Приклад 10.8 Об’єкт керування описується лінійним диференціальним рівнянням вигляду:
(10.80)Знайти закон керування u, який забезпечує мінімум функціоналу (10.9) під час переходу з початкового стану
в кінцевий стан: 
.Маємо варіаційну задачу Лагранжа на умовний екстремум – знаходження мінімуму функціоналу (10.9) за наявності рівняння зв’язку, що отримуємо з рівняння об’єкта:
(10.81)Складемо допоміжну функцію:
де - множник Лагранжа.
Оскільки допоміжна функція містить першу і другу похідні, а також маємо дві змінні y і u, то рівняння екстремалі знайдемо як розв’язок системи рівнянь Ейлера-Пуассона (10.19):
(10.82)З другого рівняння отримуємо: u=k/(2c), тобто для визначення оптимального керування u необхідно знайти .
Додамо до рівнянь (10.82) рівняння зв’язку (10.81) і запишемо систему в зображеннях за Лапласом:
(10.83)Виключивши з цієї системи і u , отримаємо:
Характеристичне рівняння має вигляд:
(10.84)Таке саме характеристичне рівняння отримаємо і при розв’язку системи (10.83) відносно .
Поліном (10.84) можна розкласти на два із симетричним розташуванням коренів у правій і лівій півплощинах. Оскільки система передбачається стійкою, то враховуємо тільки ліві корені s1 і s2. Тоді розв’язок для і для у буде:
Диференціюємо останнє рівняння:
Тоді можна записати систему:
Із останніх двох рівнянь знаходимо
як функції координат 
(ці функції є лінійними) і підставивши їх до першого рівняння, отримуємо лінійну залежність координати від координат :
(10.85)Тоді оптимальне керування має вигляд:
(10.86)Відповідна передавальна функція керуючого пристрою буде:
(10.87)Таким чином, квадратичному критерію оптимальності вигляду (10.9) відповідає лінійний оптимальний закон керування (10.86), для здійснення якого необхідно мати зворотні зв’язки за всіма змінними стану системи. При цьому замкнута система залишається лінійною (рис. 10.16). Це можливе тільки за невеликих відхиленнях координат системи від положення рівноваги. Саме тому метод синтезу регулятора за квадратичним критерієм іноді називають оптимальною стабілізацією.
Зазначимо також, що функціонали, відмінні від квадратичних, обумовлюють нелінійні закони керування.
В
изначити коефіцієнти b1 і b2 можна так. Оскільки характеристичне рівняння замкнутої системи є рівнянням другого порядку і має корені s1 і s2 , то його можна подати у вигляді:
(10.88)Тут s1 і s2 корені характеристичного рівняння об’єкта (10.80) з урахуванням закону оптимального керування u=k/(2c).
З іншого боку, розв’язавши разом рівняння об’єкта (10.80) і регулятора (10.86), отримаємо:
Тоді характеристичне рівняння матиме вигляд:
(10.89)Дорівнюємо коефіцієнти при однакових степенях у рівняннях (10.88) і (10.89) і отримуємо:
Звідси знаходимо:
Визначивши з (10.84) корені s1 і s2 , можна знайти числові значення коефіцієнтів b1 і b2.
Аналогічно можна розв’язувати задачу і для об’єктів більш високих порядків, але обчислення стають більш громіздкими.
Методи аналітичного конструювання регуляторів з розповсюдженням на різні випадки обмежень останнім часом суттєво розширені. Розв’язок загальних задач АКР лінійних об’єктів доведено до рівнянь для визначення коефіцієнтів оптимальних керувань. Більш глибоко проблему аналітичного конструювання регуляторів розглядають у спеціальному курсі “Системи оптимального керування”.
Запитання для самоперевірки
Яка система керування називається оптимальною?
На які типи можна розділити обмеження координат і керувань?
Що таке критерій оптимальності? Назвіть основні типи критеріїв оптимальності.
Наведіть класифікацію задач оптимізації.
Які задачі називаються задачами динамічної оптимізації?
Назвіть класичні методи варіаційного числення.
Наведіть рівняння Ейлера і рівняння Ейлера-Пуассона. Поясніть їх суть.
Наведіть теорему Лежандра.
Наведіть рівняння Ейлера-Лагранжа.
Чим визначається кількість множників Лагранжа, що входять до функції Лагранжа?
У чому полягає перевага сучасних методів варіаційного числення порівняно з класичними методами?
Поясніть суть методу динамічного програмування.
Який принцип лежить у основі методу динамічного програмування?
Наведіть систему рівнянь Беллмана для системи першого порядку з однією керуючою дією.
Сформулюйте принцип максимуму Понтрягіна у загальному випадку.
Що таке функція Гамільтона?
Наведіть математичний запис принципу максимуму.
У чому полягає фізичний зміст оптимального керування?
У якій послідовності розв’язують задачу про максимальну швидкодію за принципом максимуму Понтрягіна?
Як визначаються моменти перемикання керувань у разі замкнутої системи? Розімкнутої системи?
У чому полягає основний недолік принципу максимуму?
Сформулюйте теорему про n-інтервалів.
Що таке аналітичне конструювання регуляторів?
1 2 3 4 5