Перевірка:
Приклад 1.3. Перевести десяткове число А10=4629 у вісімкову систему числення (р2=8).
Розв’язання:
Відповідь: А8=11025.
Перевірка:
Відповімо, що для виконання останньої перевірки доцільно використовувати схему Горнера. У цьому випадку десяткове число представляється у вигляді
(1.20)Вираз (1.20) приводить до наступної схеми обчислень. Необхідно взяти старший розряд bk, помножити його па 8 і додати до результату bk-1. Цей продовження триває циклічно до додатка до b0). Перевіримо цей метод на прикладі числа 110258, що призводить до наступної послідовності дій:
Приклад 1.4 Перевести десяткове число А=53241 в шістнадцяткову систему числення (р2=16).
Розв’язок:
Відповідь: оскільки 1510=F16, а 1210=С16, то число А10 має вигляд А10=CFF9.
Для перевірки паралельності результату використаємо вираз (1.21) замінивши в ньому 8 на 16.
Таким чином, 5324110=CFF916.
Перевід правильних дробів. Завдання формулюється по аналогії з попереднім завданням. Нехай число А в системі р1 має вигляд
Це число необхідно представити в системі з основою р2, використовуючи коефіцієнти
Таким чином, необхідно знайти представлення
(1.21)Перепишемо вираз (1.21) за схемою Горнера і отримаємо:
(1.22)З виразу (1.22) слідує метод переводу. Помножимо Ар2 на число р2 (за правилами системи р2). При цьому отримаємо результат
(1.23)де
Отже, ціла частина числа (1.23) являє собою коефіцієнт 
. Помножимо дріб із (1.23) на число р2 і отримаємо
Таким чином, отриманий коефіцієнт
. Цей процес продовжується до тих пір, поки не будуть отримані всі коефіцієнти з (1.21).Трудність переводу полягає в тому, що результат перекладу може бути нескінченним. Тому переклад припиняється або при рівності дробової частини залишку виду (1.23) нулю, або при отриманні дробу з заданим числом розрядів. Природно це число визначається розрядом сітки ЕОМ.
Приклад 1.5. Перекласти А10= 0.6875 в двійкову систему числення. Рішення:
0,6875 х 2 = 1,3750, тобто
= 1;0,3750 x2 = 0,7500, тобто
= 0;0,7500 х 2 = 1,5000, тобто
= 1;0,5000 х 2 = 1.0000, тобто
= 1.Так як дробова частина результат четвертого кроку обчислень дорівнює нулю, то процес закінчено. Відповідь: 0,687510 = 0,10112.
Приклад 1.6. Перекласти А2= 0.1101 в десяткову систему числення.
Рішення:
0,1101 x1010 = 1000,0010, тобто
= 8;0,0010 x1010 = 0001,0100, тобто
= 1;0,0100 x1010 = 0010,1000, тобто
= 2;0,1000 x1010 = 0101,0000, то єсть
= 5.Так як дрібна частина результат четвертого кроку множення на число 102 = 1010 дорівнює нулю, то процес закінчено.
Відповідь: 0,11012 = 0,812510.
Перевірка: Перевірку можна виконати так, як у прикладі 1.5. Проте можна поступити наступним чином. У десятковій системі число 1 101 дорівнює 13, тобто дріб можна знайти як 13:16 0,8125. Аналогічно, в прімсрс1.5 перевірку можна провести, поділивши 11 (десятковий еквівалент числа 1011) на 16.
Приклад 1.7. Перекласти десяткову дріб А10 = 0,12 у вісімкову систему числення. Рішення:
0,12 х 8 = 0,96, тобто
= 0;0,96 x8 = 7,68, тобто
= 7;0.68 х 8 = 5,44, тобто
= 5;0,44 х 8 = 3,52, тобто
= 3.Відповідь: При довжині розрядної сітки чотири, маємо наступна відповідність 0,1210 = 0,07538, тобто є похибка і подання вихідної дробу, обумовлена як 0,0000418.
Приклад 1.8. Перевести А10 = 0,12 в шістнадцяткову систему з точністю до чотирьох розрядів. Рішення:
0,12 x16 = 1,92. тобто
= 1;0,92 х 16 = 14,72, тобто
=Е;0,72 х 16 = 1 1,52, тобто
= В;0,52 х 16 = 8,32, тобто
= 8.Відповідь: При заданій точності 0,1210 = 0,1ЕВ816.
Перевірку правильності перекладу в двох останніх прикладах ми залишаємо читачеві.
При перекладі змішаних дробів їх ціла частина перекладається методом розподілу, а старша - множення на основу р2.
Приклад 1.5. Перекласти десяткове число А10 = 28,6875 в двійкову систему числення.
Рішення: З прикладу 1.1 можемо отримати цілу частину (11100), з прикладу 1.5 маємо дробову частину (0,101 1).
Відповідь: 28,687510 = 11100,10112.
Використання проміжної системи числення. Цей підхід використовується при перекладі з двійкової системи в десяткову систему, і навпаки. Як проміжний системи використовуються вісімкова (в даний час все рідше) і шістнадцядцяткова система. Як видно з табл. 1.1, одна вісімкова цифра замінює три двійкових (тріаду), а одна шістнадцяткова - чотири (тетраду). З цієї причини числа у восьми-і шістнадцятковій системі в три і чотири рази коротше відповідно, ніж у двійковій.
В даний час 16-ричная система широко використовується для представлення чисел в комп'ютерах, а також при роздруківці вмісту пам'яті ЕОМ. Як правило, роздруківка частини пам'яті ЕОМ (соге-с1ішр) використовується при діагностиці несправностей, які неможливо знайти автоматизованими методами. Проте бувають ситуації, коли і для людини двійкова система буває більш інформативна, ніж інші.
