2. Якщо табл то х залежить від усіх інших незалежних змінних і треба вирішити питання про її виключення з переліку змінних.
3. Якщоt
kj
>t
табл.
, то х і х
j
тісно пов’язані між собою Аналізуючи F- i t-критерії, робимо висновок, яку із змінних можна виключити з багатофакторної моделі (зрозуміло, що при цьо- му потрібно виходити з економіко-логіко-теоретичних міркувань).
5. Якщо після вилучення певної змінної ми ще не позбавились мультиколінеарності, то оцінювання параметрів моделі слід здійсни- ти за допомогою іншого методу, наприклад методу головних компо- нентів (або одного з його модифікацій).
Приклад. Дослідження наявності мультиколінеарності на основі алгоритму Фаррара-Глобера.
Розглянемо задачу дослідження впливу на економічний показник
y (реальне споживання країни, млрд грн.) трьох факторів: x
1
(купівля та оплата товарів та послуг, млрд грн.), x
2
(всього заощаджень від за- гального грошового доходу, % від загальної суми доходу, x
3
(рівень
ставки ПДВ, %). Необхідно перевірити фактори на мультиколінеар- ність.
№
y(i)
x
1
(i)
x
2
(i)
x
3
(i)
1 25,74 4,69 11,97 29,23 2
25,34 5,64 13,43 29,35 3
31,26 6,26 12,92 33,40 4
33,50 6,99 14,74 30,97 5
32,30 6,36 14,64 32,92 6
38,90 7,60 17,10 37,27 7
41,58 7,12 15,63 30,97 8
48,02 6,81 15,35 33,58 9
43,30 8,67 15,85 35,62 10 51,78 7,83 18,05 34,99 11 52,14 7,84 17,24 39,34 12 54,94 8,85 20,52 41,50 13 59,18 9,61 19,18 45,58 14 62,22 10,67 19,03 41,08 15 63,62 11,04 21,45 40,54 16 65,01 11,85 22,25 42,75 17 67,78 12,94 24,75 43,89 18 71,45 14,24 25,03 41,95 19 75,24 15,67 27,87 44,06 20 77,38 16,33 30,48 46,77
розв’язання
1-й крок
Нормалізуємо змінні х, х, х економетричної моделі, для чого об- числимо:
x
x
n
x
x
x
x
x
ij
ij
j
x
ij
ij
j
ij
j
i
n
j
*
*
(
)
(
)
(
)
,
x
2 2
1
, або де n
=20 — кількість спостережень (i = 1, 2, ..., 20); m=3 — кількість незалежних змінних (j
= 1, 2, 3);
x
j
— середня арифметична ї неза- лежної змінної;
xj
— дисперсія ї незалежної змінної:
xj
n
xij x j
i
n
1 1
2
(
) .
№
y(i)
x
1
(i)
x
2
(i)
x
3
(i)
1 25,74 4,69 11,97 29,23 2
25,34 5,64 13,43 29,35 3
31,26 6,26 12,92 33,40 4
33,50 6,99 14,74 30,97 5
32,30 6,36 14,64 32,92 6
38,90 7,60 17,10 37,27 7
41,58 7,12 15,63 30,97 8
48,02 6,81 15,35 33,58 9
43,30 8,67 15,85 35,62 10 51,78 7,83 18,05 34,99 11 52,14 7,84 17,24 39,34 12 54,94 8,85 20,52 41,50 13 59,18 9,61 19,18 45,58 14 62,22 10,67 19,03 41,08 15 63,62 11,04 21,45 40,54 16 65,01 11,85 22,25 42,75 17 67,78 12,94 24,75 43,89 18 71,45 14,24 25,03 41,95 19 75,24 15,67 27,87 44,06 20 77,38 16,33 30,48 46,77
розв’язання
1-й крок
Нормалізуємо змінні х, х, х економетричної моделі, для чого об- числимо:
x
x
n
x
x
x
x
x
ij
ij
j
x
ij
ij
j
ij
j
i
n
j
*
*
(
)
(
)
(
)
,
x
2 2
1
, або де n
=20 — кількість спостережень (i = 1, 2, ..., 20); m=3 — кількість незалежних змінних (j
= 1, 2, 3);
x
j
— середня арифметична ї неза- лежної змінної;
xj
— дисперсія ї незалежної змінної:
xj
n
xij x j
i
n
1 1
2
(
) .
