Кінцеві групи з сверхразрешімимі підгрупами парного індексу

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

Заклад освіти

"Гомельський державний університет

імені Франциска Скорини "

математичний факультет

Кафедра алгебри та геометрії

Кінцеві групи з сверхразрешімимі підгрупами парного індексу.

Курсова робота

Виконавець:

студентка групи H.01.01.01 М-31

Зелюткіна В.І.

Науковий керівник: професор,

доктор фізико-математичних наук,

професор кафедри алгебри і геометрії

Монахов В.С.

Гомель 2005

Зміст

Введення

_. _{Кінцеві групи з сверхразрешімимі підгрупами парного індексу}

_. _{Кінцеві групи з сверхразрешімимі підгрупами непрімарного індексу}

_. _{Про нерозв'язних групах з заданими підгрупами непрімарного індексу}

Висновок

Список літератури

_{Введення}

Ця курсова робота представлена у вигляді трьох параграфів. У першому параграфі розглядаються кінцеві групи зі сверхразрешімимі підгрупами парного індексу. Тут представлені:

A. Нехай - Кінцева група і . Тоді і тільки тоді в групі всі підгрупи парного індексу сверхразрешіми, коли виконується одна з наступних тверджень:

1) - 2-група;

2) - Група Фробеніуса, ядро якої - мінімальна нормальна підгрупа порядку , Де - Показник 2 по кожному простому нечетному делителю порядку групи;

3) .

1. - Спадковий гомоморф, тобто кожна підгрупа і кожна факторгруппамі групи також належить .

2. , То --- -Вільна.

3. і не 2-нільпотентні, то сіловская 2-підгрупа в елементарна абелева або типу .

4. - Здійсненне група і , То 2-довжина групи не перевершує 1.

5. - Здійсненне група і . Якщо і сіловская 2-підгрупа з неабелева, то центр збігається з центром .

6. - Здійсненне група і . Тоді і тільки тоді , Коли - Група Фробеніуса, ядро якої - мінімальна нормальна підгрупа порядку , Де - Показник 2 по кожному непарному простому делителю порядку групи .

Лемма 7. і - Проста неабелева група, то .

8. і , То .

9. для .

У другій - кінцеві групи зі сверхразрешімимі підгрупами непрімарного індексу. Тут представлені:

B. нерозв'язна група, у якої все підгрупи непрімарного індексу сверхразрешіми, ізоморфна одній з наступних груп:

1) або , Де - 5-група;

2) , Де - 3-група.

C. - Здійсненне недісперсівная група, у якої все підгрупи непрімарного індексу сверхразрешіми. Тоді біпрімарна, і - Дісперсівная група порядку , Де .

1. кінцева група, в якій кожна підгрупа непрімарного індексу сверхразрешіма. Тоді в будь підгрупі і в будь-який чинник-групі групи кожна підгрупа непрімарного індексу сверхразрешіма.

2. - Кінцева група і - Просте число, подумки ділить порядок . Якщо в немає -Замкнутих підгруп Шмідта, то -Нільпотентні.

3. - Сверхразрешімая група Шмідта з нормальною сіловской -Підгрупою і циклічної сіловской -Підгрупою , То .

4. група дісперсівна по Оре, якщо в ній все підгрупи Шмідта сверхразрешіми.

5. кінцева група зі сверхразрешімимі підгрупами непрімарного індексу не більше ніж тріпрімарна.

6. група порядку , Де і - Прості числа, і не ділить , Нільпотентні.

7. здійсненне група зі сверхразрешімимі підгрупами непрімарного індексу дісперсівна.

8. - Підгрупа примарний індексу кінцевої групи , То .

9. - Група порядку , Де і - Прості числа, і . Пpeдnoлoжім, що кожна підгрупа непрімарного індексу сверхразрешіма. Тоді або -Група, або група Шмідта , Де - Елементарна абелева, або група кватерніонів.

10. - Група порядку , Де і - Прості числа, і . Припустимо, що кожна підгрупа непрімарного індексу сверхразрешіма. Тоді факторгруппамі або -Група, або ізоморфна і ділить .

Третій присвячений нерозв'язним групам із заданими підгрупами непрімарного індексу. Тут представлені:

D. клас замкнутий щодо прямих творів і дозволимо. Якщо в кінцевій нерозв'язною групі немає непоодиноких нормальних -Підгруп, то ізоморфна одній з наступних груп: і - Просте число або 9; або і .

