (нормальна підгрупа - фактор-група) формацію можна було б назвати корадікальним класом.

Визначення 2.4. Нехай непорожній -Замкнутий клас, який містить 1. Позначимо через і назвемо - Радикалом групи твір всіх її нормальних -Підгруп.

Класи є радикальними. -Радикал групи - Це її підгрупа фіттінги -Радикал позначають інакше через і називають -Радикалом. -Радикал називають вирішуваним радикалом; зрозумілі також терміни -Нільпотентні радикал, -Замкнутий радикал і т.д. Клас всіх -Нільпотентні груп є одночасно радикальним і корадікальним; - Це -Нільпотентні радикал групи .

Надалі ми будемо вивчати формації, замкнуті щодо тих чи інших операцій; зокрема, будуть розглядатися радикальні формації, тобто формації, що є одночасно і класами фіттінги. Зараз ми звернемося до задачі побудова формацій за допомогою операцій

Теорема 2.1. Нехай і - Формації, причому або , Або замкнута відносно нормальних підгруп. Тоді - Формація, що збігається з твором

Визначення 2.5. Нехай - Деяке безліч груп. Нехай - Перетин всіх тих формацій, які містять клас називається формацією, породженої безліччю груп

Зауважимо, що операцію часто позначають інакше через Якщо то пишуть замість , Причому в цьому випадку називають формацією, породженої групою .

Теорема 2.2. Для будь-якого класу має місце рівність:

Доказ. Якщо , То , І твердження вірне. Нехай . Так як , То клас є -Замкнутим. є клас і по лемі 2.2. Використовуючи це і леми 2.3 та 2.4, отримуємо

Останнє означає -Замкнутість класу . Отже, - Формація, яка містить , Так як . Значить, . Зворотне включення очевидно.

Лемма 2.5. Для будь-яких елементів групи виконуються рівності Якщо - Підгрупи групи , То виконуються наступні твердження:

1)

2) для будь-якого гомоморфізму групи ; Зокрема, якщо група з нормалізує і , То нормалізує і

Лемма 2.6 Нехай - Підгрупа нільпотентні групи , Причому . Тоді

Доказ. Для того щоб довести лему, досить встановити, що при будь-якому натуральному виконується включення:

При це вірно, так як , А значить, . Припустимо, що включення (*) справедливо при деякому . Тоді, використовуючи лему 2.5, отримуємо

Тим самим (*) доведено.

Теорема 2.3 (Брайант, Брайс, Хартлі [1]). Якщо - Така підгрупа групи , Що , То

Доказ. Нехай - Нільпотентні нормальна підгрупа групи , А - Така підгрупа з , Що . Доведемо індукцією за , Що . Це вірно, якщо . Тому будемо вважати, що . Розглянемо наступні підгрупи прямого твори

Очевидно, підгрупа нормалізує і . Позначимо через підгрупу групи , Породжену підгрупами . Оскільки проекції на множники прямого твори дорівнюють , То . Зауважимо ще, що , Де нормальна в і нільпотентні як подпрямое твір з .

Нехай - Центр підгрупи , . Легко бачити, що , Причому і поелементно перестановки; аналогічно, і поелементно перестановки. Але тоді , Абелева і нормальна у . Якщо , То , Де , І якщо , То , Що тягне . Отже, . Якщо абелева, то , І ми маємо

Припустимо тепер, що . Ясно, що . Так як

то нільпотентні щаблі . Так як , То ізоморфна і має ступінь , А тому згідно лемі 2.6 її нормальне замикання в має ступінь . Так як нормалізує і , То нормальна в . Отже, , Причому . За індукції

Для групи і її нільпотентні нормальної підгрупи щаблі теорема також вірна по індукції. Тому

Теорема доведена.

Теорема 2.4. (Нейман [1]) Формація, породжена вирішуваною групою, містить лише кінцеве число подформацій.

Доказ. Нехай - Подформація формації . Якщо , То по теоремі 2.3 має місце , Що і потрібне.

Екрани

Недоліком поняття груповому режимі є те, що не завжди ущільнення -Центрального ряду нормальними підгрупами є -Центральним поруч.

