Приклад 10.6 Визначити закон змінювання струму якоря двигуна постійного струму з незалежним збудженням, що забезпечує відпрацювання кутового переміщення 0 протягом мінімального часу Т при обмеженні струму якоря |i| іmax і статичному моменті Мс=0.
Рівняння, що описують динаміку двигуна, мають вигляд:
де - кутова швидкість двигуна; с – струмова стала двигуна; J – момент інерції електропривода.
Позначимо: = y1, = y2, i = u. Тоді рівняння двигуна матимуть вигляд:
(10.63)за початкових умов y1(0) = 0, y2(0) = 0 і при кінцевих значеннях змінних y1(Т) = 0, y2(Т) = 0.
Складаємо функцію Гамільтона:
Функція Н лінійна відносно u.Запишемо систему спряжених рівнянь:
(10.64)Звідси отримуємо: 2 = С2;
де С1 і С2 – сталі інтегрування.
Для досягнення максимуму Н необхідно, щоб 1 і u були одного знаку, тобто
u = umaxsign1 = іmaxsign1= іmaxsign(C1 - C2t).
Функція
має один корінь t1=C1/C2, тому керування u має одну зміну знаку:
(10.65)Визначимо момент перемикання t1. Для цього використаємо перше рівняння системи (10.63). На першій ділянці при t < t1 керування u = imax, тому dy1/dt = cimax/J.
За початкових умов y1(0) = 0 отримуємо розв’язок цього рівняння:
При t = t1 швидкість у кінці першої ділянки обчислюється за формулою:
(10.66)На другій ділянці при t t1 керування u = - іmax, тому dy1/dt = -cimax/J.
Розв’язок цього рівняння знаходимо за формулою:
Сталу інтегрування С3 визначимо з умови, що функція y1(t) при t = t1 безперервна і на другій ділянці слушна формула (10.66). Тоді отримуємо:
При t = T маємо y1(T) = 0, тобто
звідки t1= T/2.Час Т визначимо з умови, що за цей час кутове переміщення дорівнює 0. Тоді з другого рівняння системи (10.63) маємо:
або 
звідки знаходимо:
З урахуванням позначень струму якоря і кутової швидкості запишемо закони їх змінювання під час відпрацювання двигуном заданого переміщення:
Закон змінювання напруги на якорі можна визначити з рівняння: uя = іR + c.
Цей закон має вигляд:
Геометрична інтерпретація оптимального керування
Вище було зазначено, що функції і є імпульсами і задають напрямок руху системи. Розглянемо розімкнуту систему керування об’єктом, що являє собою послідовне з’єднання двох аперіодичних ланок першого порядку (рис. 10.11). Запишемо рівняння ланок у нормальній формі Коші:
(10.67)Функція Гамільтона матиме вигляд:
(10.68)Спряжені рівняння мають вигляд:
(10.69)Звідси знаходимо:
(10.70)Д
ля об’єкта, що розглядають, керування визначається вектором 
, складова якого 1 один раз змінює знак, а складова 2 – знаку не змінює. Розглянемо оптимальне керування на фазовій площині (у1; у2) (рис. 10.12). Виходячи з початкових умов, припустимо, що перший інтервал є додатним, отже, і функції 1 і 2 також додатні, оскільки вони завдають напрямок розгону. Побудуємо на фазовій площині ділянку фазової траєкторії 1, що відповідає розгону. Вектор фазової швидкості 
буде направлений по дотичній до траєкторії зі складовими (10.67) 
Для досягнення максимуму функції Н необхідно, щоб знаки 
співпадали, тобто вектори 
- паралельні. У деякий момент часу функція 1 змінює свій знак на від’ємний (10.70). Тому необхідно, щоб змінився знак і складової вектора фазової швидкості 
. Це можна зробити тільки за рахунок зміни знаку керуючої дії з +u на –u. При цьому рух буде відбуватися по траєкторії 2 (гальмування). Таким чином, і після зміни знаку вектори залишаються паралельними. Це й слугує ознакою оптимальності фазової траєкторії.10.5 Аналітичне конструювання оптимальних регуляторів
Аналітичним конструюванням регуляторів (АКР) називається методика синтезу оптимального регулятора для заданого об’єкта при заданих обмеженнях і критерію оптимальності, що задається у квадратичній інтегральній формі вигляду (10.8):
.Ця методика вперше була запропонована у роботах О.М.Льотова і Р.Калмана. Кожний з підходів має свої особливості, однак обидва рішення приводять до аналогічних результатів.
