Квадратні корені Введення У ході вирішення деяких
математичних задач доводиться оперувати з квадратними коренями. Тому важливо знати правила дій з квадратними коренями і навчитися перетворювати вирази, що їх містять. Мета - вивчення правил дій з квадратними коренями і способів
перетворення виразів з квадратними коренями.
Ми знаємо, що деякі раціональні числа виражаються нескінченними періодичними десятковими дробами, як, наприклад, число 1 / 1998 = +0,000500500500 ... Але ніщо не заважає уявити і число, в десятковому розкладанні якого не виявиться жодного періоду. Такі числа називаються ірраціональними.
Історія ірраціональних чисел сходить до дивовижного відкриття піфагорійців ще в VI ст. до н. е.. А почалося все з простого, здавалося б, питання: яким числом виражається довжина діагоналі квадрата зі стороною 1?
Діагональ розбиває квадрат на 2 однакових прямокутних трикутника, в кожному з яких вона виконує роль гіпотенузи. Тому, як випливає з теореми
Піфагора, довжина діагоналі квадрата дорівнює
. Відразу ж виникає спокуса дістати мікрокалькулятор і натиснути клавішу добування квадратного кореня. На табло ми побачимо 1,4142135. Більш досконалий калькулятор, який виконує обчислення з високою точністю покаже 1,414213562373. А за допомогою сучасного потужного комп'ютера
можна обчислити з точністю до сотень, тисяч,
мільйонів знаків після коми. Але навіть самий високопродуктивний комп'ютер, скільки б довго він не працював, ніколи не зможе ні розрахувати всі десяткові
цифри, ні виявити в них будь-який період.
І хоча у Піфагора та його учнів комп'ютера не було, обгрунтували цей факт
саме вони. Піфагорійці довели, що у діагоналі квадрата і його сторони загальної міри (тобто такого відрізка, який ціле число разів відкладався б і на діагоналі, і на боці) не існує. Отже, ставлення їх довжин - число
- Не можна виразити відношенням деяких цілих чисел m і n. А якщо це так, додамо ми, десяткове розкладання числа
не виявляє ніякої регулярної закономірності.
Слідами відкриття піфагорійців
Як довести, що число
ірраціонально? Припустимо, існує раціональне число m / n =
. Дріб m / n будемо вважати несократімой, адже скоротні дріб завжди можна привести до несократімой. Звівши обидві частини рівності, одержимо
. Звідси укладаємо, що m - число парне, тобто m = 2К. Тому
і, отже,
, Або
. Але тоді отримаємо що і n парне число, а цього бути не може, оскільки дріб m / n несократімой. Виникає протиріччя.
Залишається зробити висновок, що наше припущення невірно і раціонального числа m / n, рівного
не існує.
1. Квадратний корінь з числа
Знаючи час
t, можна знайти шлях при вільному падінні за формулою:
Вирішимо зворотний завдання.
Завдання. Скільки секунд буде падати камінь, скинутий з висоти 122,5 м?
Щоб знайти
відповідь, потрібно вирішити рівняння
З нього знаходимо, що
Тепер залишилося знайти таке позитивне число t, що його квадрат дорівнює 25. Цим числом є 5, так як
Значить, камінь буде падати 5 с.
Шукати позитивне число за його квадрату доводиться і при вирішенні інших завдань, наприклад при знаходженні довжини сторони квадрата по його площі. Введемо таке визначення.
Визначення. Невід'ємне число, квадрат якого дорівнює невід'ємного числа а, називається квадратним коренем з а. Це число позначають
Таким чином
Приклад. Так як
З негативних чисел не можна витягувати квадратний корінь, так як квадрат будь-якого числа або позитивний, або дорівнює нулю. Наприклад, вираз
не має числового значення.
У записі
знак називають знаком радикала (від
латинського «радікс» - корінь), а число
а - подкоренное числом. Наприклад, у записі
подкоренное число дорівнює 25. Так як
Це означає, що квадратний корінь з числа, записаного одиницею і
2n нулями, дорівнює числу, що записується одиницею і
n нулями:
= 10 ... 0
2n нулів n нулів
Аналогічно доводиться, що
2n нулів n нулів
Наприклад,
2. Обчислення квадратних коренів
Ми знаємо, що не існує раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2. Це означає, що
не може бути раціональним числом.
Він є ірраціональним числом, тобто записується у вигляді неперіодичної нескінченної десяткового дробу, причому перші десяткові знаки цього дробу мають вигляд 1,414 ... Щоб знайти наступний десятковий знак, треба взяти число 1.414
х, де
х може набувати значення 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, звести по порядку ці числа в квадрат і знайти таке значення
х, при якому квадрат менше, ніж 2, але наступний за ним квадрат більше, ніж 2. Таким значенням є
х = 2. Далі повторюємо те ж саме з числами виду 1,4142
х. Продовжуючи цей
процес, отримуємо одну за одною цифри нескінченної десяткового дробу, що дорівнює
.
