Квадратні корені

Введення
У ході вирішення деяких математичних задач доводиться оперувати з квадратними коренями. Тому важливо знати правила дій з квадратними коренями і навчитися перетворювати вирази, що їх містять. Мета - вивчення правил дій з квадратними коренями і способів перетворення виразів з квадратними коренями.
Ми знаємо, що деякі раціональні числа виражаються нескінченними періодичними десятковими дробами, як, наприклад, число 1 / 1998 = +0,000500500500 ... Але ніщо не заважає уявити і число, в десятковому розкладанні якого не виявиться жодного періоду. Такі числа називаються ірраціональними.
Історія ірраціональних чисел сходить до дивовижного відкриття піфагорійців ще в VI ст. до н. е.. А почалося все з простого, здавалося б, питання: яким числом виражається довжина діагоналі квадрата зі стороною 1?
Діагональ розбиває квадрат на 2 однакових прямокутних трикутника, в кожному з яких вона виконує роль гіпотенузи. Тому, як випливає з теореми Піфагора, довжина діагоналі квадрата дорівнює . Відразу ж виникає спокуса дістати мікрокалькулятор і натиснути клавішу добування квадратного кореня. На табло ми побачимо 1,4142135. Більш досконалий калькулятор, який виконує обчислення з високою точністю покаже 1,414213562373. А за допомогою сучасного потужного комп'ютера можна обчислити з точністю до сотень, тисяч, мільйонів знаків після коми. Але навіть самий високопродуктивний комп'ютер, скільки б довго він не працював, ніколи не зможе ні розрахувати всі десяткові цифри, ні виявити в них будь-який період.
І хоча у Піфагора та його учнів комп'ютера не було, обгрунтували цей факт саме вони. Піфагорійці довели, що у діагоналі квадрата і його сторони загальної міри (тобто такого відрізка, який ціле число разів відкладався б і на діагоналі, і на боці) не існує. Отже, ставлення їх довжин - число - Не можна виразити відношенням деяких цілих чисел m і n. А якщо це так, додамо ми, десяткове розкладання числа не виявляє ніякої регулярної закономірності.
Слідами відкриття піфагорійців
Як довести, що число ірраціонально? Припустимо, існує раціональне число m / n = . Дріб m / n будемо вважати несократімой, адже скоротні дріб завжди можна привести до несократімой. Звівши обидві частини рівності, одержимо . Звідси укладаємо, що m - число парне, тобто m = 2К. Тому і, отже, , Або . Але тоді отримаємо що і n парне число, а цього бути не може, оскільки дріб m / n несократімой. Виникає протиріччя.
Залишається зробити висновок, що наше припущення невірно і раціонального числа m / n, рівного не існує.

 

 

1. Квадратний корінь з числа

Знаючи час t, можна знайти шлях при вільному падінні за формулою: Вирішимо зворотний завдання.
Завдання. Скільки секунд буде падати камінь, скинутий з висоти 122,5 м?
Щоб знайти відповідь, потрібно вирішити рівняння З нього знаходимо, що Тепер залишилося знайти таке позитивне число t, що його квадрат дорівнює 25. Цим числом є 5, так як Значить, камінь буде падати 5 с.
Шукати позитивне число за його квадрату доводиться і при вирішенні інших завдань, наприклад при знаходженні довжини сторони квадрата по його площі. Введемо таке визначення.
Визначення. Невід'ємне число, квадрат якого дорівнює невід'ємного числа а, називається квадратним коренем з а. Це число позначають
Таким чином
Приклад. Так як

З негативних чисел не можна витягувати квадратний корінь, так як квадрат будь-якого числа або позитивний, або дорівнює нулю. Наприклад, вираз не має числового значення.
У записі знак називають знаком радикала (від латинського «радікс» - корінь), а число а - подкоренное числом. Наприклад, у записі подкоренное число дорівнює 25. Так як Це означає, що квадратний корінь з числа, записаного одиницею і 2n нулями, дорівнює числу, що записується одиницею і n нулями:
= 10 ... 0
2n нулів n нулів
Аналогічно доводиться, що 2n нулів n нулів
Наприклад,

