Економіко математичні методи

Контрольна робота з курсу «Економіко-математичні методи»

Варіант 0

Завдання 1. Необхідно скласти оптимальний добовий раціон годівлі на стійловий період для дійних корів живою масою 550 кг. Мінімальна потреба корів у кормових одиниць і перетравного протеїну в залежності від добового удою наведена в табл. 2.
Таблиця 2. Добова потреба в поживних речовинах дійних корів живою масою 550 кг
Раціон складається з трьох видів кормів: комбікорму, сіна і силосу. Вміст поживних речовин в одиниці кожного виду корму показано в табл. 3.
Таблиця 3. Вміст поживних речовин в 1 кг корму і собівартість кормів

Показник	Комбікорм	Сіно	Силос
Кормові одиниці, кг	1	0,5	0,2
Перетравний протеїн, г	160	60	30
Собівартість 1 кг корму, руб.	4,2	0,9	0,6

Згідно фізіологічним особливостям тварин у раціоні повинно міститися наступне допустиму кількість концентрованих і грубих кормів (табл. 4)
Таблиця 4. Потреба корів у концентрованих і грубих кормах,% від загальної потреби в корм. од.

№ варіанту	Концентровані корми, не менш	№ варіанту	Грубі корми, не більше
0	26%	0	21%

Скласти раціон годування корів, що має мінімальну собівартість. Потрібно вирішити задачу вручну симплексним методом.
Рішення:
Висловимо всі умови задачі у вигляді системи обмежень і запишемо цільову функцію. Для цього позначимо через х1 - шукане зміст комбікорму в раціоні (кг), через х2 - сіна (кг) і через х3 - силосу (кг).
Складемо систему обмежень:
1) умова за змістом кормових одиниць в раціоні:
1 * х1 +0,5 * х2 +0,2 * х3 ³ 10,3
2) умова за змістом перетравного протеїну в раціоні:
160 * х1 +60 * х2 +30 * х3 ³ 1136
3) умова за змістом концентратів в раціоні (не менше 10,3 кг корм. Од. Х 0,26 = 2,678 кг корм. Од.):
1 * х1 ³ 2,678
4) умова за змістом грубих кормів в раціоні (не менше 10,3 кг корм. Од. Х 0,21 = 2,163 кг корм. Од.):
0,5 * х2 £ 2,163
Цільова функція - мінімум собівартості раціону:
Z = 4,2 * х1 +0,9 * х2 +0,6 * х3 ® min
Перейдемо в системі обмежень від нерівностей до равенствам, для цього введемо додаткові змінні:
1) 1 * х1 +0,5 * х2 +0,2 * х3-х4 = 10,3
2) 160 * х1 +60 * х2 +30 * х3-х5 = 1136
3) 1 * х1-х6 = 2,678
4) 0,5 * х2 + х7 = 2,163
Цільова функція - мінімум собівартості раціону:
Z = 4,2 * х1 +0,9 * х2 +0,6 * х3 +0 * х4 +0 * х5 +0 * х6 +0 * х7 ® min
Додаткові змінні мають такий економічний зміст:
х4 - кількість кормових одиниць понад мінімум, кг
х5 - кількість перетравного протеїну понад мінімуму, м
х6 - кількість концентрату понад мінімум, кг корм. од.
х7 - різниця між максимальною потребою у грубих кормах і фактичним вмістом в раціоні, кг корм. од.
У обмеженнях, в яких немає додаткових змінних з коефіцієнтом «+1», введемо штучні змінні з коефіцієнтом «+1». У цільову функцію введемо їх до оцінок «М», тому що завдання вирішується на мінімум.
1) 1 * х1 +0,5 * х2 +0,2 * х3-х4 + у1 = 10,3
2) 160 * х1 +60 * х2 +30 * х3-х5 + у2 = 1136
3) 1 * х1-х6 + у3 = 2,678
4) 0,5 * х2 + х7 = 2,163
Z = 4,2 * х1 +0,9 * х2 +0,6 * х3 +0 * х4 +0 * х5 +0 * х6 +0 * х7 + М * у1 + М * у2 + М * у3 ® min
F = 1151,141 M-(157,8 M * х1 +60,1 M * х2 +29,6 M * х3-M * х4-M * х5-M * х6) ® 0
Розв'язано рівняння щодо штучних і додаткових змінних з коефіцієнтами «+1». Аналогічно запишемо цільову функцію, представивши її для зручності двома рядками:
1) у1 = 10,3 - (1 * х1 +0,5 * х2 +0,2 * х3-1 * х4)
2) у2 = 1136 - (160 * х1 +60 * х2 +30 * х3-1 * х5)
3) у3 = 2,678 - (1 * х1-1 * х6)
4) х7 = 2,163 - (0,5 * х2)
Z = 0 - (-4,2 * х1-0, 9 * х2-0, 6 * х3) ® min
F = 1151,141 M-(157,8 M * х1 +60,1 M * х2 +29,6 M * х3-M * х4-M * х5-M * х6) ® 0
Заповнимо сімплексною таблицю 1:

