Реальная стоимость будущих накоплений с учетом инфляции и
реальная ставка процентов
Реальная стоимость будущих накоплений с учетом инфляции показывает ценность будущей суммы, которую мы получим по окончании сделки, но глазами настоящего момента. Эта величина имеет виртуальную природу, т.е. ее нельзя потрогать. Чтобы оценить ее мы попытаемся привести будущую сумму (S) к настоящему моменту, продисконтировав ее на величину инфляции за рассматриваемый период.
(1
)
n
S
Sr
i
1
(1
)
n
n
P
r
Sr
i
(Ф. 18)
В случае, когда имеет место внутригодовая капитализация формула приобретает следующий вид:
1
(1
)
n m
n
r
P
m
Sr
i
(Ф. 19) где,
Sr
= реальная (дисконтированная на величину инфляции) стоимость будущей накопленной суммы.
i
= темп инфляции.
Реальная ставка процентов отвечает на вопрос: какой была бы ставка процентов если бы не было инфляции? Она логично вытекает из
21 вышеуказанных формул процентной ставки и реальной стоимости будущей накопленной суммы по сложным процентам и рассчитывается следующим образом:
1 1
1 1
1 1
1 1
1
i
i
i
r
r
i
r
r
i
r
i
r
i
1
i
r i
r
i
(Ф. 20) где,
i
r
= реальная ставка процентов (реальная доходность) с учетом инфляции
Бывают ситуации, когда наоборот необходимо рассчитать процентную ставку при заданной реальной доходности вложений. Тогда выводим формулу следующим образом:
1 1
1
(1
) (1
) 1 1 1
i
i
i
i
r
r
i
r
i
r
r
r
i
r i
i
i
r
r
i
r i
(Ф. 21)
Данную формулу называют формулой Фишера.
22
5. Аннуитеты
Последовательность из n одинаковых регулярных денежных потоков по одному в каждом периоде называется аннуитетом. В таком случае денежные поступления аннуитет можно обозначить следующим образом:
1 2
n
CF
CF
CF
CF
Виды аннуитетов
По времени наступления платежей различают два типа аннуитета:
Обыкновенный (постнумерандо) аннуитет – когда платежи происходят в конце каждого периода.
Авансовый (пренумерандо) аннуитет – когда платежи происходят в начале каждого периода.
По продолжительности денежного потока различают:
1. Срочный аннуитет – денежный поток с равными поступлениями в течение ограниченного промежутка времени.
2. Бессрочный аннуитет – когда денежные поступления продолжаются достаточно длительное время.
Будущая стоимость обыкновенного и авансового аннуитета
Попытаемся вывести формулу будущей стоимости для обыкновенного аннуитета. Будущая стоимость аннуитета – это сумма будущих стоимостей всех его денежных потоков
1 1
2 2
(1
)
;
(1
)
;
n
n
n
FV
CF
r
FV
CF
r
FV
CF
Если переписать члены этого ряда в обратном порядке, то можно увидеть, что это есть геометрическая прогрессия, в которой первый член равен a
1
= CF, а знаменатель прогрессии равен q= (1+r). Сумма членов геометрической прогрессии определяется по формуле:
1 1
1
n
n
a
q
S
q
(Ф. 22)
Подставив в эту формулу данные по обыкновенному аннуитету получим:
(1
)
1
(1
)
1
(1
) 1
n
n
CF
r
r
FVA
CF
r
r
(Ф. 23)
23
При этом
(1
)
1
n
r
r
является коэффициентом наращения будущей стоимости аннуитета.
На практике, используется три основных метода вычисления коэффициента наращения будущей стоимости аннуитета.
1. Вычисление с помощью таблиц.
2. Вычисление с помощью калькулятора (финансового калькулятора).
3. Вычисление с помощью электронных таблиц.
В случае авансового аннуитета (например, выплата аренды за квартиру в начале месяца), будущая стоимость авансового аннуитета будет рассчитываться по следующей формуле:
(1
)
1
(1
)
n
r
FVA
CF
r
r
(Ф. 24)
Текущая стоимость обыкновенного и авансового аннуитета
Текущая стоимость обыкновенного аннуитета складывается из дисконтированных стоимостей входящих в него денежных потоков. Так как первый денежный поток приходит в конце периода, а мы дисконтируем к началу периода, то:
1 2
2
;
;...
;
1
(1
)
(1
)
n
n
CF
CF
CF
PV
PV
PV
r
r
r
Таким образом, сумма этих дисконтированных стоимостей денежных потоков:
1 2
1 1
;
1
t
n
n
t
PV
PV
PV
CF
r
Мы снова видим, что это – геометрическая прогрессия, где первый член равен
1
(1
)
CF
a
r
, а знаменатель прогрессии равен
1 1
q
r
. Поэтому, следуя той же формуле суммы геометрической прогрессии, подставляем эти данные:
24 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
(1
)
1
;
1 (
)
n
n
n
n
n
n
CF
CF
r
r
r
PVA
CF
r
r
r
r
r
r
r
r
r
CF
CF
CF
r
r
r
1 1
(1
)
;
n
r
PVA
CF
r
(Ф. 25)
При этом
1 1
(1
)
n
r
r
является коэффициентом дисконтирования (приведения) для расчета текущей стоимости обыкновенного аннуитета.