2. Обчислення квадратних коренів

Ми знаємо, що не існує раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2. Це означає, що не може бути раціональним числом. Він є ірраціональним числом, тобто записується у вигляді неперіодичної нескінченної десяткового дробу, причому перші десяткові знаки цього дробу мають вигляд 1,414 ... Щоб знайти наступний десятковий знак, треба взяти число 1.414 х, де х може набувати значення 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, звести по порядку ці числа в квадрат і знайти таке значення х, при якому квадрат менше, ніж 2, але наступний за ним квадрат більше, ніж 2. Таким значенням є х = 2. Далі повторюємо те ж саме з числами виду 1,4142 х. Продовжуючи цей процес, отримуємо одну за одною цифри нескінченної десяткового дробу, що дорівнює .
Аналогічно доводиться існування квадратного кореня з будь-якого позитивного дійсного числа. Зрозуміло, послідовне зведення в квадрат дуже трудомістке заняття, і тому існують способи швидше знаходити десяткові знаки квадратного кореня. За допомогою мікрокалькулятора можна знайти значення з вісьмома вірними цифрами. Для цього достатньо ввести в мікрокалькулятор число а> 0 і натиснути клавішу - На екрані висвітиться 8 цифр значення . У деяких випадках доводиться використовувати властивості квадратних коренів, які ми вкажемо нижче.
Якщо точність, гарантоване мікрокалькулятором, недостатня, можна скористатися способом уточнення значення кореня, що даються наступної теоремою.
Теорема. Якщо а - позитивне число і - Наближене значення для з надлишку, то - Наближене значення для по недоліку.
Доказ.
За умовою x _1> і тому х ₁ ^2> a, <1. Але ² = = A . Оскільки <1, то a <A. Значить, а і - Наближене значення для по недоліку.
Аналогічно доводиться, що якщо - Наближене значення для по недоліку, то - Наближене значення з надлишку.
Оскільки і є наближеними значеннями для з надлишку і через брак, то в якості кращого наближення для природно вибрати середнє арифметичне цих чисел, тобто число х2 = . А щоб одержати ще більш точне значення для , Треба взяти середнє арифметичне чисел , Тобто число х3 = . Так обчислюються одне за іншим всі кращі і кращі наближені значення для . Наближення ведуть до тих пір, поки два отримані значення не співпадуть в межах заданої точності. Можна довести, що кожне наближення приблизно подвоює число вірних десяткових знаків.
Приклад 1. Уточнимо за формулою х2 = наближення
х1 = 1,414 для .
Рішення.
У нашому випадку а = 2. Тому
х1 = (1,414 + 1,4144271) + 1,4142135 ...
Виконавши ще одне наближення, ми переконаємося, що всі виписані знаки отриманої відповіді вірні, тобто число вірних знаків подвоїлася.
Приклад 2. Знайдемо наближене значення для з точністю до 0,0001.
Рішення.
Виберемо за перше наближення для число 2. Тоді друге наближення обчислюється так:
х2 = = 2,25
Далі маємо
х3 = = 2,2361,
х4 = = 2,2361.
Значить, з точністю до 0,0001 маємо = 2,2361.
Відповідь:

3. Геометричні застосування

До вилучення квадратних коренів зводяться багато геометричні задачі. Наприклад, в курсі геометрії доводять теорему Піфагора: квадрат довжини гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів довжин катетів цього трикутника. Індійці дві тисячі років тому доводили її за допомогою наступного креслення.

\ * MERGEFORMAT
Рис. 1
Бачимо, що площі заштрихованих фігур в обох квадратах рівні, але в одному випадку площа дорівнює , А в іншому - . Значить, .
З теореми Піфагора випливає, що відстань між точками
М (х1; у1) і N (x2; y2) координатної площини (рис. 2) виражається формулою
MN = (1)
Приклад 1. Знайдемо відстань від вершини дерева до кінця його тіні, якщо висота дерева дорівнює 12 м, а довжина тіні - 16 м.
Рішення. За теоремою Піфагора маємо

Так як , Тобто відстань дорівнює 20 м.
Приклад 2. Знайдемо відстань між точками М (3; 1) та N (8; -11) координатної площини.
Рішення.
За формулою (1) маємо MN = = = 13

 

4. Основні тотожності для квадратних коренів

З визначення квадратного кореня випливає, що рівність = Х, де а 0, вірно в тому і тільки в тому випадку, коли х ² = а, причому х 0. Замінюючи в рівності х ² = а змінну х на , Отримуємо тотожність ² = а, (1)
вірне для всіх а 0. Замінюючи в рівності = Х змінну а на х ^2, отримуємо тотожності
= Х, (2)
яке вірно для всіх х 0.
Наприклад, ² = 25; ² = 8; ² = 0,11; = 6; = 0,24.
Формули і показують, що для невід'ємних чисел операції зведення в квадрат і витягання квадратного кореня взаємно назад, тобто якщо виконати над яким-небудь невід'ємним числом спочатку одну з цих операцій, а потім іншу, то число не зміниться.
Якщо а - від'ємне число, то рівність невірно, тому що не має числового значення. При негативних значеннях х невірно і рівність . Наприклад, ² = = 5, а не -5. Так як х ² = ^2, а при х <0 маємо - х> 0,
то при х <0 вірно рівність = ² = - х (3)
Отже,
x, якщо x 0,
= - Х, якщо х <0.
Але ми знаємо, що х, якщо х 0,