1. кінцева нерозв'язна група належить , То , Де , А і .

2. клас замкнутий щодо прямих творів, і - Нерозв'язна група, що належить . Якщо - Мінімальна нормальна в підгрупа, то або , Або - Проста неабелева група, і , Де .

3. клас дозволимо і - Проста неабелева група з , То:

1) , , і або - Просте число;

2) , і - Просте число;

3) , , ;

4) , або , або відповідно.

У кожному параграфі детально вивчена відповідна тема з теоремами лемами та доказами останніх.

_1. _{Кінцеві групи з сверхразрешімимі підгрупами парного індексу}

Будова кінцевих мінімальних несверхразрешімих груп добре відомо. Зокрема, вони дісперсівни та їх порядки діляться не більше ніж на три різних простих числа. Якщо умова сверхразрешімості накладати не на всі підгрупи, а тільки на деякі, то виникають недісперсівние і навіть нерозв'язні групи. У описані кінцеві групи зі сверхразрешімимі підгрупами непрімарного індексу. У цій замітці досліджується будова кінцевих груп з сверхразрешімимі підгрупами парного індексу. Доводиться наступна

1) - 2-група;

3) .

Тут - Центр групи , - Найбільша нормальна в підгрупа непарного порядку. Через позначимо клас кінцевих груп, у яких все підгрупи парного індексу сверхразрешіми.

1. - Спадковий гомоморф, тобто кожна підгрупа і кожна факторгруппамі групи також належить здійснюється перевіркою.

Зазначимо, що знакопеременная група , Але не міститься в . Тому не є формацією і не є класом фіттінги.

Через позначається симетрична група ступеня 4. Кінцева група називається -Вільною, якщо в ній немає підгруп і таких, що нормальна в і ізоморфна .

2. , То --- -Вільна.

. Припустимо протилежне, тобто припустимо, що існує секція , Ізоморфна . Тоді існує підгрупа індексу 2 в і ізоморфна . Так як несверхразрешіма, то - Несверхразрешімая підгрупа парного в індексу. Протиріччя. Лемма доведена.

Кінцева група називається 2-нільпотентні, якщо в ній існує нормальне доповнення до сіловской 2-підгрупі. Півпрямі твір нормальної підгрупи і підгрупи позначається через .

3. і не 2-нільпотентні, то сіловская 2-підгрупа в елементарна абелева або типу .

Якщо не 2-нільпотентні, то в існує 2-замкнута підгрупа Шмідта , См., с. 192. Так як несверхразрешіма, то індекс в групі непарне, і - Сіловская 2-підгрупа з . З властивостей підгруп Шмідта випливає, що елементарна абелева або типу .

4. - Здійсненне група і , То 2-довжина групи не перевершує 1.

випливає з леми 3 та леми 3.4 з.

5. - Здійсненне група і . Якщо і сіловская 2-підгрупа з неабелева, то центр збігається з центром .

Якщо G - 2-група, то лема справедлива.

Нехай не 2-група. За лемі 4 підгрупи нормальна в . Через позначимо -Холловскую підгрупу з . Так як має парний індекс, то сверхразрешіма і . Тепер міститься в центрі , А оскільки , То - 2-група. Група не є 2-нільпотентні, тому існує 2-замкнута підгрупа Шмідта . Оскільки не 2-нільпотентні, то індекс Непара і - Сіловская 2-підгрупа з . Отже, міститься в і по лемі 2.2 отримуємо, що міститься в . Лемма доведена.

Нехай - Здійсненне група, і . З лем 3,4 і 5 отримуємо, що сіловская 2-підгрупа нормальна в і є елементарною абелевих підгрупою. Так як - Не 2-група, то в існує 2-замкнута підгрупа Шмідта , Де - Сіловская 2-підгрупа з . Підгрупа несверхразрешіма, тому її індекс Непара і сіловская в . З властивостей груп Шмідта випливає, що - Мінімальна нормальна в підгрупа порядку , І - Показник 2 по модулю , Де ділить . Тому - Мінімальна нормальна в підгрупа.

Централизатор містить і нормальний в , Тому і . Значить самоцентралізуема.

Нехай - -Холловская підгрупа в . Тоді - Максимальна в підгрупа і збігається зі своїм нормалізатором. Припустимо, що існує непоодинокий елемент в такий, що не міститься в . Так як і міститься в , То і . Нехай . Тоді , А по теоремі Машка в існує підгрупа така, що і допустима щодо , Тобто . Але індекс підгрупи четен тому ця підгрупа сверхразрешіма і . Тепер централізує всю сіловскую підгрупу , Протиріччя.