Визначення 3.1. Відображення класу всіх груп в безліч класів груп назвемо екраном, якщо для будь-якої групи виконуються наступні умови:

1) - Формація;

2) для будь-якого гомоморфізму групи ;

3) .

З умови 2) випливає, що екран приймає однакове значення на ізоморфних групах, тобто є груповий функцією в сенсі визначення 3.1. Крім того, видно, що якщо - Екран, то кожен f-центральний ряд після видалення повторень може бути ущільнений до f-центрального головного ряду, а значить, клас груп, що володіють f-центральними рядами, совподает з формацією .

Лемма 3.1. Нехай - Екран, - Група операторів групи , - Деяка нормальна -Допустима підгрупа з . Якщо володіє нормальним -Допустимим поруч, фактори якого -Центральні щодо , То один з таких рядів проходить через .

Доказ. Нехай дано ряд, що задовольняє умові леми:

Нехай . Тоді ряд

буде потрібним. У цьому неважко переконатися, використовуючи визначення екрану і -Ізоморфізми:

Лемма 3.2. Справедливі наступні твердження:

1) перетин будь-якого непорожнього безлічі екранів також є екраном;

2) об'єднання будь непорожній ланцюга екранів також є екраном.

Доказ. Перше твердження очевидно. Нехай непорожня множина екранів є ланцюгом, тобто лінійно упорядковано (з відношенням часткової впорядкованості , Введеним у визначенні 3.5). Тоді для будь-якої групи безліч формацій лінійно впорядковано щодо включення, а отже, зважаючи леми 1.1 об'єднання є формацією. Тим самим лема доведена.

Визначення 3.2. Екран назвемо:

1) p-однорідним, якщо він p-постійний і для будь-якої групи і її сіловской p - підгрупи має місце ;

2) однорідним, якщо він p-однорідний для будь-якого простого p;

3) локальним, якщо він є локальною груповий функцією;

4) композиційним, якщо для будь-якої групи має місце , Де пробігає всі крмпозіціонние фактори групи

5) порожнім, якщо для будь непоодинокий групи ;

6) -Екраном, якщо для будь-якої групи .

-Екран при будемо називати одиничним екраном.

Легко бачити, що кожен локальний екран є однорідним, а кожен композиційний екран є примарний постійним.

Приклад 3.1. Нехай і - Непусті формації, причому , А групова функція така, що для кожної нееденічной примарний групи і для будь непрімарной групи . Тоді - Однорідний екран, який не є ні локальним, ні композиційним.

Приклад 3.2. Нехай - Непорожній формація, а групова функція така, що для будь нееденічной групи виконуються умови:

1) , Якщо не має абелевих композиційних чинників;

2) , Якщо має хоча б один Абелем композиційний фактор.

Тоді - Композиційний екран, який не є однорідним.

Зауваження 1. Локальний екран повністю визначається своїми значеннями на примарний підгрупах. Співають, щоб побудувати локальний екран , Достатньо кожному простому числу поставити у відповідність певну формацію , А потім для будь-якої групи покласти , Де пробігає .

Зауваження 2. Щоб побудувати композиційний екран , Потрібно кожній простий групі поставити у відповідність певну формацію , А потім для будь-якої групи покласти , Де пробігає всі композиційні чинники групи .

Лемма 3.3. Справедливі наступні твердження: 1) перетин будь-якого непорожнього безлічі однорідних екранів знову є однорідним екраном;

2) перетин будь-якого непорожнього безлічі локальних екранів знову є локальним екраном;

3) перетин будь-якого непорожнього безлічі композиційних екранів знову є композиційним екраном.

Доказ. Нехай екран є перетином безлічі екранів . Припустимо, що всі екрани є локальними, тобто для будь-яких і має місце рівність:

де пробігає всі примарний підгрупи групи . Тоді

а значить, - Локальний екран.

Лемма 3.4. Об'єднання будь непорожній ланцюга примарний постійних екранів є примарний постійним екраном.

Доказ. Нехай - Деяка ланцюг екранів, - Її об'єднання, . За лемі 3.3 функція є екраном, причому ясно, що примарний постійність тягне примарний постійність екрану . Припустимо, що все є однорідними екранами. Тоді, якщо - Будь-яка група і , То . Отже,

що і доводить однорідність екрану .