25
Розрахунки за цією формулою проводяться поетапно:
• під кожним стовпцем незалежних змінних обчислити середнє значення:
x
1
9,3505;
x
2
18,874;
x
3
= 37,788;
• від кожного елемента у стовпцях незалежних змінних відняти відповідне середнє значення, тобто обчислити у ре- зультаті утвориться робоча матриця Р розмірності (15
×3));
• отримані різниці піднести до квадрату, тобто обчислити
(
)
x
x
ij
j
2
(ще одна матриця Р такої ж розмірності, як і Р додати елементи у кожному стовпці матриці Р, тобто отрима- ти
n
xj
ij
j
i
n
x
x
2 1
або застосувати до стовпців Р функцію
СУММКВ;
• обчислити їх корені квадратні, тобто для
j 1 2 3
, ,
;
• розділити елементи відповідних стовпців матриці Р на зна- чення
n
xj
(
j 1 2 3
, ,
). У результаті отримаємо нову матрицю X*,елементами якої є нор- малізовані незалежні змінні
x
ij
*
:
-
0,309287
-0,302374
-0,339018
-0,246242
-0,238430
-0,334264
-0,205096
-0,260766
-0,173826
-0,156651
-0,181056
-0,270089
-0,198460
-0,185436
-0,192841
-0,116169
-0,077695
-0,020520
-0,148024
-0,142077
-0,270089
-0,168596
-0,154340
-0,166696
-0,045160
-0,132441
-0,085883
X*
= -0,100905
-0,036088
-0,110840
-0,100242
-0,071564 0,061481
-0,033215 0,072089 0,147047 0,017221 0,013401 0,308673 0,087566 0,006832 0,130409 0,112121 0,112820 0,109018 0,165875 0,147858 0,196565 0,238212 0,257350 0,241725 0,324485 0,269613 0,164874 0,419385 0,393997 0,248460 0,463185 0,508307 0,355814
й крок
Обчислимо кореляційну матрицю (матрицю моментів нормалізо- ваної системи нормальних рівнянь)
R X X
r
r
r
r
r
r
tr
m
m
m
m
*
*
1 1
1 12 1
21 2
1 де
X
*tr
— транспонована матриця X*. Елементи матриці R характе- ризують щільність зв’язку однієї незалежної змінної з іншою, тоб- то
r
r
ij
x x
i j
— парні коефіцієнти кореляції. Застосувавши функцію
МУМНОЖ, отримаємо
1 0,92883 0,819534
R
= 0,92883 1
0,831277 0,81953 0,83127 й крок
3.1. Обчислимо |R| — визначник кореляційної матриці R за допо- могою математичної функції МОПРЕД:
|R|
= 0,00881.
3.2. Визначимо значення критерію
2
χ
, як
(
(
))
n
m
1 1
6 2
5
ln|R|;
2
χ
= 81,23005.
3.3. Порівняємо значення
2
χ
з табличним табл
= χ
2
(α; m(m–1)/2) при
1 2
1 3
m m
(
)
ступенях вільності і рівні значущості
α = 0,05 (таб- лиця розподілу
χ
2
або статистична функція ХИ2ОБР):
χ
2
табл
= XИ2OБР(0,05; 3)
= 7,814724.
Оскільки табл, тов масиві незалежних змінних існує муль- тиколінеарність в сукупності.
4-й крок
Визначимо матрицю С
C R
X X
c
c
c
c
c
c
c
c
tr
m
m
m
m
1 1
11 12 1
21 22 2
1
(
)
*
*
22
... c
mm
Обчислимо кореляційну матрицю (матрицю моментів нормалізо- ваної системи нормальних рівнянь)
R X X
r
r
r
r
r
r
tr
m
m
m
m
*
*
1 1
1 12 1
21 2
1 де
X
*tr
— транспонована матриця X*. Елементи матриці R характе- ризують щільність зв’язку однієї незалежної змінної з іншою, тоб- то
r
r
ij
x x
i j
— парні коефіцієнти кореляції. Застосувавши функцію
МУМНОЖ, отримаємо
1 0,92883 0,819534
R
= 0,92883 1
0,831277 0,81953 0,83127 й крок
3.1. Обчислимо |R| — визначник кореляційної матриці R за допо- могою математичної функції МОПРЕД:
|R|
= 0,00881.
3.2. Визначимо значення критерію
2
χ
, як
(
(
))
n
m
1 1
6 2
5
ln|R|;
2
χ
= 81,23005.
3.3. Порівняємо значення
2
χ
з табличним табл
= χ
2
(α; m(m–1)/2) при
1 2
1 3
m m
(
)
ступенях вільності і рівні значущості
α = 0,05 (таб- лиця розподілу
χ
2
або статистична функція ХИ2ОБР):
χ
2
табл
= XИ2OБР(0,05; 3)
= 7,814724.
Оскільки табл, тов масиві незалежних змінних існує муль- тиколінеарність в сукупності.