Отже, міститься в для всіх непоодиноких елементів з і - Група Фробеніуса з ядром , См., с.630.

Нехай - Довільний непарний дільник порядку групи , І нехай - -Холловская підгрупа з . Так як самоцентралізуема, то не 2-нільпотентні і в існує 2-замкнута підгрупа Шмідта . Оскільки не 2-нільпотентні, то її індекс Непара і - Елементарна абелева підгрупа порядку . З властивостей груп Шмідта випливає, що - Показник 2 по модулю . Необхідність доведена.

Назад, нехай - Група Фробеніуса, ядро якої - Мінімальна нормальна в підгрупа порядку де - Показник 2 по кожному непарному простому делителю порядку . Нехай - Довільна підгрупа з . Тоді або , Або , Або , Або - Група Фробеніуса з ядром . Якщо , То індекс Непара. Якщо або , То 2-нільпотентні. Нехай - Група Фробеніуса та не міститься в . Оскільки не 2-нільпотентні, то в існує 2-замкнута підгрупа Шмідта , Де - Нормальна в сіловская підгрупа порядку , А - Циклічна -Підгрупа. Так як - Елементарна абелева, то з властивостей групи Шмідта випливає, що - Показник 2 по модулю , Значить і , Тобто . Лема доведена повністю.

Слідство. Нехай - Здійсненне група і . Тоді і тільки тоді , Коли кожна підгрупа з парного індексу є 2-підгрупою або групою непарного порядку.

1. Нехай - Елементарна абелева група порядку . У групі її автоморфізмів існує самоцентралізуемая циклічна підгрупа порядку см., с.187. Число 11 є показником 2 по модулю 23 і по модулю 89. Тому в класі існує група Фробеніуса, що задовольняє висновку леми, і не є групою Шмідта.

Лемма 7. і - Проста неабелева група, то .

Якщо сіловская 2-підгрупа в типу то по теоремі з. Але в цій групі є несверхразрешімая підгрупа парного індексу в нормалізатори сіловской 2-підгрупи. За леми 3 сіловская 2-підгрупа в елементарна абелева. У групах Янко і Рі є нерозв'язні підгрупи парного індексу в централізаторів інволюцій.

Розглянемо групу , Де і . Якщо , То - Несверхразрешімая підгрупа парного індексу. Отже, . В сіловская 2-підгрупа має порядок 4 і несверхразрешімие підгрупи ізоморфні знакозмінних груп і .

Розглянемо . Якщо не просте, то містить підгрупу , , Парного індексу, яка несверхразрешіма. Значить, - Просте. Несверхразрешімимі в є тільки нормалізатори сіловскіх 2-підгруп.

З теореми Уолтера випливає, що інших простих груп, крім розглянутих, немає.

Через позначимо розв'язні радикал групи .

8. і , То .

Нехай - Мінімальна нормальна в підгрупа. Тоді . Якщо , То індекс в четен і повинна бути сверхразрешімой. Протиріччя. Тому - Проста підгрупа і ізоморфна або . Тепер непарне, і - Підгрупа з .

Якщо , То , Тому .

Нехай , - Просте. Так як - Циклічна група порядку , То або збігається з , Або G збігається з . Нехай і - Підгрупа з N породжена інволюцією. Оскільки зовнішній автоморфізм групи централізує , См., с.317, то по теоремі Машка в сіловской 2-підгрупі групи є підгрупа індексу 2 в , Допустима щодо . Тепер - - Не 2-нільпотентні підгрупа парного індексу в і не належить .

9. для .

Нехай - Підгрупа парного індексу в групі , Де , І нехай - Центральна інволюція в . Якщо , То - Підгрупа в парного індексу. Так як , То сверхразрешіма, тому й сверхразрешіма.

Нехай не належить . Тоді . Припустимо, що несверхразрешіма. Так як - Підгрупа з , То з докази леми 7 випливає, що ізоморфна або . Але тепер сіловская 2-підгрупа в елементарна абелева, протиріччя.

теореми. Достатність випливає з лем 6-9. Доведемо необхідність. Нехай спочатку - Здійсненне група, і . Якщо - Не 2-група, то легко перевірити, що і по лемі 6 група з пункту 2 теореми.