Аналогічно доводиться
існування квадратного кореня з будь-якого позитивного дійсного числа. Зрозуміло, послідовне зведення в квадрат дуже трудомістке заняття, і тому існують способи швидше знаходити десяткові знаки квадратного кореня. За допомогою мікрокалькулятора можна знайти значення
з вісьмома вірними цифрами. Для цього достатньо ввести в мікрокалькулятор число
а> 0 і натиснути клавішу
- На екрані висвітиться 8 цифр значення
. У деяких випадках доводиться використовувати властивості квадратних коренів, які ми вкажемо нижче.
Якщо точність, гарантоване мікрокалькулятором, недостатня, можна скористатися способом уточнення значення кореня, що даються наступної теоремою.
Теорема. Якщо а - позитивне число і - Наближене значення для з надлишку, то - Наближене значення для по недоліку. Доказ. За умовою x
1> і тому х
1 2> a,
<1. Але
2 =
=
A . Оскільки
<1, то
a <A. Значить,
а і
- Наближене значення для
по недоліку.
Аналогічно доводиться, що якщо
- Наближене значення для
по недоліку, то
- Наближене значення
з надлишку.
Оскільки
і
є наближеними значеннями для
з надлишку і через
брак, то в якості кращого наближення для
природно вибрати середнє арифметичне цих чисел, тобто число х2 =
. А щоб одержати ще більш точне значення для
, Треба взяти середнє арифметичне чисел
, Тобто число х3 =
. Так обчислюються одне за іншим всі кращі і кращі наближені значення для
. Наближення ведуть до тих пір, поки два отримані значення
не співпадуть в межах заданої точності. Можна довести, що кожне наближення приблизно подвоює число вірних десяткових знаків.
Приклад 1. Уточнимо за формулою х2 =
наближення
х1 = 1,414 для
.
Рішення.
У нашому випадку
а = 2. Тому
х1 =
(1,414 + 1,4144271) + 1,4142135 ...
Виконавши ще одне наближення, ми переконаємося, що всі виписані знаки отриманої відповіді вірні, тобто число вірних знаків подвоїлася.
Приклад 2. Знайдемо наближене значення для
з точністю до 0,0001.
Рішення.
Виберемо за перше наближення для
число 2. Тоді друге наближення обчислюється так:
х2 =
= 2,25
Далі маємо
х3 =
= 2,2361,
х4 =
= 2,2361.
Значить, з точністю до 0,0001 маємо
= 2,2361. Відповідь:
3. Геометричні застосування
До вилучення квадратних коренів зводяться багато
геометричні задачі. Наприклад, в курсі геометрії доводять
теорему Піфагора: квадрат довжини гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів довжин катетів цього трикутника. Індійці дві тисячі років тому доводили її за допомогою наступного креслення.
\ * MERGEFORMAT Рис. 1
Бачимо, що площі заштрихованих фігур в обох квадратах рівні, але в одному випадку площа дорівнює
, А в іншому -
. Значить,
.
З теореми Піфагора випливає, що відстань між точками
М (х1; у1) і N (x2; y2) координатної площини (рис. 2) виражається формулою
MN =
(1)
Приклад 1. Знайдемо відстань від вершини дерева до кінця його тіні, якщо висота дерева дорівнює 12 м, а довжина тіні - 16 м.
Рішення. За теоремою Піфагора маємо
Так як
, Тобто відстань дорівнює 20 м.
Приклад 2. Знайдемо відстань між точками
М (3; 1) та
N (8; -11) координатної площини.
Рішення.
За формулою (1) маємо MN =
=
= 13
4. Основні тотожності для квадратних коренів
З визначення квадратного кореня випливає, що рівність
= Х, де а
0, вірно в тому і тільки в тому випадку, коли
х
2 = а, причому х
0. Замінюючи в рівності х
2 = а змінну
х на
, Отримуємо тотожність
2 = а, (1)
вірне для всіх а
0. Замінюючи в рівності
= Х змінну
а на
х 2, отримуємо тотожності
= Х, (2)
яке вірно для всіх х
0.
Наприклад, 2 = 25;
2 = 8;
2 = 0,11;
= 6;
= 0,24.
Формули
і
показують, що
для невід'ємних чисел операції зведення в квадрат і витягання квадратного кореня взаємно назад, тобто якщо виконати над яким-небудь невід'ємним числом спочатку одну з цих операцій, а потім іншу, то число не зміниться.
Якщо а - від'ємне число, то рівність
невірно, тому що
не має числового значення. При негативних значеннях
х невірно і рівність
.