i	Базисні перемінні	Вільні члени, bi	x1	x2	x3	x4	x5	x6	bi / aij
1	y1	10,300	1,000	0,500	0,200	-1,000	0,000	0,000	10,300
2	y2	1136,000	160,000	60,000	30,000	0,000	-1,000	0,000	7,100
3	y3	2,678	1,000	0,000	0,000	0,000	0,000	-1,000	2,678
4	x7	2,163	0,000	0,500	0,000	0,000	0,000	0,000	-
m +1	Z	0,000	-4,200	-0,900	-0,600	0,000	0,000	0,000	X
m +2	F	1151,141 M	157,8 M	60,1 M	29,6 M	-M	-M	-M	x

1. Дозволяє стовпець - х1.
2. Роздільна рядок - у3.
3. Заповнюється симплексна таблиця 2.

3.1. Змінна у3 виводиться з базису, мінлива х1 вводиться в базис.
3.2. Розрахунок елемента, що стоїть на місці дозволяє:
1 / 1 = 1
3.3. Розрахунок елементів початкового рядка, що стоїть на місці роздільної:
2,678 / 1 = 2,678; 0 / 1 = 0, 0 / 1 = 0, 0 / 1 = 0, 0 / 1 = 0; -1 / 1 =- 1
157,8 М / (-1) = 157,8 М
3.4. Розрахунок інших елементів таблиці:
Стовпця bi:
10,300-1 * 2,678 = 7,622; 1136,000-160,000 * 2,678 = 707,520; 2,163-0,000 * 2,678 = 2,163;
0 - (-4,200) * 2,678 = 11,248; 1151,141 M-157, 8M * 2,678 = 728,552 М;
Стовпця х2:
0,500-1,000 * 0,000 = 0,5000; 60,000-160,000 * 0,000 = 60,000 і т.д. - Переписується без зміни, тому що при розрахунку потрібно постійно множити на 0,000
без зміни також переписуються стовпці х3, х4, х5, оскільки в цих стовпцях в початковій рядку стоять нульові елементи.
Розрахунок елементів стовпця х6:
0,000-1,000 * (-1,000) = 1,000; 0,000-160,000 * (-1,000) = 160,000;
0,000-0,000 * (-1,000) = 0,000; 0,000 - (-4,200) * (-1,000) =- 4,200;
-М-157, 8M * (-1,000) = 156,8 М.
Аналогічно складаємо сімплексною таблицю 2:

i	Базисні перемінні	Вільні члени, bi	y3	x2	x3	x4	x5	x6	bi / aij
1	y1	7,622	-1,000	0,500	0,200	-1,000	0,000	1,000	7,622
2	y2	707,520	-160,000	60,000	30,000	0,000	-1,000	160,000	4,422
3	x1	2,678	-1,000	0,000	0,000	0,000	0,000	-1,000	-2,678
4	x7	2,163	0,000	0,500	0,000	0,000	0,000	0,000	-
m +1	Z	11,248	-4,200	-0,900	-0,600	0,000	0,000	-4,200	X
m +2	F	728,552 М	-157,8 M	60,1 M	29,6 M	-M	-M	156,8 М	x

Симплексний таблиця 3:

i	Базисні перемінні	Вільні члени, bi	y3	x2	x3	x4	x5	y2	bi / aij
1	y1	-152,378		-159,500	-159,800	-161,000	-160,000		0,955
2	x6	4,422		0,375	0,188	0,000	-0,006		11,792
3	x1	162,678		160,000	160,000	160,000	160,000		1,017
4	x7	2,163		0,500	0,000	0,000	0,000		4,326
m +1	Z	683,248		671,100	671,400	672,000	672,000		X
m +2	F	-24359,448 M		60,1 M	-25058,4 M	-25089M	-25089M		x

