Задача на тему: «Методы исследования операций: элементы теории игр» Альтернативы – то, что мы выбираем (пути или варианты решения проблемы). А то, к чему мы приходим в результате реализации альтернатив, называют исходами. Различают 3 основных типа зависимости исходов от альтернатив (3 типа связей между ними): Простейший тип связи, когда каждая альтернатива приводит к единственному исходу. В этом случае имеет место функциональная зависимость исходов от альтернатив, и решение принимается в условиях определенности. Более сложный тип связи, когда каждая альтернатива может привести к одному из нескольких исходов, каждый из которых может произойти с определенной вероятностью. В этом случае имеет место стохастическая зависимость исходов от альтернатив, и решение принимается в условиях риска. Самый сложный тип связи, когда каждая альтернатива может привести к одному из нескольких исходов, а количественная мера возможности появления последних отсутствует (нет количественной информации). В этом случае имеет место неопределенный тип связи исходов с альтернативами, и решение принимается в условиях неопределенности. При управлении производством принимать решения очень часто приходится, не имея достаточной информации, то есть в условиях неопределенности и риска. Методами обоснования решений в условиях неопределенности и риска занимается математическая теория игр. В теории игр рассматриваются такие ситуации, когда имеются 2 участника выполнения операции, каждый из которых преследует противоположные цели. В качестве участников могут выступать коллективы, конкурирующие предприятия и т.д. Во всех случаях предполагается, что операция проводится против разумного противника (конкурента), преследующего свои собственные цели и сознательно противодействующего достижению цели другим участником. Цель теории игр – выработка рекомендаций для различного поведения игроков в конфликтной ситуации, то есть выбор оптимальной стратегии поведения для каждого из них. Теория игр (оценка риска в «играх с природой»). В случае, когда между сторонами (участниками) отсутствует «антагонизм1» (например, в процессе работы предприятий и торговых посредников), такие ситуации называют «играми с природой». Здесь первая сторона принимает решение, а вторая сторона – «природа» – не оказывает первой стороне сознательного, агрессивного противодействия, но ее реальное поведение неизвестно. Пусть торговое предприятие имеет m стратегий: Т1, Т2, …, Тm и имеется n возможных состояний природы: П1, П2, …, Пn. Так как природа не является заинтересованной стороной, исход любого сочетания поведения сторон можно оценить выигрышем первой стороны для каждой пары стратегий Ti и Пj. Все показатели игры заданы платежной матрицей . По платежной матрице можно принять ряд решений. Например, оценить возможные исходы: минимальный выигрыш , (3) то есть наименьшая из величин в каждой i-й строке как пессимистическая оценка; максимальный выигрыш – то наилучшее, что дает выбор i-го варианта . (4) При анализе “игры с природой” вводится показатель, по которому оценивают, насколько то или иное состояние «природы» влияет на исход ситуации. Этот показатель называют риском. Риск при пользовании стратегией Ti и состоянии «природы» Пj оценивается разностью между максимально возможным выигрышем при данном состоянии «природы» и выигрышем при выбранной стратегии Ti: (5) Исходя из этого определения, можно оценить максимальный риск каждого решения: . (6) Решения могут приниматься по результатам анализа ряда критериев. Критерий, основанный на известных вероятностных состояниях «природы». Если известны вероятности состояний «природы» (например, спроса по данным анализа за прошлые годы): Р1 = Р(П1); Р2 = Р(П2); … ; Рn = Р(Пn), полагая, что Р1 + Р2 + …+ Рj +…+ Pn = 1. Тогда в качестве показателя эффективности (рациональности, обоснованности) стратегии Ti берется среднее (математическое ожидание) – выигрыш применения этой стратегии: (7) а оптимальной считают стратегию, для которой этот показатель эффективности имеет максимальное значение, то есть . (8) Если каждому решению Ti соответствует множество возможных результатов с вероятностями , то среднее значение выигрыша определится а оптимальная стратегия выбирается по условию . В этом случае можно воспользоваться и стратегией минимального среднего риска для каждого i-го состояния «природы»: (9) Максиминный критерий Вальда. Здесь выбирается решение, например, торговой организации, при котором гарантируется максимальный выигрыш в наихудших условиях внешней среды (состояния «природы»): (10) Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Здесь представляется логичным, чтобы при выборе решения вместо двух крайностей в оценке ситуации (оптимизм – пессимизм) придерживаться некоторого компромисса, учитывающего возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения «природы». В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения будет линейная комбинация минимального и максимального выигрышей и выбирается тот, для которого эта величина окажется наибольшей: , (11) где х – показатель пессимизма – оптимизма (чаще всего 0,5). Критерий минимаксного риска Сэвиджа. Здесь выбирают ту стратегию, при которой величина риска имеет минимальное значение в самой неблагоприятной ситуации: , (12) чтобы избежать слишком большого риска при выборе решения. Комплексный анализ всех этих критериев позволяет в какой-то мере оценить возможные последствия принимаемых решений. Задание. Известна матрица условных вероятностей Рij продажи старых товаров С1, С2, С3 при наличии новых товаров Н1, Н2, Н3 (см. табл.3). Таблица 3
Определить наиболее выигрышную политику продаж. Решение. Минимальный выигрыш: . Минимальный выигрыш при продаже старого товара: С1: С2: С3: где В13, В22, В31, В32 образуют систему пессимистических оценок выигрыша от продаж старых товаров. Максимальный выигрыш: . Максимальный выигрыш при продаже старых товаров: С1: С2: С3: где В11, В21, В33 образуют систему оптимистических оценок выигрыша от продаж старых товаров. При анализе «игры с природой» вводится показатель влияния какого-либо состояния «природы» на исход продаж, то есть показатель риска: каждый из которых составит матрицу рисков (см.табл.4). Таблица 4
Максимальное значение риска для каждого решения: , то есть при продаже товаров: С1: С2: С3: Решение о плане продаж принимается, исходя из анализа системы критериев. Критерий по известным вероятностным состояниям «природы» Pij: оптимальным считают стратегию, для которой этот показатель наибольший, то есть: , где - математическое ожидание выигрыша при i-й стратегии: где Bij – результат (выигрыш при применении ij-й стратегии): = = = Тогда то есть оптимальной стратегией по этому критерию будет продажа изделия С1. Максиминный критерий Вальда: то есть при продаже изделия С3 гарантируется выигрыш даже в наихудших условиях. Критерий пессимизма – оптимизма Гурвица: , где х – доля оптимизма – пессимизма (0,5). , то есть, исходя из уравновешенной точки зрения, принимается решение о продажах С1, С3. Критерий минимаксного риска Сэвиджа, по которому принимают решение минимальным значением риска в самой неблагоприятной ситуации: , где вычислена по матрице рисков. что соответствует целесообразности в смысле этого критерия продажам изделия С3. Комплексный анализ всех критериев позволяет предположить, что наилучшей стратегией продаж будет продажа изделий Н1, Н2, Н3, С1, С3. Изделие С2 должно быть снято с продаж. [Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента. – Спб.: Издательство «Лань», 2005. – с.128-137] 1 Антагонизм (от греч. antagonisma – спор, борьба) – противоречие, характеризующееся острой борьбой враждебных сил, тенденций. |