Суть задачі АКР полягає у визначенні варіаційними методами керуючої дії, яка мінімізує функціонал, що характеризує відхилення траєкторії справжнього руху системи від бажаної. У процесі аналітичного конструювання регуляторів відшукують закон керування у його аналітичній формі як деяку функцію фазових координат початкової системи. Таким чином, спочатку для заданого об’єкта керування при існуючих обмеженнях відшукують оптимальну траєкторію руху системи, а потім шляхом АКР визначають диференціальне рівняння (алгоритм керування) регулятора, що гарантує мінімальне відхилення траєкторії руху об’єкта керування від знайденої оптимальної траєкторії.
Узагалі рівняннями, що описують поведінку керуючого пристрою, можуть бути рівняння Ейлера, але вони не завжди виявляються такими, що реалізуються. Крім того, ці рівняння мають неприємну властивість: якщо час процесу керування у безперервній системі є скінченним, то рівняння Ейлера, що розглядають разом з рівняннями об’єкта, відповідають нестійкій системі регулювання. Так, у разі лінійного об’єкта і квадратичного функціоналу рівняння Ейлера є лінійними, причому серед коренів характеристичного рівняння обов’язково є як ліві, так і праві корені.
Якщо приєднання регулятора робить системи нестійкою, то це приєднання не може бути тривалим. Якщо відомо, що процес оптимального керування має спорадичний (одиничний, від випадку до випадку) характер, то можна піти на використання нестійкої системи, вмикаючи її лише на той момент, коли виникла потреба здійснити оптимальне керування, і обов’язково вимикаючи її після завершення керування. У тих випадках, коли регулятор має бути весь час підключеним до об’єкта, необхідно вжити заходів щодо забезпечення стійкості системи.
Цю задачу можна розв’язати шляхом відкидання у розв’язку рівняння складових, що відповідають додатним кореням. При цьому час керування стає нескінченно великим, проте функціонал набуває найменше з усіх можливих значення для різних Т.
Розглянемо окремі випадки такого роду систем і знайдемо рівняння екстремалі, що реалізує екстремум функціоналу (10.8) для цих випадків.
Нехай критерієм якості роботи системи слугує функціонал вигляду:
(10.71)Для знаходження екстремалі складаємо рівняння Ейлера (10.14). У даному випадку
, а значить:
(10.72)Характеристичне рівняння має вигляд:
(10.73)Для знаходження екстремалі необхідно враховувати тільки корені рівняння:
інакше система буде нестійкою. Таким чином, розв’язок рівняння (10.72) для стійкої системи має вигляд:
Сталу С визначають із початкових умов: при t = 0, y = y0, тоді
(10.74)Рівняння (10.74) є рівнянням екстремалі. Зазначимо, що екстремаль відповідає розв’язку диференціального рівняння першого порядку:
з характеристичним рівнянням 
де Т – постійна часу. Вагову константу r1 можна подати через цю постійну часу Т, якщо дорівняти поліноми: 
Звідси r1 = Т2, і тоді рівняння екстремалі матиме вигляд:
(10.75)Т
аким чином, при мінімізації функціоналу вигляду (10.71) структуру або параметри системи слід підбирати так, щоб перехідний процес у системі наближався до аперіодичного (10.75). Оскільки величина Т може бути взята різною, то маємо поле екстремалей (рис. 10.13), з яких вибираємо екстремаль, яка найбільш повно відповідає вимогам до системи.Наприклад, якщо
, то при t = 0: 
. Тоді 
де
- припустиме значення похідної від вихідної координати.Зазначимо, що при Т=0 отримуємо звичайний квадратичний інтегральний критерій:
(10.76)У цьому випадку рівняння екстремалі: у = 0. Фізично це означає, що при ступінчастому змінюванні керуючої дії вихідна координата у повинна змінитися стрибком від значення у0 до у=0. Зрозуміло, що в інерційній системі такий режим не можна реалізувати. Зазначимо також, що прагнення прискорити змінювання вихідної координати призводить до різкого збільшення коефіцієнта підсилення у ланцюгу зворотного зв’язку, що, у свою чергу, сприяє збільшенню коливальності процесу.