4-й крок
Визначимо матрицю С
C R
X X
c
c
c
c
c
c
c
c
tr
m
m
m
m
1 1
11 12 1
21 22 2
1
(
)
*
*
22
... c
mm
27
Скориставшись математичною функцією МОБР, отримаємо:
24,00377
-22,82912 -0,7311322
C
= -22,82912 26,20416 -3,235457
-0,731132 -3,235457 й крок
5.1. Розрахуємо F-критерії:
F
c
n
k
kk
m
m
1 1
,
k=1, 2, 3.
Винесемо в окремий стовпець с — діагональні елементи матриці С, помножимо кожен з них на (15-3)/(3-1)
= 6, отримаємо:
F
1
= 195,5320; F
2
= 214,2354; F
3
= 29,87303.
5.2. Значення критеріїв F
k
порівняємо з табличним при (n–m)
= 17 і (m–1)
= 2 ступенях вільності і рівні значущості α=0,05 (таблиця
F-розподілу або статистична функція FРАСПОБР):
F
табл
= FРАСПОБР(0,05; 17; 2) = 19,43703.
Оскільки F
1
> табл, F
2
> табл, F
3
> табл, то робимо висновок, що перша, друга і третя незалежні змінні мультиколінеарні з іншими.
5.3. Розрахуємо коефіцієнти детермінації для кожної змінної:
R
c
k
kk
2 1
При розрахунках можна використати виписані раніше значення с 2
0,958339;
R
2 2
0,961838;
R
3 й крок
Знайдемо часткові коефіцієнти кореляції, які характеризують щільність зв’язку між двома змінними за умови, що всі інші змінні
x
l1
, x
l2
, ... , x
lm
не впливають на цей зв’язок (існування парної мульти- колінеарності).
r
c
c c
kj
kj
kk jj
,
де с — елемент матриці С, що знаходиться в k-му рядку та j-му стовпці, коли k
≠j, тобто елементи с, с, с с і с — діагональні елементи матриці С (с, с, су відповідних комбінаціях).
r
12
= 0,910257; r
13
= 0,070234; r
23
= 0,297472.
Однак, якщо порівняти абсолютні значення часткових і парних коефіцієнтів, то можна побачити, що перші значно менші за останні. Тому на основі знання парних коефіцієнтів кореляції висновок про мультиколінеарність робити неможливо. Для цього необхідно ще ви- конати сьомий крок.
7-й крок.
7.1. Розрахуємо t-критерії:
t
r
n m
r
kj
kj
kj
|
|
1 2
;
t
12
= 9,064506 ;
t
13
= 0,290302;
t
23
= 1,284666.
7.2. Значення критеріїв t
kj
порівняємо з табличними при
(n–m)
= 17 ступенях вільності і рівні значущості α = 0,05 (таблиця розподілу Стьюдента або статистична функція СТЬЮДРАСПОБР): табл 2,109818.
Оскільки табл, табл, табл то між першою і другою неза- лежними змінними існує мультиколінеарність.
Якщо
F
-критерій більше табличного значення, а це значить, що та змінна залежить від всіх інших в масиві, то необхідно вирішу- вати питання про її виключення з переліку незалежних змінних мо- делі.
Якщо
t
kj
-критерій більше табличного, то ця пара змінних (і
x
j
) тісно взаємопов’язана. Звідси, аналізуючи рівень обох критеріїв
F
i
t
, можна зробити обґрунтований висновок про те, яку із змінних необхідно виключити із дослідження чи замінити іншою. Але заміна масиву незалежних змінних завжди повинна узгоджуватись з еконо- мічною доцільністю, що випливає з мети дослідження.
≠j, тобто елементи с, с, с с і с — діагональні елементи матриці С (с, с, су відповідних комбінаціях).
r
12
= 0,910257; r
13
= 0,070234; r
23
= 0,297472.
Однак, якщо порівняти абсолютні значення часткових і парних коефіцієнтів, то можна побачити, що перші значно менші за останні. Тому на основі знання парних коефіцієнтів кореляції висновок про мультиколінеарність робити неможливо. Для цього необхідно ще ви- конати сьомий крок.
7-й крок.
7.1. Розрахуємо t-критерії:
t
r
n m
r
kj
kj
kj
|
|
1 2
;
t
12
= 9,064506 ;
t
13
= 0,290302;
t
23
= 1,284666.
7.2. Значення критеріїв t
kj
порівняємо з табличними при
(n–m)
= 17 ступенях вільності і рівні значущості α = 0,05 (таблиця розподілу Стьюдента або статистична функція СТЬЮДРАСПОБР): табл 2,109818.
Оскільки табл, табл, табл то між першою і другою неза- лежними змінними існує мультиколінеарність.