Соответственно, для авансового аннуитета текущая стоимость будет равна:
1 1
(1
)
(1
);
n
r
PVA
CF
r
r
(Ф. 26)
Текущая стоимость бессрочного аннуитета
Рассмотрим специфику оценки текущей стоимости бессрочного аннуитета, т.е. при
n
. Коэффициент дисконтирования:
1 1
1
;
1
t
n
t
r
r
Тогда:
1
PVA
CF
r
(Ф. 27)
25
6. Контрольные вопросы
1. Что такое закон временной стоимости денег?
2. Каковы факторы временной стоимости денег?
3. В чем состоит сущность процентных платежей (приведите базовую формулу)?
4. Что такое простые проценты?
5. Что такое сложные проценты?
6. Что такое декурсивные проценты?
7. Что такое антисипативные проценты?
8. В чем суть германской модели начисления процентов?
9. В чем суть английской модели начисления процентов?
10. В чем суть французской модели начисления процентов?
11. Что такое метод «от ста»
12. Что такое эквивалентные процентные ставки?
13. Что такое внутригодовая капитализация?
14. Какой из методов начисления процентов выгоднее для вкладчика: простая ставка или сложная? Всегда или все-таки имеются какие-то ограничения?
15. С точки зрения банка выдающего кредит что лучше работать по процентной или учетной ставке? Почему?
16. Что такое эквивалентные проценты?
17. Что такое эффективная ставка процента по кредитному договору?
18. Что такое будущая реальная стоимость накоплений?
19. Что такое аннуитет?
20. Чем отличается «постнумернадо» от «преднумерндо аннуитета?»
26
7. Типовые задачи
Простые проценты
Задача 1. Фирма приобрела в банке вексель, по которому через год
должна получить 12 млн. рублей (номинальная стоимость векселя). В
момент приобретения цена векселя составила 10 млн. рублей.
Определить доходность сделки, т.е. размер процентной ставки.
Задача 2. Коммерческий банк приобрел на 200 млн. руб. государственных
краткосрочных облигаций, со сроком погашения через 6 месяцев. По
истечение этого срока банк рассчитывает получить 230 млн. руб. при
погашении ГКО. Определить их доходность.
Задача 3. Банк выдал своему клиенту ссуду в размере 1,5 млн. руб. сроком
на 2 года по ставке простых процентов 18% годовых. Определить сумму
процентов и наращенную сумму.
Задача 4. Банк выдал кредит 18 января в размере 50,0 млн. руб. Срок
возврата кредита 3 марта. Процентная ставка = 20%. Год не високосный.
Рассчитайте сумму погашения кредита по германской, французской и
немецкой моделям.
Задача 5. Выдана ссуда 5 млн.руб. на 45 дней по ставке 20%, база – 360
дней. Найти наращенную сумму, а также эквивалентную процентную
ставку по базе – 365 дней.
Задача 6. Банк предлагает вкладчику следующие условия по срочному
годовому депозиту: первое полугодие процентная ставка 15% годовых,
каждый следующий квартал ставка возрастает на 2%. Проценты
начисляются только на первоначально внесенную сумму. Определить
наращенную сумму, если вкладчик поместил в банк 500 тыс. руб.
Задача 7. Вкладчик поместил 500 тыс. руб. Какова будет наращенная за
три квартала сумма, если за первый квартал начисляются проценты в
размере 15% годовых, а каждый последующий месяц процентная ставка
возрастает на 2%, с одновременной капитализацией процентного дохода.
Задача 8. Клиент обратился в банк за кредитом в сумме 7,0 млн. рублей
на срок 240 дней. Банк согласен предоставить кредит на следующих
условиях: проценты (18% годовых) должны быть начислены и выплачены из
суммы предоставляемого кредита в момент его выдачи. Определить
сумму полученного кредита.
Задача 9. Банк предоставил клиенту кредит на три месяца с 15
сентября по 15 декабря под залог 2 000 акций, курсовая стоимость
которых в день выдачи кредита (15 сентября) равнялась 2 000 рублей за
акцию. Сумма кредита составляет 75% курсовой стоимости залога;
27
кредит выдается под 20% годовых; за обслуживание залога банк взимает
1% от номинальной суммы кредита. Определить размер кредита,
полученного клиентом банка
1
.
Задача 10. Клиент банка, получивший кредит до 15 декабря в предыдущем
примере, в установленный срок сумел погасить только часть основного
долга в сумме 1,0 млн.руб. и одновременно получил согласие банка на
отсрочку уплаты оставшейся части долга до 15 февраля следующего года,
по ставке 22% годовых. Определить величину остатка основного долга и
проценты за него.
Задача 11. Холодильник ценой 20 тыс.руб. продается в кредит на два года
под 15% годовых. Погашение кредита осуществляется равными долями
через каждые полгода. Определить размер разового погасительного
платежа.