Наприклад, 2 =
= 5, а не -5. Так як
х 2 =
2, а при
х <0 маємо -
х> 0,
то при
х <0 вірно рівність
=
2 = -
х (3)
Отже,
x, якщо x
0,
= - Х, якщо х <0.
Але ми знаємо, що х, якщо х
0,
=
- Х, якщо х <0.
Тому для всіх чисел
х вірно рівність
=
. (4)
Наприклад, =
= 8,
2 =
= 12.
Приклад 1. Спростимо вираз
+
2 +
-
2. Р і ш е н і е. Оскільки
2 = 3,
2 =
2, то
+
2 +
-
2 =
2 +
2
+
2 +
2 -
2 +
2 = 2
2 + 2
2 = 2
3 + 2
2 = = 10.
Приклад 2. Знайдемо значення виразу
при а = 2,1; b = 3,6
Рішення. При будь-якому значенні
х виконується рівність
=
. Тому
=
. Але
=
= 1,5. Значить, при а = 2,1; b = 3,6 маємо
= 1,5.
5. Витяг квадратного кореня з добутку, дробу і ступеня
Вирази
і
мають одне і те ж значення 6.
У самому справі,
= 3,
= 2,
= 6, тому
= 3
2 = 6 і
= =
= 6. Рівність
=
- Приватний
випадок загального твердження.
Теорема 1. Квадратний корінь з добутку двох невід'ємних чисел дорівнює добутку квадратних коренів з цих чисел, тобто при а 0, b 0 маємо = Доказ. Нехай числа
а і
b ненегативні.
Тоді за правилом зведення в ступінь маємо
2 =
=
А b Крім
того,
- Невід'ємне число як добуток двох невід'ємних чисел
і
. Тому
=
Приклад 1. Знайдемо значення виразу
Рішення.
Ми маємо
= 25,
= 16,
= 0,01,
і тому
= 25
16
0,01 = 4.
Аналогічно доводиться, що
=
Теорема 2. Квадратний корінь з дробу з ненегативним чисельником і позитивним знаменником дорівнює частці від ділення квадратного кореня з чисельника на квадратний корінь з знаменника, тобто при а 0 і b> 0 маємо Теорема 3. При будь-якому значенні а й при будь-якому b 0 вірно рівність 6. Перетворення виразів
При перетворенні вираженні, що містять квадратні корені, виявляється корисною наступна формула:
=
,
де А
два В (в обох частинах рівності одночасно беруться знаки «плюс» і «мінус«). Щоб довести це рівність, зауважимо, по-перше, що і ліва, і права його частини є при А
0, В
0, А
2 - В
0 невід'ємними числами. Зведемо тепер обидві частини рівності
в квадрат. У лівій частині маємо А
, В правій частині по формулі квадрата суми чи різниці отримуємо
2
+
=
= А
2
= А
2
=
= А
2
= А
2
= А
.
Таким чином, квадрати обох частин рівності
виявилися однаковими, а оскільки ці частини - невід'ємні числа, то рівність
доведено.
Приклад 1. Спростити вираз
.
1-й спосіб. В одному випадку маємо А = 5, В = 21, А
2 - В =
= 5
2 - 21 = 4, і тому за формулою
=
-
=
-
.
2-й спосіб. Наведемо подкоренное вираз до повного квадрату:
5 -
=
=
=
=
=
=
.
Тому
=
=
Приклад 2. Спростити вираз
1-й спосіб: =
+
=
=
+
=
2-й спосіб. Наведемо подкоренное вираз до повного квадрату:
Приклад 3. Спростити вираз
Рішення.
Відповідь: 10.
Приклад 4. Спростити
Рішення.
1.
2.
3.
Відповідь:
Приклад 5. Яке з чисел більше:
або
?
Рішення.
Очевидно, що
Оцінимо суму
Так як
, А
, То
Відповідь:
7. Алгоритм добування квадратного кореня стовпчиком
Цей спосіб дозволяє знайти наближене значення кореня з будь-якого дійсного числа з будь-якою наперед заданою точністю.
Для ручного виведення кореня застосовується запис, схожа на поділ стовпчиком. Нехай витягується корінь з цілого числа
A. На відміну від ділення знесення проводиться групами по дві цифри, причому групи слід відзначати, починаючи з десяткової коми (в обидві сторони), дописуючи необхідною кількістю нулів.
Знайти
a n, квадрат якого найближче підходить до групи старших розрядів числа
A, залишаючись менше останнього.
Провести віднімання зі старших розрядів
A квадрата числа
a n. Подвоїти
a n. Зрушити залишок від віднімання на 2 розряди вліво, а величину 2
a n - на один розряд вліво. Під зрушенням в даному алгоритмі розуміється множення / ділення на ступені 10, що
відповідно є зрушенням вліво і вправо.
