a)
б) 
в) 
Рис. 1.3. Виконання додавання (а), віднімання (6) і множення (в) для
Для перевірки правильності виконання цих операцій можна виконати перевірку в десятковій арифметиці, використовуючи формулу (1.9) і правила десяткової арифметики:
Розрахунки (1.10) підтверджують правильність результатів, наведених па Рисунок 1.3.
У повсякденному житті люди використовують в основному десяткову арифметику. При цьому 60 використовується для представлення часу і кутів. Знаходить застосування і 12 система. Так, на дюжини рахують посуд і олівці, а для числа 12x12 існує спеціальну назву - «грос». Проте в ЕОМ всі обчислення проводяться на підставі двійкової системи, до розгляду якої ми переходимо.
1.2. Двійкова система числення
У двійковій системі числення кожен розряд тисне приймати тільки одне з двох значень - «0» або «1». Ця одиниця інформації називається біт (від англійського «bit» - binary digit). Інформація в пам'яті ЕОМ зберігається у вигляді груп бітів, званих словами. Число біт у слові різних ЕОМ різні. Наприклад, в деяких мікроконтроллерах слово складається з чотирьох біт, у випадку ЕОМ Сгау-1 слово включає 64 біта, а в графічних процесорах - 128 біт. Група з 8 біт називається байт (byte). Команди ЕОМ і слова інформації кратні байту, тобто можуть бути довжиною 2, 4 і 8 байт. Двійкові слова можуть представляти наступну інформацію.
1. Команди ЕОМ. Команда може бути представлена у вигляді одного слова. Зв'язок між бітової рядком і операцією, що виконується ЕОМ, визначається розробником комп'ютера. Зазначимо, що команди можуть представлятися та кількома словами, що зберігаються в пам'яті ЕОМ.
2. Числа. Слова інформації можуть представляти числа, задані в деякому форматі. Наприклад, у форматі BCD 001001102 відповідає десятковому числу 26. Якщо також послідовність біт визначає ціле двійкове число, то воно відповідає числу 3810. Тут можна провести аналогію зі значенням слів у різних мовах. Наприклад, для англійців слово «gift» означає «подарунок», а для німця - «отрута».
3. Символи. У ЕОМ часто використовують операції, пов'язані з введенням або друком текстів. Відзначимо, що і програми ЕОМ вводяться у вигляді тексту. Для представлення літер, цифр і спеціальних символів (+, -, !, ?, і т.д.) використовуються двійкові коди, тому що ЕОМ може обробляти тільки їх. На практиці найбільш часто використовується семирозрядний код, званий ASCII (American Standard Code for Information Interchange).
Цей код включає 7 біт, тобто дозволяє представити 27-128 символів. З цих 128 символів 96 використовуються для друку (включаючи малі та великі символи). Решта 32 символи використовуються для символів, які не друкуються, але мають деяке спеціальне призначення, наприклад пробіл або повернення каретки друкарської машинки.
Наприклад, букві «А» відповідає код 1000001. Цей код вводиться в ЕОМ при натисканні на клавішу «А» у верхньому регістрі. Для друку літери «А» на принтер посилається код 1000001. Аналогічно, десяткові цифри від 0 до 9 представляються такими самими цифрами від 0 до 9. Таким чином, при натисканні на клавішу «2» на клавіатурі відбувається введення бітової рядка 00110010 в пам'ять ЕОМ. Очевидно, при друці символів необхідно їх коди перетворити у відповідні графічні зображення.
Для зображення символів з точками та штрихами 8-бітовий код ISO 8859-1 (Latine code). Для роботи з тисячами японських і китайських ієрогліфів використовуються Unicode, має 16 біт. Перші 256 символів цього коду відповідають ASCII. Відзначимо, що Unicode є стандартом мови JAVA.
4. Графічні елементи. Різні малюнки представляються у пам'яті ЕОМ у вигляді сукупності двійкових кодів. Існують різноманітні методи представлення графічної інформації. Наприклад, малюнок може бути параметризований і зберігатися в пам'яті як набір команд, які можуть бути використані для відновлення малюнка. У цьому випадку малюнок представляється в термінах ліній, дуг і поліномів, а також їх розташування в малюнку. Щоб надрукувати або показати малюнок на дисплеї, він відновлюється на основі своїх параметрів.
Однак більш складні малюнки представляються у вигляді бітового шаблону (bit-map). Будь-який малюнок може бути перетворений в квадратний масив елементарних зображень, званих пікселями («pixel» від англ. «Picture element»). Піксель є аналогом біта, але використовується для представлення найбільш простий інформації, з якої складається малюнок. Однак на відміну від біта піксель може мати атрибути, такі як, наприклад, колір.
Щоб збагнути складність представлення графічної інформації, розглянемо малюнок формату А4 (210x297мм). Для чіткості зображення необхідно, щоб в 1мм було близько 12 пікселів. Таким чином, один квадратний міліметр містить 12x12 = 144 пікселів, а вся картинка містить 210x297x144 = 8951040 пікселів. Це число визначає обсяг пам'яті 1 Мбайт для зберігання монохромної (чорно-білої) картинки. Якщо ж малюнок має колір, а кожен колір має 256 відтінків, то для зберігання такого малюнка потрібно 8 Мбайт. Це пояснює високу ціну графічних комп'ютерів. Відзначимо, що існують методи стиснення інформації, що представляє малюнок.