Задача 12. Кредит в сумме 15 млн. руб. выдан на 1 год под 20% годовых
(проценты
простые).
Погашение
задолженности
производится
ежемесячными платежами по «правилу 78». Составить план погашения
задолженности.
Задача 13. Предоставлен потребительский кредит в размере 50 000 руб.
на срок 2 года под 16% годовых с погашением 1 раз в квартал. Рассчитать
сумму процентов по кредиту и составить план погашения кредита
(амортизации кредита) по методу «от ста».
Задача 14. Через один год владелец векселя, выданного коммерческим
банком, должен получить по нему 200 000 рублей. Какая сумма была
внесена в банк в момент приобретения векселя, если доходность векселя
должна составить 20% годовых.
Задача 15. Владелец векселя 200 000 рублей и сроком обращения 1 год
предъявил его банку-эмитенту для учета за 90 дней до даты погашения.
Банк учел его по ставке 20%.
1) Определить дисконтированную сумму, т.е. сумму, полученную
владельцем векселя,
2) Определить величину дисконта.
3) При досрочном обращении владельца в банк, в каких
процентных ставках дисконтирования заинтересован банк
(больших или меньших, чем ставка доходности векселя)?
Поясните на данном примере.
1
Предоставленный банком кредит – полная сумма кредита, подлежащая возврату в банк
Полученный клиентом кредит – сумма кредита, полученная клиентом банка.
28
4) Рассчитайте годовую процентную ставку, отражающую
реальный доход, т.е. ставку, по которой фактически
начислены проценты на первоначальную сумму.
Задача 16. Вексель номинальной стоимостью 500 000 рублей, был учтен в
банке за 90 дней до срока погашения по учетной ставке 16%. Определить
дисконтированную
величину
векселя,
используя
антисипативный
(предварительный) метод начисления процентов.
Задача 17. Долговое обязательство в сумме 50 000 рублей должно быть
погашено через 90 дней с процентами 17%. Владелец обязательства учел
его в банке за 15 дней до наступления срока по учетной ставке 20%.
Определить дисконтированную сумму (сумму полученную владельцем в
банке. Выведите общую формулу для подобных ситуаций
Задача 18. Фирма планирует получение кредита в сумме 10,0 млн.рублей.
Банк предоставляет кредит под 23% годовых. На какой срок фирма может
взять кредит, с тем, чтобы подлежащая возврату сумма не превысила
12,0 млн.рублей?
Задача 19. Вывести формулу определения процентной ставки и учетной
ставки, при известном размере кредита (P), сумме погашения (S) и сроке
его выдачи (n).
Задача 20. Фирме необходим кредит в сумме 8,0 млн. рублей. Банк
согласен на его выдачу при условии, что через полгода он получит
вознаграждение в размере 1 млн. рублей. Определить уровень процентной
ставки.
Сложные проценты
Задача 21. Вкладчик внес в банк 500 тыс. рублей под 15% годовых.
Определить наращенную сумму через 4 года по простым и по сложным
процентам. Как изменится наращенная сумма, если каждый год банк
будет повышать ставку по депозиту на 2%.
Задача 22. Клиент внес в банк 2,5 млн.рублей под 11% годовых. Через 2
года и 270 дней он изъял вклад. Определить полученную им сумму по
истечении этого срока.
Задача 23. Клиент положил на депозит 10 000 рублей сроком на 1.5 года
под 12%. Рассчитайте доход, полученный клиентом по истечении при
полугодовой и ежеквартальной капитализации.
Задача 24. Клиент положил на депозит 20 000 рублей сроком на 1 год под
10% с ежемесячной капитализацией. Рассчитайте действительную
ставку по депозиту.
29
Задача 25. Выведите формулы эквивалентности сложной процентной и
сложной учетной ставок
Аннуитеты
Задача 26. Производственная фирма приняла решения о создании
инвестиционного фонда. С этой целью в течение 5 лет в конце каждого
года в банк вносится по 10 млн. руб. под 15% годовых с последующей их
капитализацией. Определите объем инвестиционного фонда?
Задача 27. Фирма планирует создание в течение четырех лет фонда
развития в размере 15 млн.руб. Какую сумму фирма должна вкладывать в
банк, если ставка доходности составляет 25%.
Задача 28. Страховая компания принимает установленный годовой
страховой взнос 6 млн.руб. 4 раза в год – по кварталам по 1,5 млн. руб. в
течение 3 лет. Банк же, обслуживающий страховую компанию начисляет
ей проценты из расчета 20% годовых (капитализация 1 раз в год).
30
8. Контрольные задачи
Простые проценты
ЗАДАЧА 1.
Владелец векселя 800 000 рублей и сроком обращения 1 год предъявил его банку-эмитенту для учета за 75 дней до даты погашения.
Банк учел его по ставке 30%.
1. Определить дисконтированную сумму, т.е. сумму ,полученную владельцем векселя,
2. Определить величину дисконта.
3. Рассчитайте эффективную годовую процентную ставку, отражающую реальный доход полученный банком, т.е. ставку, по которой фактически начислены проценты на первоначальную сумму.
1 2 3 4