Екрани формацій

Кожній груповому режимі відповідає формація .

Лемма 3.5. є непорожній формацією для будь груповому режимі .

Визначення 3.3. Нехай - Деяка формація. Якщо - Такий екран, що , То формація називається ступінчастою формацією, причому в цьому випадку будемо говорити, що

- Екран формації ,

має екран ,

екран визначає формацію ,

визначається екраном .

Формація має одиничний екран. Одинична формація має порожній екран.

Визначення 3.4. Екран назвемо внутрішнім, якщо - Внутрішня групова функція, тобто для будь непоодинокий групи .

Лемма 3.6. Кожна ступінчаста формація має принаймні один внутрішній екран.

Доказ. Нехай - Екран формації . Визначимо функцію наступним чином: для будь-якої групи . Легко бачити, що - Екран, причому . Якщо і - Головний фактор групи , То . Так як клас -Замкнутий, то , А значить, -Центральний в . Таким чином, . Отже, , Тобто - Шуканий внутрішній екран.

Лемма 3.7. Нехай - Екран формації . Тоді є екраном формації .

Доказ. Нехай - Довільний головний фактор групи . Нехай . Так як , То . Значить, , Тобто -Центральний в . Звідси випливає, що .

Назад, якщо , То головний ряд групи буде -Центральним для будь-якого , Тобто . Отже, .

Лемма 3.8. Перетин будь-якого непорожнього безлічі екранів формації знову є екраном формації . Крім того, якщо в є хоча б один внутрішній екран, то - Внутрішній екран.

Доказ. Те, що - Екран формації , Безпосередньо випливає з леми 3.7. Нехай у є внутрішній екран . Тоді для будь-якої групи . Значить, - Внутрішній екран.

Формація з однорідним екраном

Теорема 3.1. (Шеметков) Всяка формація, що має принаймні один однорідний екран, є локальною формацією.

Доказ. Нехай формація має однорідний екран. Зважаючи леми 3.6 формація має внутрішній однорідний екран . Побудуємо локальний екран , Що задовольняє наступній умові: для будь-якого простого . Тоді і, отже, . Припустимо, що формація володіє групами, що не входять в , І виберемо серед всіх таких груп групу , Що має найменший порядок. Тоді є єдиною мінімальної нормальної підгрупою групи . Так як , То для будь-якого має місце

Якщо неабелева, то і . Якщо ж - -Група, то виходить, що -Центральна в . А це суперечить тому, що . Теорема доведена.

Локальна формація

Непоодинокі формація, що має локальний екран, містить деякі непоодинокі примарний групи.

Визначення 4.1. Формація називається локальною, якщо вона має хоча б один локальний екран.

Визначення 4.2. Нехай - Внутрішній локальний екран формації , Що є максимальним елементом множини всіх внутрішніх локальних екранів формації . Тоді називається максимальним внутрішнім локальним екраном формації .

Теорема 4.1. (Картер і Хоукс [1], Шмід [5]). Локальна формація має єдиний максимальний внутрішній локальний екран , Причому задовольняє наступній умові: для будь-якого простого числа p.

Визначення 4.3. Нехай - Локальна формація. Мінімальний елемент множини всіх локальних екранів формації назавем мінімальним локальним екраном формації .

Теорема 4.2. Локальна формація має єдиний мінімальний локальний екран, який є до того ж внутрішнім екраном.

Доказ. Нехай - Множина всіх локальних екранів формації , Причому . Позначимо через перетин безлічі екранів . У безлічі є внутрішній екран, тому - Внутрішній екран формації . За лемі 3.4 екран є локальним. Зважаючи леми 3.8 - Шуканий екран.

Побудова локальних формацій

1. Формація всіх груп. Формація володіє локальним екраном таким, що для будь-якого простого .

2. Формація поодиноких груп. Формація має порожній екран, який, очевидно, локален.

3. Формація нільпотентні -Груп. Нехай - Формація всіх нільпотентні -Груп, - Такий локальний екран, що для будь-якого для будь-якого . Очевидно, - Мінімальний локальний екран формації .

4. Формація -Груп. Нехай - Формація всіх -Груп, - Такий локальний екран, що для будь-якого для будь-якого . Очевидно, - Макcімальний внутрішній локальний екран формації .

