Міністерство освіти і науки України
Національний університет «Львівська політехніка»
Чисельні методи
Методичні вказівки
до виконання лабораторної роботи №1
«Абсолютна та відносна похибка»
для студентів базового напряму 122 «Комп’ютерні науки»
Затверджено
На засіданні кафедри АСУ
Протокол №1-2020/2021
Від 02.09.2020 року
Львів - 2020
Чисельні методи в інформатиці: Методичні вказівки до виконання лабораторної роботи «Абсолютна та відносна похибка» для студентів базового напряму 122 «Комп’ютерні науки» / Укл.: І.М.Дронюк, Б.І.Балич. Львів: Видавництво Національного університету «Львівська політехніка», 2020.-15 с.
Укладач Дронюк І.М., канд.фіз.-мат. наук, доц.
Балич Б.І., ст.викладач
Відповідальний за випуск Шпак З.Я., канд. техн.наук, доц.
Рецензент Цмоць І.Г., д-р техн. наук, проф.
Мета роботи: вивчити поняття абсолютної та відносної похибки та методи їх оцінювання.
Порядок роботи:
Створити проект для виконання індивідуального завдання.
Оформити звіт для захисту лабораторної роботи за зразком
назва роботи
мета роботи
порядок роботи
короткі теоретичні відомості
алгоритм розв’язку задачі
тексти відповідних модулів проекту
аналіз отриманих результатів та висновки
Короткі теоретичні відомості
Теорема. Якщо додатне наближене число а має п точних десяткових знаків, то відносна похибка δ цього числа задовольняє умову
δ ≤
,де ат – перша значуща цифра числа а .
Доведення. Нехай а = αm·10 m +αm - 1·10m - 1 + ... + αm – n +1 ·10m – n + 1
є наближеним значенням точного числа А з n точними знаками. Тоді, згідно з означенням числа точних знаків наближеного числа, одержуємо
∆= | А–а|≤
· 10m – n + 1.Звідси
-
· 10m – n + 1 ≤ А–а ≤ · 10m – n + 1 .Тому
А ≥ а -
· 10m – n + 1 ≥ αm·10 m - · 10m – n + 1або
А ≥
· 10m
. Права частина отриманої нерівності досягає найменшого значення при п = 1, тому
А ≥
· 10m ≥ · 10m (2аm - 1). Оскільки 2аm - 1 = ат+ (ат – 1 ) ≥ аm , то
А ≥
аm · 10m.Тепер, згідно з означенням,
δ =
,або
δ ≤
.Наслідок 1. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками можна прийняти
δa =
де аm - перша значуща цифра числа а .
Наслідок 2. За граничну відносну похибку наближеного додатного числа а з п точними десятковими знаками при п≥2 практично можна прийняти
δa =
.Справді, якщо п>2, то числом
у нерівності можна знехтувати. ТодіА ≥
· 10m ·2аm = аm · 10m.Тому
δ =
,Приклад 1. Яка гранична відносна похибка наближеного числa а= 3,14 , що замінює точне число А = π?
Оскільки п =3 і ат= 3 , то на підставі наслідку 2
δa =
% .Приклад 2. Зі скількома точними десятковими знаками треба взяти
, щоб відносна похибка була не більша за 0,1% ?Оскільки ат= 4, δ ≤ 0,001, то на підставі наслідку 1 має виконуватися нерівність:
Звідси 10n – 1 ≥ 250 або п ≥ 4 .
Для визначення кількості точних знаків наближеного числа а , якщо відома його відносна похибка δ , можемо скористатися наближеною формулою
δ =
де ∆ - абсолютна похибка наближеного числа а . Із цієї формули одержуємо, що ∆ = δ|a|.Маючи ∆, на підставі означення легко знайти кількість точних десяткових знаків наближеного числа а .
Приклад 3. Число а = 7654 має відносну похибку δ = 0,01. Скільки в ньому точних цифр?
Оскільки
∆ = δa = 76,54 <
· 103то число а має лише одну точну цифру.
Похибки арифметичних операцій
1. Похибкa суми.
Теорема 1. Абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел.
Доведення. Нехай x1, x2, …,хп– задані наближені числа. Розглянемо їх алгебраїчну суму
и = ± х1 ±х2±...±хп.
Тоді похибка цієї алгебраїчної суми Дм буде складатися з алгебраїчної суми похибок доданків, тобто
∆и = ± ∆х1 ±∆ х2 ± ... ±∆ хп .
Звідси
|∆и| ≤ |∆х1|+|∆х2|+ ... +|∆хп|.
Наслідок. За граничну абсолютну похибку алгебраїчної суми декількох наближених чисел можна прийняти суму граничних абсолютних похибок цих чисел, тобто
∆и = ∆х1 +∆х2+ ... +∆хп .