Якщо
F
-критерій більше табличного значення, а це значить, що та змінна залежить від всіх інших в масиві, то необхідно вирішу- вати питання про її виключення з переліку незалежних змінних мо- делі.
Якщо
t
kj
-критерій більше табличного, то ця пара змінних (і
x
j
) тісно взаємопов’язана. Звідси, аналізуючи рівень обох критеріїв
F
i
t
, можна зробити обґрунтований висновок про те, яку із змінних необхідно виключити із дослідження чи замінити іншою. Але заміна масиву незалежних змінних завжди повинна узгоджуватись з еконо- мічною доцільністю, що випливає з мети дослідження.
29
сПисок ліТераТури
Основна
1. Грубер Й. Економетрія: Вступ до множинної регресії та еконо- метрії: У 2 т. — К Нічлава, 1998. — Т. 1. — 384 с 1999. — Т. 2. —
308 с 2. Доугерти К. Введение в эконометрику. — М ИНФРА-М, 1997.
— 402 с 3. Економетрія: Навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. / О. Л. Ле- щинський, В. В. Рязанцева, О. О. Юнькова. — К МАУП, 2003.
— 208 с 4. Корольов О. А Економетрія: Навч. посіб. — К КНТЕУ, 2000. —
660 с 5. Лук’яненко І. Г, Краснікова Л. І. Економетрика: Підручник. — К
Знання; КОО, 1998. — 494 с 6. Магнус ЯР, Катышев П. К, Пересецкий А. А Эконометрика. Начальный курс. — М Дело, 1998. — 248 с.
7. Наконечний С. І, Терещенко ТО, Романюк Т. П Економетрія:
Підручник. — 2-ге вид, допов. та перероб. — К КНЕУ, 2000. —
296 с.
Додаткова
1. Айвазян С. А, Мхитарян В. С Прикладная статистика и основы эконометрики: Учеб. для вузов. — М ЮНИТИ, 1998. — 1022 с.
2. Джонстон Дж Эконометрические методы. — М Статистика,
1980. — 444 с 3. Дрейпер С Прикладной регрессионный анализ. — М Мир,
1988. — Т. 1–2.
4. Катышев П. К, Пересецкий А. А Сборник задач к начальному курсу эконометрики. — М Дело, 1999. — 72 с 5. Маленво Э. Статистические методы в эконометрии. — М Статистика Вып. 1. — 423 с 1976. — Вып. 2. — 325 с 6. Винн Р, Холден К Введение в прикладной эконометрический анализ. — М Финансы и статистика, 1981. — 294 с 7. Клас А, Гергели К, Колек Ю, Шуян И Введение в эконометричес- кое моделирование. — М Статистика, 1978. — 152 с 8. Тинтнер Г Введение в эконометрию. — М Статистика, 1965.
— 361 с
30 9. Клейнер Б. Г. Производственные функции. — М Финансы и статистика. Алмон Д. Система функций потребления и ее оценка для Бельгии
// Экономика и матем. методы. — 1978. — XIV, вып. 3. — С. 480-
502.
11. Рабочая книга по прогнозированию / Отв. ред. ИВ. Бестужев-
Лада. — М Мысль, 1982. — 430 с 12. Хазанова Л. Э Математическое моделирование в экономике
Учеб. пособие. — М БЕК, 1998. — 141 с 13. Дубров А. М, Лагоша Б. А, Хрусталев ЕЮ. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе Учеб. пособие. — М Финансы и статистика, 1999. — 176 с 14. Жданов С. А Экономические модели и методы в управлении. — М Дело и сервис, 1998. — 176 с 15. Єлейко В. М Основи економетрії. — Львів.: Марка Лтд, 1995. —
191 с 16. Емельянов АС Эконометрия и прогнозирование. — М Экономика с
змісТ
Пояснювальна записка ........................................................................ 3
Тематичний план дисципліни “Економетрія” ............................ 4
Зміст практичних занять ..................................................................... Список літератури ................................................................................ 28
Відповідальний за випуск АД. Вегеренко
Редактор С. Г. Рогузько
Комп’ютерне верстання О. Л. Тищенко
Зам. № ВКЦ-3516
Підп. до друку 01.06.09. Формат 60
×84/
16
. Папір офсетний.
Друк ротаційний трафаретний. Ум. друк. арк. 1,74. Обл.-вид. арк. 1,6. Наклад 50 пр.
Міжрегіональна Академія управління персоналом (МАУП)
03039 Київ-39, вул. Фрометівська, 2, МАУП
ДП “Видавничий дім Персонал
03039 Київ-39, просп. Червонозоряний, 119, літ. ХХ
Свідоцтво про внесення до Державного реєстру
суб’єктів видавничої справи ДК № 3262 від 26.08.2008
1 2 3