Наприклад, нехай якийсь хімічний процес включає використання трьох нагрівачів (Н1, Н2, НЗ), трьох засувок (VI, VI, УЗ) і двох насосів (Р1, Р2.РЗ). Для управління цими пристроями використовується байт інформації. Якщо певний розряд цього байта дорівнює нулю, то відповідний йому агрегат вимкнений. Якщо цей розряд дорівнює одиниці, то - включений. Нехай розряди цього байта відповідають пристроям у наступному порядку H1, Н2, НЗ, VI, V2, V3, P1, Р2. При цьому байт 10110101 однозначно говорить про стан апаратури. При цьому інші представлення цього числа, а саме 2688, C5l6 або 9310 не дають нічого.
При перекладі числа А8 в А2 необхідно відобразити кожну вісімкову цифру у вигляді тріади. Наприклад, А8 = 3768 відповідає А2 = 111111102 (дивись табл. 1.1). При зворотному перекладі двійкове число розбивається на тріади, починаючи з правого крайнього розряду. Потім кожна тріада замінюється її восьмеричним еквівалентом. Наприклад, .А2 = 110110102 розбивається на 3 тріади 11 011 010 чому відповідає число A8 = 3328.
При перекладі числа А16 в А2 необхідно відобразити кожну 16-річную цифру у вигляді тетради. Наприклад, А16= А2В16 відповідає коду А2 = 1010001010112. При зворотному перекладі двійкове число починається з самого правого розряду, розбивається на тетради. Далі кожна тетрада замінюється своїм 16-кодовим еквівалентом. Наприклад, число А2=10101101101000112 розбивається на чотири тетради 1010 10111010 1011, які перетворюються в А16= ADA316.
1.4. Різновиди двійкових систем
Двійкова система може використовуватися для представлення десяткових чисел, причому кожна десяткова цифра кодується за допомогою чотирьох двійкових розрядів. Такі системи називаються двійково-десятковими (аналітичний варіант BCD - binary-coded decimal). Такий підхід спрощує завдання переведення чисел з десяткової системи в двійкову систему і назад. Однак, з теорії двійкової арифметики відомо, що для представлення однієї десяткової цифри досить близько 3,3 біт. Таким чином, використання двійково-десяткового арифметики веде до великої розрядності чисел, ніж при двійкової арифметики. Це в свою чергу збільшує вимоги до місткості пам'яті, що зберігає числа.
Двійково-десяткова система є прикладом кодування позиційної системи, в якій цифри однієї системи числення кодуються цифрами іншої системи. Розрізняють два підходи до кодування - з природними розрядами і з штучними вагами розрядів. Прикладом першої системи є BCD система з вагами розрядів 8 - 4 - 2 - 1, тобто
. Кодування десяткових цифр і системі 8-4 - 2-1 наведено в табл. 1.6. Таблиця 1.6
Представлення десяткових цифр
| 10 цифра | Код 8-4-2- 1 | Код2-4-2-1 | Код 8-4-2-1 +3 |
| 0 | 0000 | 0000 | 0011 |
| 1 | 0001 | 0001 | 0100 |
| | 0010 | 0010 | 0101 |
| 3 | 0011 | 0011 | 0110 |
| 4 | 0100 | 1010 | 01 11 |
| 5 | 0101 | 0101 | 1000 |
| 6 | 01 10 | 1100 | 1001 |
| 7 | 01 11 | 1 101 | 1010 |
| 8 | 1000 | 1110 | 101! |
| 9 | 1001 | 1111 | 1100 |
Системі 8 - 4 - 2 - 1 притаманний суттєвий недолік, пов'язаний з виконанням арифметичних операцій. Наприклад, 5 +7 = 12, то є перенос і результат в даному розряді дорівнює 2. При складанні ж чисел 0101 і 0111 виходить такий результат: 1100, то рівне 1210. При цьому перенесення відсутнє і його необхідно створити штучним чином, що ускладнює апаратуру суматора. Перевагою коду 8-4 - 2 - 1 є простота подання інформації.
Цього недоліку позбавлена система з вагами 2 - 4 - 2 - 1, яка належить до системи з штучними вагами розрядів. Представлення чисел у цій системі дано в табл. 1.6. Так число 146810 представляється у вигляді такої послідовності біт: 0001 0100 1100 1110. У цій системі складання 5 + 7=0101 + 1101 = 10010, тобто результат дорівнює 2. Це пов'язано з тим, що система 2-4-2-1 є самодоповняюча. Код називається самодоповняльним, якщо з рівності a10+b10 = 9 слідує рівність a2+b2 = 1111. Наприклад, 5+4 = 9, а 0101 1010 = 1111. Це спрощує проблему формування переносу між розрядами, однак пов'язана з труднощами перекладу.
Матеріал, розглянутий у цій главі, дозволяє привести класифікацію систем числення (Рисунок 1.4).
Рисунок 1.4 Класифікація систем числення
В [2] наведені корисні навички поводження з двійковими числами, які повинен вміти фахівець в області інформатики. Це такі прийоми:
1. Число 1000 ... 0 =
, де k- число нулів у числі. Необхідно знати на пам'ять хоча б перші дванадцять ступенів двійки (табл. 1.5).2. Число 11 ... 11
-1, де к - число одиниць у записі числа.3. Необхідно знати на пам'ять десяткові значення двійкових чисел від 0 до 31. Надалі будемо їх називати «малими числами».
Знаючи на пам'ять малі числа, легко перевірити правильність операції додавання (віднімання) двійкових чисел, якщо їх можна розбити на групи, не пов'язані між собою переносами (позичками).
1 2 3