Погашение потребительского кредита изменяющимися
суммами
При погашении кредита изменяющимися суммами возникает задача определения суммы, идущей на погашение основного долга и суммы процентных платежей.
Для ее решения можно воспользоваться «правилом 78». Название этого правила вызвано тем, что сумма порядковых номеров месяцев года равна 78
(1+2+3+…+12=78) В соответствии с этим правилом уплата процентов при первом платеже составит величину
78 12
общей начисленной суммы процентов, а оставшаяся часть платежа пойдет на уплату основного долга.
При втором платеже на оплату процентов пойдет
78 11
общей начисленной суммы процентов и т.д. Иначе говоря, процентные платежи являются убывающей арифметической прогрессией, сумма членов которой определяется по формуле
,
2 1
n
a
a
S
n
n
или
,
2 1
n
n
d
a
S
n
n
(Ф. 9) где
a
1
– первый член прогрессии;
a
n
– последний член прогрессии;
n – число членов прогрессии;
d – разность членов прогрессии.
При выдаче ссуды на n лет из условия m погасительных платежей в году, последовательные номера месяцев за весь период погашения могут быть записаны в обратном порядке следующим образом:
1 2
3 1
2;
1
nm
t
m n; t
m n
; t
m n
... t
.
Сумма этих чисел по формуле арифметической прогрессии будет равна:
,
2 1
2 1
m
n
m
n
m
n
m
n
S
nm
В каждом платеже доля порядкового числа данного месяца составит:
i
nm
t
S
12
В абсолютном выражении она будет равна:
i
i
nm
nm
t
t
I
P n r
S
S
Сумма погашенного долга на конец периода k равна:
1
k
i
k
i
nm
t
S
S
P n r
S
Погашение потребительского кредита методом «От Ста»
Существует еще один способ погашения потребительского кредита, когда процентный платеж рассчитывается методом счета "от ста". При этом процентный платеж за пользование потребительским кредитом начисляется предварительно: для первого месяца (периода) процентный платеж рассчитывается на всю величину долга, а в каждый следующий месяц – на оставшуюся часть долга, т.е. на величину долга, уменьшенную на уже выплаченную часть; сам же долг выплачивается равными взносами.
Предположим, что величина кредита P, и он должен выплачиваться равными месячными платежами m раз в год в течение N=n*m периодов по годовой ставке r.
Тогда, сумма процентного платежа за первый месяц составит:
1
%
100%
P r
P r
I
m
m
Во втором месяце:
2 1
1
P
r
r
I
P
P
N
m
m
N
В третьем месяце:
3 2
2 1
P
r
r
I
P
P
N
m
m
N
В месяце l:
1 1
1
N
r
N
r
N
N
r
I
P
P
P
m
N
m
N
m N
Общая величина процентных платежей I будет равна:
1 2
1 1
1 1
r
I
P
m
N
N
N
13
Отсюда, учитывая формулу суммы арифметической прогрессии:
1 1
1 1
2 2
2
r
N
r N
N
r
I
P
P
P
N
m
N
m
N
m
Вексельное кредитование
Кредит в условиях рынка выступает в различных формах. Основными являются коммерческий и банковский кредит.
Распространенным инструментом коммерческого кредитования является коммерческий вексель (простой или переводной).
Векселедержатель (кредитор) в случае необходимости получения денег по векселю ранее указанного в нем срока, может продать его банку или другому субъекту по пониженной цене, т.е. по цене ниже номинальной стоимости веселя, указанной в нем. Такая сделка называется "учет векселя" или "дисконтирование". При этом сумма, полученная векселедержателем в результате этой сделки, называется – "дисконтированная сумма". Разность между номинальной и дисконтированной суммой называется – "дисконт".
Дисконт есть не что иное как величина процентного платежа, вычисленного со дня дисконтирования до дня, ранее предусмотренного для погашения векселя. Дисконт рассчитывается на основе так называемой "учетной
ставки".
1 1
;
1 1
1
;
S
P
P
t
n d
d
T
D
S
P
t
P
S
d
T
t
D
S
d
T
(Ф. 10)
Определение сроков ссуды.
