Введення
Числа багато тисячоліть тому ввійшли в життя та побут людей. Людина їх використовує не тільки за рахунку і обчисленнях, він придумав різні ігри з числами і шаради. Деякі числа наділив надприродними властивостями, наприклад, такі як 13, 666. Серед нескінченної кількості дійсних чисел існують ще особливі, і не тільки для математиків, числа і е. Ці числа мають свої власні позначення, так як їх не можна записати точно за допомогою цифр. Числа 3,14 і 2,7 лише одні з наближених значень чисел π і е. Ці числа є ірраціональними і трансцендентними, для їх точного визначення не вистачило б і трильйона десяткових знаків.
"Математиками вивчені послідовності цифр і і , і з'ясовано, що всі цифри в цьому числі зустрічаються з однаковою частотою". Ці числа можуть заворожити своєю непокорою, особливо . "Цьому числу вдавалося протягом тисячоліть тримати в полоні думки і почуття не тільки математиків і астрономів, але і філософів і художників". Витрачалися роки для обчислення кількох десяткових знаків числа .
Історія числа
"Письмова історія числа починається з єгипетського папірусу, датованого приблизно 2000 роком до нашої ери, але воно було відоме ще стародавнім людям. Число звернуло на себе увагу людей ще в ті часи, коли вони не вміли письмово викладати ні своїх знань, ні своїх переживань, ні своїх спогадів. Відтоді як перші натуральні числа 1,2,3,4, ... стали нерозлучними супутниками людської думки, допомагаючи оцінювати кількості предметів чи їх довжини, площі або обсяги, люди познайомилися з числом . Тоді воно ще не позначалося однієї з букв грецького алфавіту і його роль відігравало число 3. Неважко зрозуміти, чому числа приділяли так багато уваги. Висловлюючи величину відносини між довжиною кола та її діаметром, воно з'явилося у всіх розрахунках пов'язаних з площею кола або довжиною кола ". Але вже в давнину математики досить швидко і не без подиву виявили, що число 3 не зовсім точно виражає те, що тепер відоме як число пі. Безумовно, до такого висновку могли прийти тільки після того, як до ряду натуральних чисел додалися дробові або раціональні числа. Так єгиптяни отримали результат: Надалі Архімед, використовуючи метод верхніх і нижніх наближень, отримує наступні межі числа пі. Індуси в V-VI століттях користувалися числом
, Китайці - числом
"Позначення числа походить від грецького слова ("Коло"). Вперше це позначення використовував в 1706 році англійський математик У. Джонс, але загальноприйнятим воно стало після того, як його (починаючи з 1736 року) став систематично вживати Леонард Ейлер ". В кінці 18 століття І. Ламберт і А. Лежандр встановили, що ірраціональне число, а в 1882 році Ф. Лідерман довів, що воно трансцендентне, тобто не може задовольняти ніякому алгебраическому рівняння з цілими коефіцієнтами.
Протягом усього існування числа , аж до наших днів, велася своєрідна "погоня" за десятковими знаками числа p. Леонардо Фібоначі близько 1220 року визначив три перші точних десяткових знаків числа . У 16 столітті Андріан Антоніс визначив 6 таких знаків. Франсуа Вієт (подібно Архімеда), обчислюючи периметри вписаного і описаного 322216-кутників, отримав 9 точних десяткових знаків. Андріан Ван Ромен таким же способом отримав 15 десяткових знаків, обчислюючи периметри 1073741824-косинців. Лудольф Ван Келен, обчислюючи периметри 32512254720-кутників, отримав 20 точних десяткових знаків. Авраам Шарп одержав 72 точних десяткових знаків числа . У 1844 році З. Дазе обчислює 200 знаків після коми числа , в 1847 році Т. Клаузен одержує 248 знаків, в1853 Ріхтер обчислює 330 знаків, в тому ж 1853 440 знаків отримує З. Дазе і в цьому ж році У. Шенкс одержує 513 знаків. "З появою ЕОМ кількість вірних знаків десяткових знаків різко зростає:
1949 рік - 2037 десяткових знаків (Джон фон Нейман, ENIAC), 1958 рік - 10000 десяткових знаків (Ф. Женю, IBM-704), 1961 рік - 100000 десяткових знаків (Д. Шенкс, IBM-7090), 1973 рік - 10000000 десяткових знаків (Ж. Гійу, М. Буйе, CDC-7600), 1986 рік - 29360000 десяткових знаків (Д. Бейлі, Cray-2), 1987 рік - 134 217 000 десяткових знаків (Я. Канада, NEC SX2), 1989 рік - 1011196691 десяткових знаків (Д. Гудновскі і Г. Гудновскі, Cray-2 + IBM-3040) "
При обчисленні вірних десяткових знаків числа користувалися різними способами, деякі, як і Архімед обчислювали периметри вписаних і описаних n-кутників, але пізніше стали вдаватися до допомоги рядів.
Так Лейбніц обчислював за допомогою ряду:
Шарп застосував ряд:
Л. Ейлер за допомогою ряду:
З. Дазе використовував ряд.