Нехай нерозв'язна. Якщо , То по лемі 8 теорема вірна. Нехай . Якщо залагодити, то можна вирішити і група , Протиріччя. Отже, підгрупа має парний індекс у групі . Так як сверхразрешіма і , То - 2-група, відмінна від сіловской 2-підгрупи. Нехай - Централизатор підгрупи в групі .

Для кожного непарного простого підгрупа має парний індекс, тому сверхразрешіма і 2-нільпотентні. Тому для всіх непарних та індекс в групі четен або дорівнює 1. Якщо , То в є нормальна підгрупа непарного порядку, протиріччя. Значить, і міститься в центрі .

Якщо , То - Квазіпростая група і НЕ ізоморфна . Так як , То по лемі 8 група ізоморфна або . Тепер по теоремі з, с.646 група ізоморфна або .

Нехай - Власна в підгрупа. Тоді має непарний індекс та . Так як - Власна в підгрупа, то з леми 8 отримуємо, що ізоморфна , A ізоморфна . Протиріччя. Теорема доведена повністю.

_2. _{Кінцеві групи з сверхразрешімимі підгрупами непрімарного індексу}

Завдання С.Н. Чернікова про опис кінцевих груп, у яких підгрупи непрімарного індексу нільпотентні, вирішена в 1975 р. С.С. Левищенко. Кінцеві групи з формаційним підгрупами непрімарних індексів розглядалися А.В. Сидоровим.

У цій статті вивчаються кінцеві групи зі сверхразрешімимі підгрупами непрімарного індексу. Доведені наступні дві теореми.

1) або , Де - 5-група;

2) , Де - 3-група.

Далі, якщо , То

і ділить . Якщо , То

група Шмідта, і Q - елементарна абелева група або група кватерніонів.

Тут - Найбільша нормальна в -Підгрупа; - Підгрупа фіттінги групи ; - Циклічна група порядку .

Здійснюється безпосередній перевіркою.

Група називається -Замкнутою, якщо в ній сіловская -Підгрупа нормальна, і -Нільпотентні, якщо в ній є нормальне доповнення до сіловской -Підгрупі. Властивості груп Шмідта добре відомі.

Якщо - Власна підгрупа в групі , То задовольняє умові леми, по індукції підгрупа -Нільпотентні. Тепер група або -Нільпотентні, або -Замкнута група Шмідта (див., с. 192). Останнє виключається умовою леми.

3. - Сверхразрешімая група Шмідта з нормальною сіловской -Підгрупою і циклічної сіловской -Підгрупою , То .

Усі головні чинники сверхразрешімой групи мають прості порядки. Так як - Головний фактор, то

Визначення дісперсівних груп див, с.251. Кінцева група називається тріпрімарной, якщо її порядок ділиться точно на три різних простих числа.

4. група дісперсівна по Оре, якщо в ній все підгрупи Шмідта сверхразрешіми.

Нехай в кінцевій групі всі підгрупи Шмідта сверхразрешіми і - Найменше просте число, подумки ділить порядок . За лемі 3 в групі немає -Замкнутих підгруп Шмідта, тому -Нільпотентні по лемі 2. За індукції нормальне -Доповнення в дісперсівно по Оре, тому й вся група дісперсівна по Оре.

5. кінцева група зі сверхразрешімимі підгрупами непрімарного індексу не більше ніж тріпрімарна.

Нехай - Недісперсівная група. За лемі 4 в ній є несверхразрешімая підгрупа , Яка є групою Шмідта. Так як біпрімарна, а індекс в групі за умовою леми примари, то група або біпрімарна, або тріпрімарна.

6. група порядку , Де і - Прості числа, і не ділить , Нільпотентні.

Нехай - Розглянута група. Так як сверхразрешіма і , То в є нормальна підгрупа порядку . Тепер ізоморфна підгрупі групи автоморфизмов групи , Яка є циклічною порядку . Оскільки не ділить , То сіловская -Підгрупа з міститься в . Тепер лежить в центрі . Факторгруппамі нільпотентні по індукції, значить, нільпотентні і .

теореми B. Нехай - Кінцева нерозв'язна група, до якої всі підгрупи непрімарного індексу сверхразрешіми. За лемі 2 в групі існує 2-замкнута підгрупа Шмідта , Де - Нормальна сіловская 2-підгрупа з ; Підгрупа - Циклічна. Оскільки не є сверхразрешімой групою, то її індекс примари, тобто , Де - Просте число. Тепер для сіловской -Підгрупи з і є холловской підгрупою в .