Симплексний таблиця 4:

i	Базисні перемінні	Вільні члени, bi	y3	х7	x3	x4	x5	y2	bi / aij
1	y1	-153,460		-319,000	-159,800	-161,000	-160,000		0,960
2	x6	3,341		0,750	0,188	0,000	-0,006		-0,021
3	x1	1,082		320,000	160,000	160,000	160,000		-0,007
4	х2	4,326		1,000	0,000	0,000	0,000		-0,006
m +1	Z	682,167		1342,200	671,400	672,000	672,000		-4,269
m +2	F	-243360,53 М		120,2 М	160,4 M	-25089M	-25089M		x

Симплексний таблиця 5:

i	Базисні перемінні	Вільні члени, bi	y3	х7	у1	x4	x5	y2	bi / aij
1	х3	27,295		-319,000	1,000	-1,200	-25728,000		-
2	x6	-0,986		0,750	-0,001	0,000	-25568,006		-
3	x1	2,678		320,000	-1,001	-25567,800	-25408,000		-
4	х2	4,326		1,000	0,000	0,000	-25568,000		-
m +1	Z	677,841		1342,200	-4,202	-25055,800	-24896,000		х
m +2	F	0м		0м	0M	0M	0M		x

Відповідь: оптимальний добовий раціон годівлі корів на стійловий період складається з 2,678 кг комбікорму, 4,326 кг сіна та 27,295 кг силосу. При цьому його собівартість становить 31,518 руб.

Завдання 2. У господарстві необхідно за час прибирання при заготівлі силосу перевезти 4000т зелено ї маси з п'яти полів (табл. 5) до чотирьох фермам (табл. 6). Відстань перевезення зеленої маси з полів до ферм наведено в табл. 7.
Таблиця 5. Кількість зеленої маси з полів, т

№ варіанту	Поле
	1-е	2-е	Третя	4-е	5-е
0	800	1000	1200	400	600

Таблиця 6. Потреба ферм в зеленій масі, т

№ варіанту	Ферма
	1-а	2-а	Третя	4-а
0	1000	600	800	1600

Таблиця 7. Відстань від полів до ферм, км

Поля	Ферма
	1-а	2-а	Третя	4-а
1-е	5	6	2	2
2-е	9	7	4	6
Третя	7	1	4	5
4-е	5	2	2	4
5-е	6	4	3	4

Скласти такий план перевезень, щоб загальні транспортні витрати були мінімальними. Потрібно вирішити задачу методом потенціалів.
Рішення. Заповнимо розрахункову таблицю і складемо перший опорний план методом «Найкращого» елемента в таблиці. Заповнення таблиці починається з клітини 3,2 с найменшою відстанню, в яку записується поставка 600 т. Потім послідовно заповнюються клітини 4,3; 1,3; 1,4; 5,4; 3,5; 2,1

Поле	Ферма				Наявність зеленої маси, т	Ui
	1-а	2-а	Третя	4-а
1-е	5	6	2 -	2 -		0
			400	400	800
2-е	9 -	7	4 +	6 +		5
	1000				1000
Третя	7 +	1	4	5		3
		600		600	1200
4-е	5	2	2	4		0
			400 -		400
5-е	6	4	3	4 -		2
				600	600
Потреба в зеленій масі, т	1000	600	800	1600	4000	Z
Vj	4	-2	2	2		17400

Переходимо до аналізу першого опорного плану. Значення цільової функції 17400 тонна-кілометрів.
Перевіримо, чи є план оптимальним. Якщо ні - покращимо його.
1. Розрахуємо значення потенціалів:
u1 = 0; v4 = 2-0 = 2; u3 = 5-2 = 3; u5 = 4-2 = 2; v1 = 7-3 = 4; v2 = 1-3 =- 2;
v3 = 2-0 = 2; u2 = 9-4 = 5; u4 = 4-2 = 2
2. Розрахуємо характеристики для вільних клітин:

d	1	2	3	4
1	5	8	0	0
2	0	4	-1	-1
3	0	0	0	0
4	1	4	0	2
5	0	4	-1	0

3. Максимальна за абсолютною величиною негативна характеристика в клітці 2,3, для якої будуємо ланцюг.
4. Проставляємо по кутах ланцюга, починаючи з обраної клітини, знаки «+», «-«. У клітинах зі знаком «-« мінімальна поставка. Її перерозподіляємо по ланцюгу. Там де стоїть знак «+», додаємо, а де «-« - забираємо. Заповнюємо розрахункову таблицю 2.