Теорема 2. Гранична відносна похибка суми декількох наближених чисел одного й того ж знака не перевищує найбільшу з граничних відносних похибок цих чисел.
Доведення. Нехай
и = + х1 + х2+ ... + хп,
де для визначеності вважатимемо, що xi > 0 (i = 1, 2,..., п ). Позначимо
через Аi (і = 1, 2,..., п ) точні значення доданків xi , а через А – їх суму, тобто А = А1 + + А2 + ... + Ап . Тоді
δu=
Оскільки
, то 
= Аі 
. Тому
.Нехай
max = 
.1 ≤ i≤ n
Тоді
тобто
= max 
1 ≤ i≤ n
2. Похибкa різниці. Розглянемо різницю двох наближених чисел х1та х2:
и = х1-х2.
Тоді, на підставі наслідку з теореми 1,
∆и= ∆х1 +∆х2 , δu=
де А – точне значення різниці х1-х2. 3 останньої формули випливає, що для близьких чисел х1та х2гранична відносна похибка буде досить велика. Тому в обчислювальних алгоритмах бажано уникати віднімання близьких чисел.
Зауваження. При подальшому розгляді похибок арифметичних операцій, а також при розгляді похибок функцій припускатимемо, що похибки значно менші за абсолютною величиною від самих наближених величин, тож ними можна знехтувати в сумах, котрі містять одночасно наближену величину і її похибку як доданки; і завжди можна обмежитися членами, лінійними відносно похибок, нехтуючи членами більш високого порядку. Це означає, що наступні питання, пов'язані з похибками, розглядатимемо дещо грубо, проте елементарно. Адже строгий підхід під час розгляду цих питань не дає бажаних наочних результатів.
3. Похибкa добутку. Нехай
Аі=хі+∆хі(і = 1,2,...,n),
де для простоти вважатимемо, що хі > 0 (і -1, 2,..., п ), А = А1 А2… Аn, u = х1х2… хn . Тоді
А = (х1 + ∆ х1 ) (х2 + ∆ х2) ... (хп + ∆хп) =
= х1х2… хn + х2х3 …хn ∆ х1 + х1 х3… хn ∆ х2 + ... +
+ х1х2… хn-1 + ∆хп+ ... + ∆x1∆x2…∆xn .
Враховуючи зауваження, можемо прийняти, що
А = u +x1 x2 … хп + ∆х1+ х1 х3 … хп + ∆х2 +…+ x1 x2 … хn-1 + ∆хп.
Звідси
| ∆u | = | А– u | ≤ x2x3 … xn | ∆x1| + х1 х3… xn| ∆x2| +…+
+ x1 x2 … хn-1 + ∆хп
Зокрема, якщо п = 2 , то
| ∆u | ≤ x2| ∆x1| + x1| ∆x2| .
За граничну абсолютну похибку добутку можна взяти
∆u = x2x3 … xn ∆x1+ х1 х3… xn ∆x2 +…+ x1 x2 … хn-1 + ∆хп.
Розділивши нерівність на u, одержимо
Враховуючи зауваження, замінюємо величину
на відноснупохибку
множника хi , а 
– на відносну похибкудобутку
. Отримаємо таку нерівність: δ ≤ δ1 + δ2 + … δn .
За граничну відносну похибку добутку можемо прийняти
.4. Похибки частки. Нехай A1 = х1 + ∆ х1, A2 = х2 + ∆ х2, де для простоти x1 > 0, x2> 0,
, 
. Тоді
i
.Звідси
,aбo
.Розділивши нерівність на u, одержимо
Врахувавши зауваження, замінимо
на відносну похибку 
діленого,
- на відносну похибку 
дільника, - на відносну похибку 
частки. Отримаємо
.За граничну відносну похибку частки можна прийняти
.5. Похибкa степеня. Нехай А = (х + ∆ х)т, и = хт , де т– натуральне число, х > 0. Використовуючи похибки добутку, одержуємо
|∆u| < mxm - 1|∆x|, δ ≤ mδ1,
де δ – відносна похибка степеня; δ1 – відносна похибка аргументу х. Тому за граничні абсолютну та відносну похибки степеня можемо прийняти
∆u= mxm - 1∆x, δu= mδx .