5. Формація -Нільпотентні груп. Нехай - Формація всіх -Нільпотентні груп ( - Фіксований просте число), - Такий локальний екран, що для будь-якого простого числа , Відмінного від . Покажемо, що - Екран формації . Головний ряд -Нільпотентні групи -Центральний. Нехай . Потрібно встановити, що -Нільпотентні. Нехай - Мінімальна нормальна підгрупа групи . За індукції -Нільпотентні. Якщо - -Група, то звідси випливає, що і -Нільпотентні. Якщо ж -Група, то , Тобто . Якщо тепер - -Підгрупа з , То з огляду підгрупа -Нільпотентні, а значить, і -Нільпотентні. Тим самим показано, що .

Теорема 5.1. У будь -Групі підгрупа збігається з перетином централізаторів в всіх головних -Факторів групи .

Слідство 5.1.1. У будь-якій групі підгрупа фіттінги збігається з перетином централізаторів в всіх головних чинників групи .

Слідство 5.1.2. Для будь -Вирішуваною групи має місце включення .

Слідство 5.1.3. (Фіттінги). для будь вирішуваною групи .

Слідство 5.1.4. (Чуніхін [3]). Коммутант -Сверхразрешімой групи -Нільпотентен.

6. Формація -Замкнутих груп. Нехай - Формація всіх -Замкнутих груп ( - Деяке фіксоване безліч простих чисел), - Такий локальний екран, що для будь-якого для будь-якого . Покажемо, що - Екран формації .

Очевидно, . Припустимо, що клас не порожній, і виберемо в ньому групу найменшого порядку. Тоді має єдину мінімальну нормальну підгрупу , Причому не є -Групою. Нехай . Так як , То , А значить, . Тому - Абелева -Група. Так як -Замкнута, то й -Замкнута, тобто має нормальну -Підгрупу . Ясно, що . Так як , То . Легко бачити, що , А значить, і група -Замкнута. Тим самим показано, що .

7. Формація -Дісперсівних груп. Нехай - Деяке лінійне впорядкування безлічі всіх простих чисел, - Формація всіх -Дісперсівних груп. Покажемо, що локальна.

Розглянемо всілякі безлічі простих чисел, що володіють наступною властивістю: для всіх . Нехай - Формація всіх -Замкнутих груп. Очевидно, . Так як формації локальні, то по лемі 3.4 формація також є локальною.

8. Формація -Вирішуваних груп. Нехай - Формація всіх -Вирішуваних груп, - Такий локальний екран, що для будь-якого простого . Неважко помітити, що - Максимальний внутрішній локальний екран формації . Зокрема, формація є локальною.

9. Формація -Сверхразрешімих груп. Нехай - Формація всіх -Сверхразрешімих груп. Позначимо через формацію всіх абелевих груп експоненти, що ділить . Побудуємо локальний екран такий, що для будь-якого для будь-якого . Покажемо, що . Ясно, що . Нехай , - Мінімальна нормальна підгрупа групи . За індукції . Якщо - -Група, то -Сверхразрешіма. Хай порядок ділиться на деяке число . Тоді, якщо , То

Звідси випливає, що - -Група.

Лемма5.1. Нехай - Деяка непріводімий абелева група автоморфізмів -Групи і . Тоді - Циклічна група порядку, що поділяє . Крім того, - Найменше натуральне число, що задовольняє порівнянні .

Доказ. Будемо вважати, що - Адитивна абелева група. Тоді можна розглядати як праве векторний простір розмірності над полем з елементів. Нехай - Коммутативное подкольцо кільця , Породжене елементами і . Зважаючи умови є непріводімим правим -Модулем (визначення, пов'язані з -Модулями, див у Кертіса і Райнера [1]). За лемі Шура, - Тіло. Так як коммутативно, то . Легко бачити, що багато всіх ненульових елементів з замкнуто щодо операції множення і, отже, є групою. Тому - Поле. Так як -Модуль неприводим, то для будь-якого ненульового ; Але тоді відображення , Є -Гомоморфізмом -Модуля на . Так як ядро є ідеал поля , То - Ізоморфізм. Отже, . Відомо, що мультиплікативна група кінцевого поля циклічна. Тому циклічна і ділить .