Джон Валліс (1616-1703) знайшов нескінченне твір, за допомогою якого можна обчислити число пі:
Визначення числа
Теорема: Відношення довжини кола до її діаметра однаково для всіх кіл.
Доказ.
Позначимо через L - довжину окружності, через d - її діаметр, то формулювання теореми запишеться наступним чином: Розглянемо правильний n-кутник, вписаний в коло радіуса r із стороною а n і периметром Р n, то
Доведемо, що відношення однаково для всіх кіл. Розглянемо дві довільні кола з вписаними в них правильними n-косинцями. З подоби трикутників АОВ і А 1 О 1 В 1 випливає, що
т.к. кола брали довільні, то це рівність буде справедливо для всіх кіл. Отже,
для всіх кіл, отже
Це відношення довжини кола до її діаметра прийнято позначати грецькою буквою "".
Визначення: Числом називається відношення довжини кола до її діаметра.
Історія числа е
Число з'явилося порівняно недавно. Його іноді називають "неперово числом" на честь винахідника логарифмів шотландського математика Джона Непера (1550-1617), однак необгрунтовано, оскільки немає твердих підстав для твердження, що Непер мав про число е чітке уявлення "[10]. Вперше позначення" е " ввів Леонард Ейлер (1707-1783). Він також обчислив точні 23 десяткових знака цього числа, використавши уявлення числа е як нескінченного числового ряду:
отримане Данилом Бернулі (1700-1782). "У 1873 році Ерміта довів трансцендентність числа е. Л. Ейлер отримав чудовий результат, що зв'язує числа е, , і
:
. Йому належить і заслуга визначення функції
для комплексних значень z, що поклало початок математичного аналізу в комплексній області - теорії функцій комплексного змінного "[10]. Ейлером були отримані наступні формули:
Розглядають логарифми по підставі е, звані натуральними і позначаються Lnx.
Способи визначення
Число e може бути визначено декількома способами.
Через межа:
(Другий чудовий межа).
Як сума ряду:
або
.
Як єдине число a, для якого виконується
Як єдине позитивне число a, для якого вірно
Властивості
Дана властивість грає важливу роль в рішенні диференціальних рівнянь. Так, наприклад, єдиним рішенням диференціального рівняння
є функція
, Де c - довільна константа.
Число e ірраціональне і навіть трансцендентне. Це перше число, яке не було виведено як трансцендентне спеціально, його трансцендентність була доведена тільки в 1873 році Шарлем Ерміта. Передбачається, що e - нормальне число, то є ймовірність появи різних цифр у його записи однакова.
, Див формула Ейлера, зокрема
Ще одна формула, що зв'язує числа е і π, т. зв. "Інтеграл Пуассона" або "інтеграл Гаусса"
Для будь-якого комплексного числа z вірні такі рівності:
Число e розкладається в нескінченну ланцюгову дріб наступним чином:
, Тобто
Подання Каталана:
Історія
Дане число іноді називають неперово на честь шотландського вченого Непера, автора роботи "Опис дивовижної таблиці логарифмів" (1614 рік). Однак ця назва не зовсім коректно, оскільки у нього логарифм числа x був рівний
.
Вперше константа негласно присутня в додатку до перекладу на англійську мову вищезгаданої роботи Непера, опублікованому в 1618 році. Негласно, бо там міститься тільки таблиця натуральних логарифмів, визначених з кінематичних міркувань, сама ж константа не присутній (див.: Непер).
Передбачається, що автором таблиці був англійський математик Отред.
Саму ж константу вперше обчислив швейцарський математик Бернуллі при аналізі наступного межі:
Перше відоме використання цієї константи, де вона позначалася буквою b, зустрічається в листах Лейбніца Гюйгенсу, 1690-1691 роки.
Букву e почав використовувати Ейлер в 1727 році, а першою публікацією з цією буквою була його робота "Механіка, або Наука про рух, викладена аналітично" 1736. Відповідно, e зазвичай називають числом Ейлера. Хоча згодом деякі учені використовували букву c, буква e застосовувалася частіше і в наші дні є стандартним позначенням.
Чому була обрана саме буква e, точно невідомо. Можливо, це пов'язано з тим, що з неї починається слово exponential ("показовий", "експонентний"). Інше припущення полягає в тому, що букви a, b, c і d вже досить широко використовувалися в інших цілях, і e була першою "вільної" буквою. Неправдоподібно припущення, що Ейлер вибрав e як першу букву в свого прізвища (нім. Euler) [джерело не вказано 334 дні].
Мнемоніка
Приблизне значення зашифровано в: "Ми пурхали і блищали, але застрягли в перевалі; не визнали наші крали авторалі" (потрібно виписати поспіль цифри, що виражають кількість літер у словах наступного віршика, і поставити кому після першого знака)
Запам'ятати як 2,7 і повторювані 18, 28, 18, 28.
