1.4 Приближенное вычисление корней методами Ньютона и линейной интерполяции
После того как методом Штурмана (или каким-либо другим, более экономичным способом) было установлено, что между рациональными числами
содержится лишь один корень многочлена 
, остается задача настолько сузить эти границы, чтобы новые границы 
обладали наперед заданным числом совпадающих первых десятичных знаков; этим искомый корень будет вычислен с заданной точностью.Существует много методов, позволяющих достаточно быстро находить приближенное значение корня с требуемой точностью. Укажем два из них, теоретически более простые и общие и при совместном употреблении достаточно быстро приводящие к цели.
Будем считать, что
есть простой корень многочлена , так как от кратных корней всегда можем освободиться, и что корень уже отделен границами 
отсюда следует, в частности, что 
имеют разные знаки.Метод линейной интерполяции. В качестве приближенного значения корня
можно принять полусумму границ 
, т.е. середину отрезка, имеющего концы 
. Более естественно предположить, что корень лежит ближе к той из границ , которой соответствует меньшее по абсолютной величине значение многочлена. Метод линейной интерполяции состоит в том, что в качестве приближенного значения корня , делящее отрезок 
на части, пропорциональные абсолютным величинам чисел , т.е.
знак минус в правой части поставлен ввиду того, что
имеют разные знаки. Отсюда
(12)Геометрически, как на рис.1, метод интерполяции заключается в том, что на отрезке
кривая 
заменяется ее хордой, соединяющей точки 
, и в качестве приближенного значения корня принимается абсциса точки пересечения этой хорды с осью 
.
y
Af(a)
ab0 a c f(b) x
Рис.1 Геометрический метод интерполяции
Метод Ньютона. Так как
простой корень многочлена , то 
. Принимаем, что также 
, так как иначе вопрос сведется к вычислению корня многочлена 
, имеющего меньшую степень, чем . Причем, далее, что отрезок не только не содержит корней , отличных от , но и не содержит ни одного корня многочлена 
, а также и многочлена 
(x
. Таким образом, кривая на отрезке либо монотонно возрастает, либо монотонно убывает, а также либо во всех точках этого отрезка обращена выпуклостью вверх, либо во всех точках обращена выпуклостью вниз. В расположении кривой на отрезке могут встретиться, следовательно, четыре случая.Обозначим через
тот из пределов , в котором знак совподает со знаком . Так как имеют разные знаки, а сохраняет знак на своем отрезке 
, то такое может быть указано. В случаях, представленных на рис. 2-5.
0 
Рис. 2 Пределы совпадения знаков 
y
B
a 0 d b x
Рис. 3 Пределы совпадения знаков
y
A
0 d b x Рис. 4 Пределы совпадения знаковбудет
, в двух других случаях 
. В точке кривой с абсциссой , т.е. в точке с координатами 
, проведем касательную к этой кривой и обозначим через 
абсциссу точки пересечения этой касательной с осью . Рис. 2-5 показывают, что число можно считать приближенные значения корня . 
y
Ab
a d xB
Рис.5 Пределы совпадения знаков
Метод Ньютона состоит, следовательно в замене кривой
на отрезке ее касательной в одной из границ этого отрезка. Условие, наложенное на выбор точки , очень существенно: рис. показывает, что без соблюдения этого условия точка пересечения касательной с осью может вовсе не давать приближения к искомому корню.Выведем формулу, по которой разыскивается число
. Как известно, уравнение касательной к кривой в точке 
может быть записано в виде 
Подставляя сюда координаты
точки пересечения касательной с осью , получим:
откуда
Если соединить на рис. точки
хордами, то обнаружим, что методы линейной интерполяции и Ньютона 
y
A
b da
x Рис.6 Наложенное условиево всех случаях дают приближение к истинному значению корня
с разных сторон. Если они не дают точного приближения, то к этим пределам следует еще раз применить указанные оба метода (рис. 7) и т.д.. Действительно этот процесс позволяет вычислить корень с любой точностью.