По теоремі 2.1 підгрупа містить нормальну в групі підгрупу таку, що факторгруппамі ізоморфна

У факторгруппамі по лемі 1 несверхразрешімимі можуть бути тільки підгрупи примарний індексів. В і є несверхразрешімая підгрупа, ізоморфна знакозмінної групі ступені 4, індексу 14 і 24 відповідно. Тому ці групи виключаються.

В зовнішній автоморфізм нормалізує сіловскую 2-підгрупу, але не централізує її. Тому в є несверхразрешімая підгрупа порядку 24 та індексу , У зв'язку з чим дана група також виключається.

Нехай ізоморфна . Група допускає єдину факторизацию у вигляді групи Шмідта і примарний групи, а саме: (Див., с.73). Тому - 5-група, ізоморфна і має порядок 5.

Припустимо спочатку, що - Неабелева група. Через позначимо центр . За індукції факторгруппамі ізоморфна

Де

Оскільки - Власна в підгрупа, то по індукції

Тепер . Підгрупа характеристичною в , A нормальна в . Тому нормальна в . З простоти випливає, що . Значить, , Де . Л Нехай тепер - Абелева група. Так як підгрупа має індекс 20 в групі , То - Сверхразрешімая група, і по лемі 6 вона нільпотентні. Тому і , Тобто лежить в центрі .

Якщо , То група квазіпроста, і або по, c.646. Але в цьому випадку . Значить, коммутант - Власна в підгрупа. За індукції

Так як

то . За властивості комутантів . Отже,

Випадок розглянуто повністю.

Нехай ізоморфна . Група допускає єдину факторизацию у вигляді груп Шмідта, і примарний групи, а саме: . Тому - 5-група, ізоморфна , І має порядок 5.

Припустимо спочатку, що - Неабелева група, і нехай - Центр . За індукції фактор-група ізоморфна

Оскільки - Власна в підгрупа, то по індукції

Тепер

Підгрупа характеристичною в , А підгрупа нормальна в , Тому нормальна в . Крім того,

Отже, , Де .

Нехай тепер - Абелева група. Так як має індекс 40 в групі , То - Сверхразрешімая група, і по лемі 6 вона нільпотентні. Тому і нормальна в підгрупа порядку, що ділиться на 3. Значить, і лежить в центрі . Тепер

і для інволюції підгрупа нормальна в . Отже,

і факторгруппамі проста.

Якщо , То група квазіпроста, і по, с.646. Але в цьому випадку .

Нехай коммутант - Власна в підгрупа. За індукції , Де ізоморфна або , А

Так як

то . За властивості комутантів , Значить,

Так як , То підгрупа ізоморфна і не ізоморфна .

Залишилося розглянути випадок . Група допускає єдину факторизацию у вигляді підгрупи Шмідта і примарний підгрупи, а саме: . Тому - 3-група, ізоморфна і - Циклічна група порядка 9.

Припустимо спочатку, що - Неабелева група. Через позначимо центр . За індукції факторгруппамі ізоморфна , Де

Оскільки - Власна в підгрупа, то по індукції

Тепер

Підгрупа характеристичною, в а підгрупа нормальна в . Тому нормальна в . З простоти випливає, що . Отже, , Де .

Нехай тепер - Абелева група. Так як підгрупа має індекс 72, то вона сверхразрешіма. Але , Де - Підгрупа порядку 7, а - 3-група. Звідси випливає, що нільпотентні і абелева, а тому , Тобто лежить в центрі .

Якщо , То група квазіпроста, і по, с.646. У цьому випадку .

Значить, коммутант - Власна в підгрупа. За індукції

Де

Так як

За властивості комутантів . Отже,

де .

Теорема 1 доведена.

Перейдемо тепер до вивчення вирішуваних груп, у яких несверхразрешімие підгрупи мають примарний індекси. В силу леми 5 такі недісперсівние групи не більше ніж тріпрімарни.

7. здійсненне група зі сверхразрешімимі підгрупами непрімарного індексу дісперсівна.

Нехай - Здійсненне група порядку , Де - Різні прості числа, і нехай кожна підгрупа непрімарного індексу з сверхразрешіма. Припустимо, що -Нільпотентні. Тоді холловская -Підгрупа нормальна в . Якщо сверхразрешіма, то дісперсівна. Якщо несверхразрешіма, то всі власні підгрупи з мають у групі непрімарние індекси. Тому - Мінімальна несверхразрешімая група. Тепер дісперсівна, тому дісперсівна і .