В процессе подготовки кредитного договора, когда согласованы его основные параметры (сумма погашения долга S, процентная ставка r или учетная ставка d, величина ссуды P), срок погашения ссуды определяется по формуле выводимой следующим способом:
(1
);
S
P
r n
14 1
S
P
n
r
(Ф. 11)
В случае с учетной ставкой формула выводится следующим образом:
1
;
1 1
;
S
P
n d
P
n d
S
1
P
S
n
d
(Ф. 12)
В заключении отметим, что применение простой схемы начисления процентов используется в основном в краткосрочных финансовых сделках, т.е. сделках со сроком исполнения до 1 года. В ситуациях, когда сроки исполнения сделок являются среднесрочными (2-5 лет) и долгосрочными (5-
50 лет) чаще переходят к начислению процентов по сложной схеме. Далее именно ей и будет уделено основное внимание.
15
4. Сложные проценты
Логика исчисления
Основное отличие сложных процентов от простых заключается в том, что база для начисления процентов меняется от одного отчетного периода к другому. Сумма начисленных в каждом периоде процентов добавляется к капиталу предыдущего периода, и начисление процентов производится уже на эту новую базу.
В этом случае процесс наращения капитала течет не равномерно, а с
ускорением. Он описывается не математической, а уже геометрической
прогрессией.
Способ вычисления процентных платежей по сложным процентам иногда называется вычислением «процента на процент».
Механизм наращения первоначальной суммы капитала (базы начисления процентов) по сложным процентам называют капитализацией. Различают
годовую, квартальную, месячную и ежедневную капитализации.
Также как и при вычислении простых процентов, выделяют два способа начисления сложных процентов: декурсивный
(последующий) и антисипативный (предварительный).
Рассмотрим декурсивный метод расчета сложных процентов.
В конце 1-го периода (года) наращенная сумма равна:
1
(1
);
S
P
P r
P
r
В конце 2-го периода (2-го года) проценты начисляются уже на наращенную сумму:
2 2
(1
)
(1
)
(1
) (1
)
(1
) ;
S
P
r
P
r r
P
r
r
P
r
и т.д., т.е. в конце n-го периода наращенная сумма будет равна:
(1
) ;
n
n
S
P
r
(Ф. 13)
Следовательно, наращенная сумма за весь период может быть получена как сумма членов геометрической прогрессии, первый член которой равен P, а знаменатель (1+r). При этом величину называют сложным декурсивным
коэффициентом, а величину (1+r)
n
множителем наращения сложных процентов.
Использование в финансовых вычислениях простых и сложных процентов дает неодинаковые результаты. Различия между ними обусловлены сроком
16 сделок. Так при равной величине простых и сложных процентных ставок
пр
cл
r
r
при сроке ссуды менее 1 года, наращенная, сумма, вычисленная по простым процентам будет больше наращенной суммы, рассчитанной по сложным процентам и наоборот.
При n<1 года
(1
)
(1
)
n
пр
сл
n r
r
При n>1 года
(1
)
(1
)
n
пр
сл
n r
r
Проценты за дробное число лет
Нередко срок финансовой сделки выражен дробным числом (a – целое число лет; b – дробная часть года). В подобных случаях прибегают к смешанному начислению процентов:
(1
) 1
a
S
P
r
r b
(Ф. 14)
Номинальная
ставка
процентов
и
внутригодовая
капитализация процентов
Часто в финансовых сделках бывают ситуации, когда оговаривается годовая процентная ставка и количество начислений процентов в году.
Если начисление процентов происходит чаще, чем 1 раз в год (например, раз в полугодие, квартал, месяц и т.д.), то в кредитном или депозитном договоре прописывается номинальная годовая ставка процентов и указывается число периодов (m) начисления (капитализации) процентов в году.
Например, если
n
i
=12%, то при m=2 за год происходит два начисления процентов, т.е. раз в полгода. Причем за каждый период начисляется только половина
n
i
, т.е. 6%. При m=4 – проценты капитализируются 4 раза в год, т.е. раз в квартал, а при m=12 – раз в месяц. При этом за каждый период начисляется по 3% и 1% соответственно. Таким образом, за каждый период
1
m
, начисляется
m
i
n
процентов и происходит их капитализация. В итоге можно вывести следующую формулу сложных процентов при внутригодовой капитализации.
1 1
n m
N
n
n
r
r
S
P
P
m
m
(Ф. 15)
N – общее число периодов начисления за весь период финансовой операции.