y
A
c b
0 a d 
xB
Рис.7 Приближение к истинному значению корня
2. Примеры отделения действительных корней многочленов
1. Определить число положительных и отрицательных корней, а также их границы для уравнения
В данной задаче
. Уравнение имеет пять корней. Поскольку 
, то по следствию из теоремы, уравнение имеет по крайней мере один действительный корень. Так как
то
,т.е. все корни лежат внутри данного кольца. Это означает, что положительные корни удовлетворяют неравенству
, а отрицательные — неравенству 
.Найдем верхнюю границу положительных корней. Так как
— первый отрицательный коэффициент в последовательности 
то 
, а 
- наибольшая из абсолютных величин отрицательных коэффициентов. Следовательно,
.Найдем нижнюю границу положительных корней. Составим уравнение:
(старший коэффициент должен быть положительным). Для этого уравнения
,поэтому
.Отсюда
Уточним границы отрицательных корней. Составим уравнение:
Для этого уравнения
, поэтому 
.Составим уравнение:
Для этого уравнения
,поэтому 
.Отсюда находим:
.Исследуем структуру корней уравнения. Так как квадрат каждого не крайнего коэффициента больше произведения двух его соседних коэффициентов, то по теореме, необходимое условие действительности всех корней уравнения выполняется.
Определим число положительных и отрицательных корней. Выписываем коэффициенты многочлена
.так как число перемен знака
, то число положительных корней равно трем или меньше на четное число, т.е. равно 1. Далее выписываем коэффициенты многочлена
.Так как число перемен знаков
, то число отрицательных корней равно двум или меньше на четное число, т.е. их вообще нет.2. Отделить корни кубического уравнения:
Уравнение имеет три корня, среди которых по крайней мере один действительный (это уравнение нечетной степени). Оценим модули корней уравнения. Так как
Отсюда
Определим число положительных и отрицательных корней. Выписываем коэффициенты многочлена
так как число перемен знака
(нулевой коэффициент не учитывается), то число положительных корней равно двум или меньше на четное число, т.е. они отсутствуют. Далее выписываем коэффициенты многочлена
так как число перемен знака
(нулевой коэффициент не учитывается), то число отрицательных корней равно единице.Отделим корни. Для этого преобразуем уравнение к равносильному виду
и найдем точки пересечения графиков 
(рис.1) 
Очевидно, корень уравнения
3. Отделить корни уравнения третьего порядка
Согласно теореме уравнение имеет три корня, среди которых по крайней мере один действительный. Оценим модули корней уравнения :
Так как
то
Отсюда
Определим число положительных и отрицательных корней. Выписываем коэффициенты многочлена
.так как число перемен знака
, то уравнение имеет два положительных корня или ни одного. Далее выписываем коэффициенты многочлена 
так как число перемен знака
, то имеется один отрицательный корень. Отделим корни третьим способом. С этой целью преобразуем уравнение к равносильному виду:
.Найдем абсциссы точек пересечения графиков
(см. рис. 2, там указаны два из трех полученных промежутков).
Результат отделения корней — три промежутка
. Заметим, что отрезки могут быть сужены, например, вместо отрезка 
можно принять 
.Заключение
В курсовой работе рассмотрена теория о отделении действительных корней многочленов. Приведены задачи, в которых были использованы различные методы для отделения корней многочленов.
Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.
В первой главе рассматриваются теоремы и методы отделения действительных корней многочленов: теорема Штурма, теорема Бюдана-Фурье и Декарта, метод Ньютона и линейной интерполяции и другие теоремы о числе действительных многочленов.
Во второй главе представлено решение различных корней многочленов. При выполнении курсовой работы использовалась литература, список которой заключает представленную работу.
В заключении, хотелось бы отметить метод Ньютона и линейной интерполяции. Из всех рассмотренных теорем и методов он более прост в применении и так же точен как и метод Штурма.
Список использованных источников
http://ru.wikipedia.org/wiki.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры: Учебник для вузов. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры-СПб: 13-е изд. - Лань, 2003
Фадеев Д.К. Лекции по алгебре - СПб
Окунев Л.Я. Высшая алгебра: изд. 54- Просвещение, 1937
Смолин Ю.Н. Алгебра и теория чисел – 4-е изд. – Наука, 2012
1 2 3