З’ясуємо на конкретному прикладі різницю синтезу систем за критеріями (10.71) і (10.76).
Приклад 10.7 Розглянемо слідкуючу систему заданої структури (рис. 10.14), яка описується диференціальним рівнянням другого порядку. Для поліпшення якості перехідного процесу виконавчий механізм охоплений жорстким від’ємним зворотним зв’язком за швидкістю. Необхідно визначити оптимальне значення коефіцієнта зворотного зв’язку kз.з., при якому критерії І1 та І2 набувають мінімального значення.
Передавальна функція розімкнутої системи має вигляд:
а диференціальне рівняння буде:
(10.77)Н
ехай вхідний сигнал змінюється стрибком від u до 0, тоді, вважаючи у(0)=1; 
і позначивши:
отримуємо:
(10.78)Визначимо величини І1 та І2 через коефіцієнти диференціального рівняння. Для цього помножимо (10.78) почергово на у і
. Тоді отримаємо:
(10.79)Врахуємо, що
і обчислимо такі інтеграли:
(інтегрування частинами);
Тоді після інтегрування системи (10.79) отримаємо:
Звідси
або 
Для знаходження kз.з. , що відповідає І1= min, запишемо:
Звідси оптимальне значення kз.з.:
Коефіцієнт kз.з., що відповідає І2 = min, буде за умови r1=0, тобто
Візьмемо, наприклад, Т = 0,5 с; k1 = 200; k2 = 0,25 c-1; тоді k0 = 50 c-1; a0 = T/k0 = 0,5/50 = 0,01 c2.
Оцінку І1 знаходимо, задаючи r1. Поставимо вимогу, щоб перехідний процес наближався до експоненти з постійною часу Т = 0,1 с, тоді r1 = Т2 = 0,01 с2, і відповідні коефіцієнти зворотного зв’язку мають значення:
Якість перехідного процесу визначається коефіцієнтом демпфірування , який у даному випадку (10.78) дорівнює:
З урахуванням значень kз.з.1 і kз.з.2 отримуємо відповідні значення коефіцієнта демпфірування: 1 = 0,7; 2 = 0,5.
На рис. 10.15 наведені результати моделювання перехідного процесу за допомогою пакета Matlab для обох випадків.
З графіків видно, що перерегулювання у першому випадку (kз.з.1 = 0,03; 1 = 0,7; безперервна лінія) не перевищує 5%, а у другому (kз.з.1 = 0,02; 1 = 0,5; пунктирна лінія) – досягає майже 20%, тобто вибір kз.з. за критерієм І1 (10.71) забезпечує менше перерегулювання, ніж за критерієм І2 (10.76). Подальше збільшення r1 приведе до збільшення kз.з.1 і, відповідно, 1. При цьому зменшиться перерегулювання, але зросте час перехідного процесу.
Т
Рис. 10.15 – Перехідні процеси у системі при kз.з.1=0,03 (безперервна лінія) і kз.з.2 = 0,02 (пунктирна лінія)
аким чином, при заданій структурі об’єкта ми не можемо реалізувати оптимальний перехідний процес, що мінімізує критерії І1 та І2 при будь-яких kз.з.. Це обумовлено інерційністю об’єкта керування, що залишає можливість реалізації процесу, лише близького до оптимального.
Як зазначалося раніше, у реальних системах керуючий сигнал u(t) обмежений за потужністю і величиною. Для врахування цього часто застосовують критерій вигляду (10.9):
Мінімізація цього інтеграла мінімізує величини у і u з урахуванням вагового коефіцієнта с.
1 2 3 4 5