Геометрія Лобачевського (гіперболічна геометрія) — одна з неевклідових геометрій, геометрична теорія, що базується на тих же основних міркуваннях, що і звичайна евклідова геометрія, за винятком аксіоми про паралельність, що замінюється на аксіому про паралельні Лобачевського.
Евклідова аксіома про паралельні твердить: через точку, що не лежить на даній прямій, проходить тільки одна пряма, що лежить з даною прямою в одній площині і не перетинає її.
В геометрії Лобачевського замість неї приймається наступна аксіома: через точку, що не лежить на даній прямій, проходять щонайменше дві прямі, що лежать з даною прямою в одній площині і не перетинають її.
Геометрія Лобачевського має широке застосування як в математиці, так і у фізиці. Історичне її значення полягає у тому, що її побудовою Лобачевський показав можливість існування геометрії, відмінної від евклідової. Це ознаменувало нову епоху в розвитку геометрії і математики загалом.
Джерелом геометрії Лобачевського слугувало питання аксіоми про паралельні прямі, котра відома також як п'ятий постулат Евкліда (під цим номером у списку постулатів із «Начал» Евкліда знаходиться твердження, еквівалентне до наведеної аксіоми про паралельні прямі). Цей постулат, складніший порівняно з іншими, довгий час викликав спроби довести його на основі інших постулатів.
Ось неповний список учених, що займались доведенням V постулату до XIX ст.:
давньогрецькі математики Птолемей (II ст.), Прокл Діадох (V ст.) (доведення Прокла базується на припущенні скінченності відстані між двома паралельними),
Ібн аль-Хайсам з Іраку (кінець X ст. — початок XI ст.) (Ібн аль-Хайсам намагався довести V постулат, виходячи з припущення, що кінець рухомого перпендикуляру до прямої описує прямую лінію),
іранський математик Омар Хайям (друга половина XI — початок XII ст.),
азербайджанський математик Насиреддин Тусі (XIII ст.) (Хайям та Насиреддин при доведенні V постулату виходили з припущення, що дві збіжні прямі не можуть при продовженні стати розбіжними при перетині),
німецький математик Христофор Клавій (1574),
італійські математики
П. Катальді (вперше в 1603 надрукував роботу, повністю присвячену питанню паралельних прямих),
Дж. Бореллі (1658), Дж. Вітале (1680),
англійський математик Джон Волліс (1663, опубліковано в 1693) (Волліс ґрунтує доведення V постулату на припущенні, що для кожної фігури існує подібна їй, але не рівна фігура).
Доведення вказаних вчених зводились до заміни V постулату іншими припущеннями, що здавались очевиднішими.
Моделлю геометрії Лобачевського називається поверхня або простір, в якому виконуються аксіоми геометрії Лобачевського.
Оскільки всі реалізації геометрії Лобачевського ізоморфні[1], твердження, доведене в одній моделі геометрії Лобачевського, буде дійсне в будь-якій іншій моделі. Тим самим для проведення міркувань можна щоразу вибирати найбільш «зручну» модель. Наприклад, в конформних моделях Пуанкаре, кут між кривими дорівнює евклідовому куту.