Якщо група містить нормальну сіловскую -Підгрупу , То , Де - Холловская -Підгрупа. Так як дісперсівна, то дісперсівна і . Протиріччя.

Нехай тепер група не володіє нормальним доповненням до жодної сіловской підгрупі і жодна сіловская підгрупа з не нормальна в . Припустимо, що . Так як НЕ -Нільпотентні, то в є -Замкнута підгрупа Шмідта , Де - Деяка -Група, і або . З мінімальності по лемі 3 виходить, що несверхразрешіма, тому її індекс примари, і , Де - Примарний підгрупа. Зважаючи леми VI.4.7 підгрупу можна вибрати так, що - Холловская -Підгрупа в групі . Якщо нормальна в , То - Нормальна в холловская підгрупа. Так як або сверхразрешіма, або мінімальна несверхразрешімая група, то - Дісперсівна, тому дісперсівна і . Протиріччя.

Отже, не нормальна в і підгрупа НЕ -Нільпотентні. Так як дісперсівна, то нормальна в . За лемі 2 в групі є -Замкнута підгрупа Шмідта . Але циклічна, тому - Просте число і по лемі 3 підгрупи сверхразрешіма і є -Група. Значить, , Де - Сіловская -Підгрупа в , A - Сіловская -Підгрупа.

Розглянемо підгрупу . Вона дісперсівна. Якщо нормальна в , То дісперсівна. Протиріччя. Значить, нормальна в .

Отже, в групі холловскіе підгрупи мають будову: сверхразрешіма з циклічною сіловской -Підгрупою ; з сіловской -Підгрупою Шмідтовське типу; - Підгрупа Шмідта.

У вирішуваною групі є нормальна підгрупа простого індексу. Нехай . Якщо біпрімарна або примарний, то дісперсівна. Нехай тріпрімарна. За індукції дісперсівна, а так як в немає нормальних сіловскіх підгруп, то .

Якщо і , То нільпотентні як підгрупа групи Шмідта і нормальна в . Якщо і , То

також нільпотентні, і нормальна в .

Отже, при в є нормальна сіловская підгрупа. Протиріччя.

Нехай . Якщо , То

нільпотентні і нормальна в . Нехай . Тоді

Тепер нормальна, в . Якщо , То і нормальна в . Якщо , То - Власна підгрупа в групі Шмідта . Тому нільпотентні, і

тобто нормальна в . Протиріччя.

Залишилося розглянути випадок . Так як нормальна в , І циклічна, то в є нормальна підгрупа порядку . Тепер - Абелева група порядку, що поділяє . і у випадку в групі є нормальна підгрупа простого індексу, відмінного від . Але ця ситуація вже розглянута. Якщо , То до фактор-групі застосовна індукція, за якою дісперсівна. Так як - Підгрупа з центру , То і вся група дісперсівна.

Лемма 7 доведена повністю.

8. - Підгрупа примарний індексу кінцевої групи , То .

Нехай - Сіловская -Підгрупа групи , Що містить -Підгрупу . Так як , То . Тепер для будь-якого елементу , Де , , Отримуємо

і - -Група.

Нехай не є сіловской в підгрупою і - Сіловская в -Підгрупа. Тоді - Підгрупа непрімарного індексу для кожної максимальною в підгрупи . За умовою сверхразрешіма, тому її коммутант нільпотентен і

тобто і абелева. Отже, в сіловской -Підгрупі з всі власні підгрупи абелеві.

Так як НЕ -Нільпотентні, то в ній є -Замкнута підгрупа Шмідта . Ця підгрупа несверхразрешіма по лемі 3, тому її індекс примари. Якщо , То сіловская -Підгрупа в циклічна, а так як , То нормальна в . Протиріччя.

Отже,

За лемі 8 підгруп максимальна в .

Якщо - Абелева, то - Елементарна абелева група порядку і - Показник числа по модулю .

Нехай - Неабелева група. Так як сполучена , То всі власні в підгрупи абелеві, тобто - Група Міллера-Морено. Якщо - Неабелева група, порядку та експоненти , То з властивостей груп Шмідта випливає, що ділить . Так як , То , . Але групи експоненти 2 абелеві, протиріччя. Отже, - Група кватерніонів порядку 8 і .