Із наведених похибок арифметичних операцій випливає, що операції додавання та віднімання (при великій різниці між числами) не погіршують точності результату порівняно з точністю алгебраїчних доданків, а операції множення, ділення і піднесення до степеня суттєво погіршують точність результату.
| | Контрольні запитання |
| 1 | Заокруглюючи число до трьох значущих цифр, визначити абсолютну та відносну похибки наближеного числа 3,9287 |
| 2 | Визначити абсолютну похибку наближеного числа за його відносною похибкою A=57,23 =1% |
| 3 | Визначити кількість точних десяткових знаків у числі, якщо відома його абсолютна похибка X=13,04342; x=0,1 |
| 4 | Визначити кількість точних десяткових знаків у числі, якщо відома його абсолютна похибка X=13,04342; =1% |
| 5 | Знайти виразу z для наближених чисел і визначити абсолютну та відносну похибки, якщо відомо, що три знаки точні z=1,2344-1,2312 |
| 6 | Обчислити значення функції u та оцінити абсолютну та відносну похибки результату, якщо U=x*y-z, x=4,5; y=3,2;z=1,3; x=0,1; y=0,1; z=0,1 |
| 7 | Обчислити значення функції z, вважаючи точними всі знаки наближених чисел x ,y. Обчислити абсолютну та відносну похибки результату Z=ln(x+cos(y)), x=1, y=1 |
Завдання
Оцінити абсолютну та відносну похибку обчислення величини F при умові
А) заданих точних цифр введених значень величин аргументів x1 , x2 , x3
Б) заданих значеннях величин аргументів x1 , x2 , x3 з похибкою = N*10-3, де N–номер варіанта
ВАРІАНТ 1
F = 2x12 + 3x22 + x32 + 4x1x2 – 3x3 + cos(x2 - x1 )
ВАРІАНТ 2
F = 5x12 + 3x22 + 2x32 - 4x2x3 - 2x1 – cos(x2 * x3 );
ВАРІАНТ 3
F = 3x12 + 2x22 + 4x32 + 3x1x2 - 2x2 +sin( x1 – x3 *x2 );
ВАРІАНТ 4
F = 4x12 + 5x22 + 3x32 - 4x1x2 - 2x1 - sin(x1 / x2 );
ВАРІАНТ 5
F = 6x12 + 4x22 + 5x32 + 5x1x3 - 3x2 + ln(3* x3 – x2 );
ВАРІАНТ 6
F = 3x12 + 2x22 + 4x32 + 5x1x2 – x3 +exp( 8* x2 – x1 );
ВАРІАНТ 7
F = 5x12 + 4x22 + 3x32 - 5x2x3 - 3x1 – sec(18* x2 – x3 );
ВАРІАНТ 8
F = 4x12 + 3x22 + 5x32 + 4x1x3 - 3x2 + 11cosec(x1 – x3 );
ВАРІАНТ 9
F = 5x12 + 6x22 + 4x32 - 5x1x2 - 3x1 +ln( 21 x1 * x2 );
ВАРІАНТ 10
F = 7x12 + 5x22 + 6x32 + 6x1x3 - 4x2 – 5exp( x3 * x2 );
ВАРІАНТ 11
F = 4x12 + 5x22 + 5x32 + 2x1x2 - 3x3 + 14tg( x2 – x1 );
ВАРІАНТ 12
F = 8x12 + 6x22 + 4x32 - 6x2x3 - 4x1 + 20ctg( x2 – x3 );
ВАРІАНТ 13
F = 6x12 + 5x22 + 7x32 + 6x1x2 - 5x2 - 21 x1 * x2 * x3;
ВАРІАНТ 14
F = 7x12 + 7x22 + 5x32 - 6x1x2 - 4x1 + 24sqrt( x1 – x2 );
ВАРІАНТ 15
F = 8x12 + 6x22 + 7x32 + 7x1x3 - 5x2 + 8sqrt( x3 * x2 );
ВАРІАНТ 16
F = 7x12 + 3x22 + 2x32 + 4x1x2 - 4x3 + 16( x2 – x1 )1/3;
ВАРІАНТ 17
F = 9x12 + 6x22 + 5x32 - 7x2x3 - 5x1 - 24 (x2 * x3 )1/3 ;
ВАРІАНТ 18
F = 7x12 + 6x22 + 8x32 + 7x1x3 - 6x2 + 23arccos(x1 – x3 );
ВАРІАНТ 19
F = 10x12 + 8x22 + 6x32 - 7x1x2 - 5x1 + 20arcsin( x1 – x2 );
ВАРІАНТ 20
F = 11x12 + 9x22 + 9x32 + 9x1x3 - 7x2 – 10arctg(x3 – x2 );
Література
Фельдман Л., Петренко А., Дмитрієва О. Чисельні методи в інформатиці: Підручник для вузів / За заг. ред. М.З. Згуровського. – К.: Видав. група ВНV, 2006. – 475с.
Цегелик Г. Чисельнi методи: Пiдручник / Цегелик,Григорiй Григорович. - Львiв, 2004. - 406с.
Коссак О., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень:. Навч. посіб. — Л.: БаК, 2003 . — 168 с.
Навчальне видання
Чисельні методи в інформатиці
Методичні вказівки
до виконання лабораторної роботи
«Абсолютна та відносна похибка»
для студентів базового напряму 122 «Комп’ютерні науки»
Укладач Дронюк Іванна Мирославівна
Редактор
Комп’ютерне верстання