Поле	Ферма				Наявність зеленої маси, т	Ui
	1-а	2-а	Третя	4-а
1-е	5	6	2	2		0
			44	756	800
2-е	9	7	4	6		5
			756	244	1000
Третя	7	1	4	5		3
	400	600		200	1200
4-е	5	2	2	4		0
	400				400
5-е	6	4	3	4		2
	200			400	600
Потреба в зеленій масі, т	1000	600	800	1600	4000	Z
Vj	6	-2	2	2		15288

Розрахунки ведемо аналогічно. Отримано такі характеристики: d51 =- 2
Перерозподіляємо по ланцюгу постачання 400. Будуємо таблицю 3.

Поле	Ферма				Наявність зеленої маси, т	Ui
	1-а	2-а	Третя	4-а
1-е	5	6	2	2		0
	0	0	44	756	800
2-е	9	7	4	6		3
	0	0	756	244	1000
Третя	7	1	4	5		1
	0	600	0	600	1200
4-е	5	2	2	4		1
	400	0	0	0	400
5-е	6	4	3	4		2
	600	0	0	0	600
Потреба в зеленій масі, т	1000	600	800	1600	4000	Z
Vj	6	0	1	2		15288

Аналіз рішення: За оптимальному плану необхідно здійснити перевезення у відповідності з отриманою таблицею. У цьому випадку мінімальні витрати на перевезення будуть 15288 тонна-кілометрів
Рішення методом лінійного прораммірованія:
1. Перевіримо, перш за все умова рівності ресурсів:
З полів поставляється: 800 +1000 +1200 +400 +600 = 4000т зеленої маси
Потреба ферм в зеленій масі: 1000 +600 +800 +1600 = 4000т, тобто ресурси постачальників рівні ресурсів споживачів.
2. Нехай Xij - кількість тонн зеленої маси, яке потрібно перевезти з i поля на j ферму. З умови задачі, отримуємо обмеження:
х11 + х12 + х13 + х14 = 800
х21 + х22 + х23 + х24 = 1000
х31 + х32 + х33 + х34 = 1200
х41 + х42 + х43 + х44 = 400
х51 + х52 + х53 + х54 = 600
З умови потреб ферм:
х11 + х21 + х31 + х41 + х51 = 1000
х12 + х22 + х32 + х42 + х52 = 600
х13 + х23 + х33 + х43 + х53 = 800
х14 + х24 + х34 + х44 + х54 = 1600
Цільова функція задачі - кількість тонна-кілометрів:
Z = 5 * х11 +6 * х12 +2 * х13 +2 * х14 +
9 * х21 +7 * х22 +4 * х23 +6 * х24 +
7 * х31 +1 * х32 +4 * х33 +5 * х34 +
5 * х41 +2 * х42 +2 * х43 +4 * х44 +
6 * х51 +4 * х52 +3 * х53 +4 * х54 ® min
Вирішимо систему за допомогою таблиці Excel (меню «Сервіс» / «Пошук рішення»). Для цього запишемо всі обмеження і цільову функцію. В результаті виконання програми, отримуємо рішення:

Поле	Ферма				Наявність зеленої маси, т	Сума
	1-а	2-а	Третя	4-а
1-е	5	6	2	2
	0	0	44	756	800	800
2-е	9	7	4	6
	0	0	756	244	1000	1000
Третя	7	1	4	5
	0	600	0	600	1200	1200
4-е	5	2	2	4
	400	0	0	0	400	400
5-е	6	4	3	4
	600	0	0	0	600	600
Потреба в зеленій масі, т	1000	600	800	1600		Z
Сума	1000	600	800	1600		15288

Відповідь: За оптимальному плану необхідно здійснити перевезення у відповідності з отриманою таблицею. У цьому випадку мінімальні витрати на перевезення будуть 15288 тонна-кілометрів.