Мнемонічне правило: два і сім, далі два рази рік народження Льва Толстого (1828), потім кути рівнобедреного прямокутного трикутника (45, 90 і 45 градусів). Віршована мнемофраза, що ілюструє частина цього правила: "Експоненту пам'ятати спосіб є простий: дві і сім десятих, двічі Лев Толстой"
Цифри 45, 90 і 45 можна запам'ятовувати як "рік перемоги над фашистською Німеччиною, потім двічі цей рік і знову він"
Правила e зв'язується з президентом США Ендрю Джексоном: 2 - стільки разів обирався, 7 - він був сьомим президентом США, 1828 - рік його обрання, повторюється двічі, оскільки Джексон двічі обирався. Потім - знову-таки рівнобедрений прямокутний трикутник.
З точністю до трьох знаків після коми через "число диявола": потрібно розділити 666 на число, складене з цифр 6 - 4, 6 - 2, 6 - 1 (три шістки, з яких у зворотному порядку видаляються три перші ступені двійки):
.
Запам'ятовування e як .
Грубе (з точністю до 0,001), але гарне наближення вважає e рівним . Зовсім грубе (з точністю 0,01) наближення дається виразом
.
"Правило Боїнга": дає непогану точність 0,0005.
Віршики:
Дві та сім, вісімнадцять,
Двадцять вісім, вісімнадцять,
Двадцять вісім, сорок п'ять,
Дев'яносто, сорок п'ять.
Доказ ірраціональності
Припустимо, що раціонально. Тоді
, Де
- Ціле, а
- Натуральне і більше 1, тому
- Не ціле. Отже
Множачи обидві частини рівняння на , Отримуємо
Переносимо в ліву частину:
Всі складові правої частини цілі, отже:
- Ціле
Але з іншого боку
Отримуємо протиріччя.
Цікаві факти
У IPO компанії Google в 2004 році було оголошено про намір компанії збільшити свій прибуток на 2718281828 доларів. Заявлене число являє собою перші 10 цифр відомої математичної константи.
У мовах програмування символу e в експоненційної запису чисел відповідає число 10, а не Ейлерови число. Це пов'язано з історією створення.
Посилання:
Історія числа e (англ.)
e for 2.71828 ... (англ.) (історія та правило Джексона)
Горобець, Борис Соломонович. Світові константи в основних законах фізики та фізіології / / Наука і життя. - 2004. - № 2. - Стаття з прикладами фізичного змісту констант π і e.
Числа з власними іменами
Якщо ми згадаємо, що число е = 2,718281828., То побачимо, що заснування логарифмів Бюрги відрізняється від числа е тільки починаючи з четвертого десяткового знака. Йоганн Кеплер, який розумів величезне значення таблиць Бюрги для обчислень, наполегливо рекомендував йому опублікувати свій метод до загального відома, але Бюрги зволікав, і вийшло так, що у пресі раніше з'явилися таблиці логарифмів іншого автора. Таблиці Бюрги були видані в 1620 р., а на 6 років раніше (в 1614 р.) Джон Непер опублікував складені ним таблиці під назвою "Опис дивовижної таблиці логарифмів". Шотландський барон Джон Непер (1550-1617) теж не був фахівцем-математиком. Він ділив свої інтереси між багатьма галузями знання, причому головним чином займався питаннями, які мали безпосереднє додаток до життя. Так, він винайшов кілька сільськогосподарських машин, а також деякі військові прилади. В області математики Непер цікавився головним чином питаннями обчислювального характеру, відшукуючи способи для полегшення рахунку. Так, у творі "Рабдологія", виданому в рік його смерті, він описує свій прилад, який у наш час носить назву "неперово палички" і служить гарним методичним посібником у школі. Цей прилад складається з десяти основних паличок, на яких поміщена таблиця множення. Ліва паличка нерухома, а всі інші можуть змінювати свої місця. У кожному квадратику таблиці проведені діагоналі, причому в нижній частині квадратика поміщаються одиниці приватних творів таблиці множення, а у верхній - десятки. За допомогою приладу Непера можна виробляти множення і ділення чисел, причому множення замінюється складанням, а поділ відніманням. Якщо, наприклад, потрібно помножити число 684 на 4, то для цього ставимо поруч палички, мають зверху числа 6, 8 і 4, і звертаємо увагу на клітини цих паличок, які стоять в одному рядку з 4.
Список літератури
1. Бохан К.А. та ін Курс математичного аналізу т. II. - М.: Просвещение 1972.
2. Кимпан Ф. Історія числа . - М.: Наука, Гл. ред. фіз.-мат. лит., 1987.
3. Райк А.Є. Нариси з історії математики в давнину. - Саранськ, 1987.
4. Фіхтенгольц Г.М. Основи математичного аналізу т. I, II. - М.: Державне видавництво техніко-теоретичної літератури, 1956.
5. Болтянский В. Експонента. / / Квант, 1984 № 3.
6. Звонкін А. Що таке / / Квант, 1978 № 11.
7. Кузьмін Є., Ширшов А. Про числі е. / / Квант, 1979 № 8.
8. Калейдоскоп Число . / / Квант, 1996 № 6.