Ціле число в двійковій системі представляється у вигляді:
(1.11)Правильна дріб має наступний вигляд:
(1.12) Змішаний дріб представляється наступною загальною формулою:
(1.13)Вибір двійкової системи для ЕОМ був зроблений виходячи з аналізу таких чинників:
1. Наявність фізичних елементів, здатних зобразити символи системи. Елементи, що мають два стійких стани, є простими. До них відносять транзистори, реле, конденсатори. Цей критерій був одним з найбільш важливих для вибору двійкової системи.
2. Економічність системи, обумовлена кількістю обладнання, необхідного для подання багаторозрядних чисел і виконання операцій над ними. За цим критерієм найбільш підходить троїста система, а двійкова стоїть на другому місці.
3. Трудомісткість виконання арифметичних операцій, визначається складністю алгоритмів обробки інформації. При цьому, чим менше підставу системи, тим менше і трудомісткість.
4. Швидкодія обчислювальних пристроїв виявляється тим вище, чим менше основа системи числення. Відомо, що множення в двійковій системі виконується на 26% швидше, ніж у трійковій, і в 2,7 рази швидше, ніж у десятковій.
5. Існування формальних методів синтезу та аналізу цифрових пристроїв, що важливо для розробки схем з деякими оптимальними характеристиками. У випадку двійкової системи такий апарат є - алгебра логіки.
6. Зручність роботи людини з ЕОМ є високим лише при використанні десяткової системи. Проте дані і результат досить просто переводяться з двійкової системи в десяткову систему і навпаки.
У таблицях 1.1 - 1.3 наведені результати виконання операцій додавання, віднімання і множення відповідно для однорозрядних двійкових чисел а і b: (а+b), (a-b), а х b.
Таблиця 1.2
Двійкове складання
-
b↓
a→
0
1
0
0
1
1
1
10
Таблиця 1.3
Двійкове віднімання
-
b↓
a→
0
1
0
0
1
1
-1
0
Таблиця 1.4
Двійкове множення
-
b↓
a→
0
1
0
0
0
1
0
1
Як видно з таблиці 1.2, при додаванні однорозрядних чисел можливий результат, що має два розряди. Таким чином, можливо переповнення розрядної сітки. Ця одиниця використовується як перенесення між сусідніми розрядами при додаванні багаторозрядних чисел (дивись §. 1.4). З таблиці. 1.3 випливає, що при вирахуванні позитивних чисел результат може бути негативним. Ця ситуація відповідає позичці одиниці зі старшого розряду числа (дивись §. 1.4). Таблиця для виконання операції ділення не приведена. Очевидно, що для а: b результат рівний а при b=1 і результат буде нескінченним при b = 0.
Фахівцям у галузі інформатики необхідно знати хоча б перші 10 ступенів числа 2. У табл. 1.5 показані ці числа для перших 16 ступенів числа 2. Крім того, дано терміни, які використовуються для назви цих чисел як масиву інформації в пам'яті ЕОМ.
Таблиця 1.5
Цілі степені числа 2
-
р
Термін
Р
Термін
1
2
1 біт
9
512
64 байта
2
4
півбайт
10
1024
1 к біт
3
8
байт
11
2048
2 к біта
4
16
2 байта
12
4096
4 к біта
5
32
4 байта
13
8192
1 к байт
6
64
8 байтів
14
16384
2 к байта
7
128
16 байтів
15
32768
4 к байта
8
256
32 байта
16
65536
8 к байтів
1.3. Переведення чисел з однієї позиційної системи в іншу
Це завдання постійно виникає при обробці цифрової інформації в ЕОМ. При цьому практичне значення має завдання переведення із двійкової системи в десяткову систему і навпаки. У загальному вигляді завдання переведення виглядає наступним чином.
Нехай число А представлено в системі числення з основою р1, що містить коефіцієнти
(1.14)Необхідно знайти подання цього числа в системі числення з основою p2, що містить коефіцієнти
(1.15)Для знаходження коефіцієнтів bi, - необхідно виконати ряд дій, заснованих на правилах арифметики в системі р1, методи перекладу цілих чисел засновані на розподілі, дробових - на множенні числа А р1 на число р1, представлене в системі р1.
Перевід цілих чисел. Ціле число
в системі 
може бути записане у вигляді:
Використовуючи схему Горнера (послідовне винесення р2 за дужки) можна отримати наступний вираз:
(1.16)Вираз (1.6) можна представити у вигляді:
(1.17)де значення А1 ясно з (1.16). Розділивши (1.17) на число р2, знайдемо цілу частину А1 і залишок b0, тобто молодшу цифру числа Ар2. Очевидно, залишок А1 представляється у вигляді:
(1.18)що можна представити в такій формі:
(1.19)Отже, при розподілі
на число р2 отримаємо цілу частину А2 і залишок b1. Процес повторюється до тих пір, поки не буде знайдений коефіцієнт bк <р2. Це і буде старша цифра числа .Приклад 1.1. Перекласти десяткове число А = 28 в двійкову систему числення.
Рішення: Маємо р2 =2. Виконаємо ділення в стовпчик:
Відповідь: А2=11100
Перевірка:
Приклад 1.2. Перекласти двійкове число А2 = 1110011 в десяткову систему числення. При цьому основа р2 = 10 зображується у двійковій формі р2 = 1010.
Розв’язок:
Відповідь:
1 2 3