Факторгруппамі - Q-замкнута по лемі 3.2, тому в кожна підгрупа непрімарного індексу нільпотентні. Оскільки , То з випливає, що має простий порядок, а так як не входить до , То

є група Шмідта.

Так як , То група НЕ -Нільпотентні, тому в ній існує -Замкнута підгрупа Шмідта . За лемі 3 підгрупи несверхразрешіма а за умовою леми її індекс примари.

Якщо , То - Сіловская -Підгрупа групи , І нормальна в по лемі 3.2. Тому і - -Група.

Нехай . Тоді - Циклічна сіловская -Підгрупа групи . Будемо вважати, що НЕ -Замкнута, тобто не є сіловской в підгрупою. Для максимальної в підгрупи індекс підгрупи , Біпрімарен, тому сверхразрешіма. Так як , То нормальна в і

Таким чином, і група порядку, .

Тепер факторгруппамі володіє нормальною сіловской -Підгрупою порядку . Отже, , Де - Сіловская -Підгрупа в . Так як нормальна в , А в немає непоодиноких нормальних -Підгруп, то і ізоморфна підгрупі групи автоморфізмів циклічної групи порядку . Тому - Циклічна група порядку і ділить .

теореми C. Нехай - Здійсненне недісперсівная група, у якої все підгрупи непрімарного індексу сверхразрешіми. За лема 5 і 8 група біпрімарна. Нехай , Де і - Прості числа і . Якщо - Примарний група, то з лем 9 і 10 випливає, що - Дісперсівная група порядку .

Нехай - Біпрімарная група. Так як група НЕ -Нільпотентні, то в існує -Замкнута підгрупа Шмідта . Оскільки , То підгрупа несверхразрешіма по лемі 3, тому має в примарний індекс. Якщо , То - Циклічна сіловская -Підгрупа групи , І група має одиничну -Довжину. Тому -Замкнута, а значить -Замкнута і . Для максимальної підгрупи з підгрупа має в непрімарний індекс, тому сверхразрешіма, а оскільки , То нормальна в

З -Замкнутості випливає, що нормальна в , Оскільки - Циклічна підгрупа, то нормальна в . Так як не нормальна в , То , І має порядок .

Нехай тепер . Тоді - Сіловская -Підгрупа групи , І група має одиничну -Довжину по лемі 3.2. Тому -Замкнута, а по лемі 8 Максимальна підгрупа з міститься в . Так як , То за властивостями груп Шмідта

Перше виключається тим, що недісперсівна. Тепер - -Замкнута група, в якій кожна підгрупа непрімарного індексу нільпотентні. Нехай . Так як в є група Шмідта , То ненільпотентна, і не є сіловской в . Значить, підгрупа має в непрімарний індекс, і за умовою теореми сверхразрешіма. Так як нормальна в , То нормальна в , Тому міститься в . Отже, і в . Тепер з випливає, що сіловская -Підгрупа в має простий порядок.

Отже, в будь-якому випадку - Дісперсівная група порядку . Останні два твердження теореми 2 випливають з лем 9 і 10.

Теорема доведена.

_3. _{Про нерозв'язних групах з заданими підгрупами непрімарного індексу}

Нехай - Деякий клас кінцевих груп. Через позначається сукупність мінімально не -Груп, а через - Множина всіх тих кінцевих груп, у яких кожна підгрупа непрімарного індексу належить . Ясно, що спадковий клас і . У цій замітці доводиться наступна

Формації і нільпотентні і сверхразрешімих груп задовольняють умовам теореми. Але клас дозволимо, а для класу теореми виходить опис кінцевих нерозв'язних груп, у яких все підгрупи непрімарного індексу сверхразрешіми.

Усі позначення та визначення загальноприйняті, їх можна знайти в.

1. кінцева нерозв'язна група належить , То , Де , А і .

Якщо , То в якості підгрупи можна вибрати всю групу , А підгрупа буде одиничною. Нехай і нехай - Власна в підгрупа, яка є мінімальної не -Групою. За умовою , - Просте число. Тепер для сіловской -Підгрупи з отримуємо, що . З нерозв'язності випливає, що непрімарна і .

Нехай мінімальна нормальна в підгрупа не належить . Так як , То індекс , - Просте число. Тепер нерозв'язна і є прямим твором ізоморфних простих неабелевих груп: Оскільки замкнутий щодо прямих творів, то не належить та індекс в групі повинен бути примарний. Тому - Проста неабелева група.