Не трудно заметить, что при m=1 формула превращается в классическую формулу сложных процентов
17
1 1
n m
n
n
n
r
S
P
P
r
m
Вычисление
наращенных
сумм
на
основе
сложных
антисипативных процентов
Следуя логике начисления простых антисипативных процентов, в случае сложных антисипативных процентов выводим формулу:
1 2
2 1
1 1
1 1
1 1
(1
)
S
P
d
S
P
P
d
d
d
1
(1
)
n
n
S
P
d
(Ф. 16)
Эквивалентные проценты
В общем, эквивалентные ставки это такие ставки, при которых последствия финансовых сделок окажутся равноценными.
Рассмотрим ситуацию. Один банк начисляет проценты по вкладам по простой ставке, а другой – по сложной. При каких значениях простой и сложной ставки клиент, вкладывающий деньги на депозит получит на выходе одну и ту же сумму дохода? Иначе говоря, как определить эквивалентную сложную ставку для простой и наоборот?
При начислении процентов по сложной ставке, с возможностью внутригодовой капитализации:
1
nm
сл
сл
r
S
P
m
При начислении процентов по простой ставке:
1
пр
пр
S
P
r
n
Эквивалентность подразумевает, что накопленные суммы по первой и второй схеме должны быть одинаковыми. Следовательно:
18
1 1
1 1
сл
пр
nm
сл
пр
nm
сл
пр
S
S
r
P
P
r
n
m
r
r
n
m
Тогда можно выразить
сл
i
через
пр
i
и наоборот:
1 1
1 1
1 1
1 1
nm
сл
пр
сл
nm
пр
сл
nm
пр
nm
сл
пр
r
r
n
m
r
r
n
m
r
r
n
m
r
r
n
m
1 1
1 1
1 1
nm
сл
пр
nm
сл
пр
nm
сл
пр
r
r
n
m
r
r
n
m
r
m
r
n
Номинальная и эффективная (действительная) ставка
процентов
Номинальная годовая ставка процентов – ставка, которая прописывается в кредитном договоре и в первую очередь сообщается заемщику. Обычно она имеет относительно небольшое значение, чтобы быть привлекательной для клиентов банка. Однако она не отражает реальных издержек, которые понесет заемщик при пользовании банковским кредитом. Для отражения полных затрат заемщика по кредиту используется эффективная ставка кредитования.
Действительная (эффективная) ставка процентов – это ставка, показывающая относительные затраты заемщика по кредиту за год.
Для определения действительной ставки по кредиту необходимо:
Во-первых, определить фактическую сумму денег, которую заемщик получит на руки (в свое распоряжение)
факт
P
Во-вторых, определить полную сумму денег, которую заемщик должен уплатить по кредитному договору (со всеми скрытыми и дополнительным комиссиями)
полн
S
В-третьих, зная теперь первоначальную фактическую сумму кредита, полученную заемщиком и полную сумму, подлежащую уплате в банк,
19 нужно найти такую сложную процентную ставку (при годовом начислении процентов), чтобы из
факт
P
получить
полн
S
. Это и будет действительной ставкой по кредиту.
Для определения
факт
P
, необходимо уменьшить номинальную сумму кредита
ном
P
, на величину комиссий, уменьшающих сумму к получению, а также комиссии и платежи совершаемые до получения кредита. Сюда могут относиться:
1. Комиссия за обналичивание –
обн
ном
обн
К
P
k
2. Комиссия за рассмотрение заявки –
Р З
К
3. Комиссия за открытие счета –
Отк Сч
К
4. Страховка по кредиту –
Стр
К
Для определения
полн
S
необходимо к
ном
S
прибавить все комиссии и платежи, увеличивающие сумму к погашению. Сюда можно отнести комиссию за ведение счета, которая обычно представляет собой процент от номинальной суммы кредита, который уплачивается каждый месяц. Таким образом, общая сумма комиссии за ведение счета можно выразить следующим образом:
12
Вед Сч
ном
вед сч
К
P
k
n
где,
вед сч
k
– месячная процентная ставка комиссии за ведение счета.
Таким образом:
(1
)
факт
ном
обн
р з
откр
стр
обн
P
P
k
К
K
К
K
12
общ
ном
ном
вед сч
S
S
P
k
n
Тогда действительная (эффективная) ставка по кредиту будет рассчитываться следующим образом: