1.2 Другие теоремы о числе действительных корней
Теорема Штурма полностью решает вопрос о числе действительных корней многочлена. Ее существенным недостатком является, однако, громоздкость вычислений, выполняемых при построении системы Штурма. Ввиду этого будут доказаны две теоремы, не дающие точного числа действительных корней, а лишь ограничивающие это число сверху. Эти теоремы, применяемые после того, как при помощи графика число действительных корней уже ограничено снизу, позволяют иногда найти точное число действительных корней, не прибегая к методу Штурма.
Пусть дан многочлен
-й степени с действительными коэффициентами, причем допускаем, что он может обладать кратными корнями. Рассмотрим систему его последовательных производных
(x) =
(x), f '(x), 
(х), . . ., (x), 
(x), (8)из которых последняя равна старшему коэффициенту
многочлена , умноженному на 
и поэтому все время сохраняет постоянный знак. Если действительное число 
не служит корнем ни одного из многочленов системы (8), то обозначим через 
число перемен знаков в упорядоченной системе чисел
Таким образом можно рассматривать целочисленную функцию
, определенную для тех значений 
, которые не обращают в нуль ни одного из многочленов системы (8).Посмотрим, как меняется число при возрастании
. Пока не пройдет через корень ни одного из многочленов (8), число не может измениться. Ввиду этого мы должны рассмотреть два случая: переход через корень многочлена и переход х через корень одной из производных
, 
.Пусть а будет
-кратный корень многочлена 
, т.е.f (а) = f ' (a)=... =
(а) =0, 
Пусть положительное число
столь мало, что отрезок 
не содержит корней многочленов 
отличных от 
, а также не содержит ни одного корня многочлена 
. Докажем, что в системе чисел
всякие два соседних числа имеют противоположные знаки, тогда как все числа
имеют один и тот же знак. Так как каждый из многочленов системы (8) является производной от предыдущего многочлена, то нам нужно лишь доказать, что если х проходит через корень
многочлена то, независимо от кратности этого корня, до перехода и 
имели разные знаки, а после перехода их знаки совпадают. Если 
, то убывает на отрезке
, а потому 
если же
, то возрастает, и потому 
. В обоих случаях, следовательно, знаки различны. С другой стороны, если 
, то возрастает на отрезке 
, а потому 
; аналогично из 
следует 
. Таким образом, после перехода через корень а знаки и должны совпадать.Из доказанного следует, что при переходе х через
-кратный корень многочлена система
теряет l перемен знаков.
Пусть
будет теперь корнем производных
но не служит корнем ни для
, ни для 
. По доказанному выше, переход через влечет за собой потерю в системе 
, 
, …, 
, перемен знаков. Правда, этот переход создает, возможно, новую перемену знаков между 
(x) и , однако, ввиду 
, при переходе через число перемен знаков в системе
, , , ..., 
или не меняется, или же уменьшается. Оно может уменьшиться при этом лишь на четное число, так как многочлены
(х) и не меняют своих знаков при переходе через значение .Из полученных результатов вытекает, что если числа
, не являются корнями ни для одного из многочленов системы (8), то число действительных корней многочлена , заключенных между 
и подсчитываемых каждый столько раз, какова его кратность, равно разности 
или меньше этой разности на четное число.Для того чтобы ослабить ограничения, наложенные на числа
, введем следующие обозначения. Пусть действительное число не является корнем многочлена , хотя, быть может, служит корнем для некоторых других многочленов системы (1). Обозначим через 
число перемен знаков в системе чисел
, ..., 
, 
, (9)подсчитываемое следующим образом: если
... 
, (10)но
≠ 0, 
≠ 0, (11)то считаем
, , ..., 
имеющими такой же знак, как у ; это равносильно, очевидно, тому, что при подсчете числа перемен знаков в системе (9) нули предполагаются вычеркнутыми. С другой стороны, через обозначим число перемен знаков в системе (9), подсчитываемое следующим образом: если имеют место условия (10) и (11), то считаем, что , 
, имеет такой же знак, как и 
, если разность 
четная, и противоположный знак, если эта разность нечетная.Теперь определяем число действительных корней многочлена
заключенных между , причем не являются корнями но служат, быть может, корнями для других многочленов системы (8). Пусть столь мало, что отрезок 
не содержит корней многочлена а также отличных от корней всех остальных многочленов системы (8); с другой стороны, пусть 
столь мало, что отрезок 
) также не содержит корней 
и отличных от 
корней остальных многочленов системы (8). Тогда интересующее нас число действительных корней многочлена будет равно числу действительных корней этого многочлена, заключенных между 
, т.e. по доказанному выше, равно разности 
или меньше этой разности на четное число. 
1.3 Теорема Бюдана Фурье и Декарта
Теорема Бюдана-Фурье. Если действительные числа
, не являются корнями многочлена c действительными коэффициентами, то число действительных корней этого многочлена, заключенных между и подсчитываемых каждый столько раз, какова его кратность, равно разности 
или меньше этой разности на четное число.Обозначим символом ∞ столь большое положительное значение неизвестного
, что знаки соответствующих ему значений всех многочленов системы (x) = (x), f '(x), (х), . . ., (x), (x) совпадают со знаками их старших коэффициентов. Так как этими коэффициентами будут последовательно числа , 
, …, 
, знаки которых совпадают, то 
. С другой стороны, так как
где
, 
, ..., 
— коэффициенты многочлена то 
совпадает с числом перемен знаков в системе коэффициентов многочлена причем коэффициенты, равные нулю, не учитываются. Таким образом, применяя теорему Бюдана—Фурье к отрезку (0, ∞), мы приходим к следующей теореме:Теорема Декарта. Число положительных корней многочлена
засчитываемых каждый столько раз, какова его кратность, равно числу перемен знаков в системе коэффициентов этого многочлена (причем равные нулю коэффициенты не учитываются) или меньше этого числа на четное число.Для определения числа отрицательных корней многочлена
достаточно, очевидно, применить теорему Декарта к многочлену 
При этом, если ни один из коэффициентов многочлена не равен нулю, то, очевидно, переменам знаков в системе коэффициентов многочлена соответствуют сохранения знаков в системе коэффициентов многочлена и обратно. Таким образом, если многочлен не имеет равных нулю коэффициентов, то число его отрицательных корней (считаемых с их кратностями) равно числу сохранений знаков в системе коэффициентов или меньше его на четное число.Пример 3: рассмотрим многочлен применяя теоремы Декарта и Бюдана-Фурье.
Число перемен знаков в системе коэффициентов равно трем, и поэтому, по теореме Декарта,
может иметь три или один положительный корень. С другой стороны, не имеет равных нулю коэффициентов, а так как в системе коэффициентов два сохранения знаков, то либо имеет два отрицательных корня, либо не имеет ни одного. Следует, что два есть точное число отрицательных корней многочлена.Число перемен знаков Таблица 4.
| | |  |  |  |  |  | Число перемен знаков |
 | - | + | + | + | + | + | 1 |
 | + | + | + | + | + | + | 0 |
Отсюда следует, что система производных теряет при переходе
от 1 до ∞ одну перемену знаков, а поэтому имеет ровно один положительный корень.1 2 3