Централизатор нормальний в і . Тому , А так як індекс непрімарен, то .

3. клас дозволимо і - Проста неабелева група з , То:

1) , , і або - Просте число;

2) , і - Просте число;

3) , , ;

4) , або , або відповідно.

Тут і - Підгрупи, зафіксовані в лемі 1. , , - Циклічна, елементарна абелева, діедральная групи порядку , - Симетрична груша ступеня 4.

За лемі 1 проста група , Де , А . Спираючись на класифікацію кінцевих простих груп, Гуральник перерахував всі прості групи з підгрупою примарний індексу. Враховуючи разрешимость підгрупи з цього списку, отримуємо твердження нашої леми.

Теореми D. Нехай - Мінімальна нормальна в підгрупа. За лемі 2 підгрупа проста, і

Так як не належить , То існує підгрупа , . Тепер , Де , і . Так як залагодити, то по лемі 3 підгрупи ізоморфна одній з чотирьох серій груп.

Нехай і просте число або 9. Припустимо, що - Власна в підгрупа. Так як - Циклічна група порядку , То ділить . Крім того, індекс в повинен бути примарний, а оскільки

то при просте число повинно ділити , Що неможливо. Для числа і взаємно прості. При група задовольняє умові теореми. Отже, якщо , То або , Або , A .

Нехай і - Просте число, де . Так як , То індекс в дорівнює і або .

Нехай , Де . Оскільки , То підгрупа має в непрімарний індекс. Тому в цьому випадку .

Оскільки випадок розглянуто при , Де , То теорема доведена повністю.

_{Висновок}

У цій роботі вивчені три теми:

1. Кінцеві групи з сверхразрешімимі підгрупами парного індексу.

2. Кінцеві групи з сверхразрешімимі підгрупами непрімарного індексу.

3. Про нерозв'язних групах з заданими підгрупами непрімарного індексу.

Докладно розглянуті теореми і леми, а також їх докази.

_{Список літератури}

1. Шеметков Л.А. Формації кінцевих груп. - М.: Наука, 1978. - 272 С.

2. Монахов BC Кінцеві групи з сверхразрешімимі підгрупами непрімарного індексу. / / В кн.: Нескінченні групи і примикають алгебраїчні структури. Київ 1993.С. 195-209.

3. Мазуров В.Д., Сискін С.А. Про кінцевих групах зі спеціальними сіловскімі 2-підгрупами. / / Матем. нотатки. - 1973. - Т.14, N 2. - С.217-222.

4. Монахов BC Твір кінцевих груп, близьких і нільпотентні. / / В кн.: Кінцеві групи. Мн.: Наука і техніка. - 1975. - С.70-100.

5. Старостін А.І. Про групи Фробеніуса. / / Український матем. ж. - 1971. - Т.23, N 5. - С.629-639.

6. Huppert В. Endliche Gruppen I. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1967. - 793 P.

7. Горенстейн Д. Кінцеві прості групи. Введення в їх класифікацію. - М.: Мир, -1985. - 352 С.

8. Левищенко С.С. Кінцеві групи з нільпотентні підгрупами непрімарного індексу / / Деякі питання теорії груп. - Київ, 1975. - С.173-196.

9. Сидоров А.В. Кінцеві групи з формаційним підгрупами непрімарних індексів / / Питання алгебри. - Мінськ. - 19S7. - Вип.3. - С.48-56.

10. Huppert B. Endliche Gruppen.I. - Berlin: Springer, 19 (37. - 795 S.

11. Шеметков Л.А. Формації кінцевих груп. - М.: Наука, 1978. - 267 с.

12. Монахов BC Твір кінцевих груп, близьких до нільпотентні / / Кінцеві групи. - Мінськ: Наука і техніка, 1975. - С.70-100.

13. Левищенко С.С. Кінцеві групи з нільпотентні підгрупами непрімарного індексу / / В кн.: Деякі питання теорії груп. Київ, 1975. - С. 197-217.

14. Монахов BC Кінцеві групи з сверхразрешімимі підгрупами непрімарного індексу / / В кн.: Нескінченні групи і примикають алгебраїчні структури. Київ. 1993. - С. 195-209.

15. Шеметков Л.А. Формації кінцевих груп. М.: Наука, 1978, 272 с.

16. Guralnick R. Subgroups of prime power index in a simple group. J. Algebra. 1983. - Vol.81. - P.304-311.