Приписати праворуч від залишку вирахування два наступних старших розряду числа
A. Порівняти отримане число з нулем.
Якщо отримане число не дорівнює 0, то знайти таке 2
a n - 1, яке, будучи помноженим на
, Дасть у результаті число, менше отриманого на четвертому кроці, але найбільш близький до нього за значенням. Перейти до п. 3.
Якщо у п. 6 отримано рівність, то перейти до п. 4, попередньо приписавши праворуч від
a n нуль.
Після отримання кількості цифр, рівного
, Припинити обчислення (якщо потрібно ціле значення) або продовжувати до необхідної точності, записуючи отримувані цифри після коми.
Описана послідовність дій в математиці отримала назву
алгоритму добування квадратного кореня. 1. Щоб витягти квадратний корінь з даного цілого числа, розбивають його справа наліво на
межі, по дві цифри в кожній, крім першої (крайній лівій), в якій може бути і одна цифра.
2. Щоб знайти першу цифру кореня, витягають квадратний корінь з першої грані.
3. Щоб знайти другу цифру, з першої межі віднімають квадрат першої цифри кореня, до залишку зносять друга грань і число десятків числа, що вийшло ділять на подвоєну першу цифру кореня; отримане ціле число знову піддають випробуванню.
4.
Випробування проводиться так: за вертикальною рискою (зліва від залишку) пишуть подвоєне, раніше знайдене число кореня, і до нього з правого боку приписують випробувану цифру; вийшло після цієї приписки число множать на випробувану цифру. Якщо після множення вийде число, більше залишку, то випробовувана цифра не годиться і треба випробувати наступну меншу цифру.
5. Наступні цифри кореня знаходять за допомогою того ж прийому.
6. Якщо після знесення межі число десятків числа, що вийшло виявиться менше дільника, тобто менше подвоєної знайденої частини кореня, щось докорінно ставлять 0, зносять наступну грань і продовжують дію далі.
Приклад. Винесемо корінь
.
1-й крок. Число 8649 розбиваємо на межі справа наліво, кожна з яких повинна містити дві цифри. Одержуємо дві грані:
.
2-й крок. Витягаємо квадратний корінь з першої межі 86, отримуємо
з недоліком. Цифра 9 - це перша цифра кореня.
3-й крок. Число 9 зводимо в квадрат
(2 вересня = 81) і число 1981 віднімаємо з першої межі, отримуємо 1986 - 81 = 5. Число 5 - перший залишок.
4-й крок. До залишку 5 приписуємо друга грань 49, отримуємо число 549.
5-й крок. Подвоюємо першу цифру кореня 9 і, записуючи ліворуч, отримуємо:
Ї 81
18 ...
ЇЇЇЇЇ 549
ЇЇЇЇЇ До числа 18 потрібно приписати таку найбільшу цифру, щоб твір числа, яке ми отримаємо, на цю цифру було б або дорівнює числу 549, або менше, ніж 549. Це цифра 3. Вона перебуває шляхом підбору: кількість десятків числа 549, тобто число 54 ділиться на 18, отримуємо 3, так як 183 ∙ 3 = 549. Цифра 3 - це друга цифра кореня.
6-й крок. Знаходимо залишок 549 - 549 = 0. Так як залишок дорівнює нулю, то ми отримали точне значення кореня - 93.
Процес виведення кореня закінчився. Число 93 - двозначне, тому що подкоренное число 8649 містить дві грані. Корінь з числа містить стільки цифр, скільки граней містить це число.
Аналогічно витягають квадратний корінь з десяткових дробів. Тільки подкоренное число розбивають на межі так, щоб кома була між гранями, тобто від коми вліво і вправо. Якщо в крайній правій грані виявиться одна цифра, то її доповнюють дописуванням до числа нуля.
Висновок Дана
робота присвячена квадратним коріння. Розглянуто правила дій з квадратними коренями, способи
перетворення виразів, що містять квадратні корені,
геометричні застосування. У роботі наведені приклади дій з квадратними коренями і перетворення виразів з ними. Розглянуто алгоритм добування квадратного кореня.
Таким чином, мета досягнута, завдання виконані.
Список використаних джерел
1.
Алгебра: Учеб. посібник для 8 кл. / Є.П. Кузнєцова та ін; під ред. Л.Б. Шнепермана. - 2 вид. - Мн.: Нар. асвета, 2005.
2.
Алгебра: Учеб. для 8-х кл. загаль. шк. з поглиблений. вивченням математики / К.О. Ананченка та ін - Мн.: Нар. асвета, 1994.
3. Петраков І.С. «Математичні гуртки в 8-10 класах»: Кн. для вчителя. - М.: Просвещение, 1987 р.
4. Енциклопедія для дітей. Т. 11.
Математика / Глав. ред. М. Аксьонова. М.: Аванта + плюс. 2004