=
- Х, якщо х <0.
Тому для всіх чисел х вірно рівність
= . (4)
Наприклад, = = 8, ² = = 12.
Приклад 1. Спростимо вираз + ² + - ^2.
Р і ш е н і е. Оскільки ² = 3, ² = ^2, то + ² + - ² = ² +
2 + ² + ² - ² + ² = 2 ² + 2 ² = 2 3 + 2 2 = = 10.
Приклад 2. Знайдемо значення виразу при а = 2,1; b = 3,6
Рішення. При будь-якому значенні х виконується рівність
= . Тому = . Але = = 1,5. Значить, при а = 2,1; b = 3,6 маємо = 1,5.

5. Витяг квадратного кореня з добутку, дробу і ступеня

Вирази і мають одне і те ж значення 6.
У самому справі, = 3, = 2, = 6, тому = 3 2 = 6 і = = = 6. Рівність = - Приватний випадок загального твердження.
Теорема 1. Квадратний корінь з добутку двох невід'ємних чисел дорівнює добутку квадратних коренів з цих чисел, тобто при а 0, b 0 маємо =
Доказ.
Нехай числа а і b ненегативні.
Тоді за правилом зведення в ступінь маємо
² = = А b
Крім того, - Невід'ємне число як добуток двох невід'ємних чисел і . Тому =
Приклад 1. Знайдемо значення виразу
Рішення.
Ми маємо = 25, = 16, = 0,01,
і тому = 25 16 0,01 = 4.
Аналогічно доводиться, що =
Теорема 2. Квадратний корінь з дробу з ненегативним чисельником і позитивним знаменником дорівнює частці від ділення квадратного кореня з чисельника на квадратний корінь з знаменника, тобто при а 0 і b> 0 маємо
Теорема 3. При будь-якому значенні а й при будь-якому b 0 вірно рівність

6. Перетворення виразів

При перетворенні вираженні, що містять квадратні корені, виявляється корисною наступна формула:
= ,

де А ^два В (в обох частинах рівності одночасно беруться знаки «плюс» і «мінус«). Щоб довести це рівність, зауважимо, по-перше, що і ліва, і права його частини є при А 0, В 0, А ² - В 0 невід'ємними числами. Зведемо тепер обидві частини рівності в квадрат. У лівій частині маємо А , В правій частині по формулі квадрата суми чи різниці отримуємо
2 + =
= А 2 = А 2 =
= А 2 = А 2 = А .
Таким чином, квадрати обох частин рівності виявилися однаковими, а оскільки ці частини - невід'ємні числа, то рівність доведено.
Приклад 1. Спростити вираз .
1-й спосіб. В одному випадку маємо А = 5, В = 21, А ² - В =
= 5 ² - 21 = 4, і тому за формулою
= - = - .
2-й спосіб. Наведемо подкоренное вираз до повного квадрату:
5 - = = =
= = = .

Тому = =
Приклад 2. Спростити вираз
1-й спосіб:
= + =
= + =
2-й спосіб. Наведемо подкоренное вираз до повного квадрату:

Приклад 3. Спростити вираз
Рішення.

Відповідь: 10.
Приклад 4. Спростити
Рішення.
1.
2.
3.
Відповідь:
Приклад 5. Яке з чисел більше: або ?
Рішення.
Очевидно, що
Оцінимо суму


Так як , А , То
Відповідь:

 

7. Алгоритм добування квадратного кореня стовпчиком

Цей спосіб дозволяє знайти наближене значення кореня з будь-якого дійсного числа з будь-якою наперед заданою точністю.
Для ручного виведення кореня застосовується запис, схожа на поділ стовпчиком. Нехай витягується корінь з цілого числа A. На відміну від ділення знесення проводиться групами по дві цифри, причому групи слід відзначати, починаючи з десяткової коми (в обидві сторони), дописуючи необхідною кількістю нулів.
Знайти a _n, квадрат якого найближче підходить до групи старших розрядів числа A, залишаючись менше останнього.
Провести віднімання зі старших розрядів A квадрата числа a _n.
Подвоїти a _n.
Зрушити залишок від віднімання на 2 розряди вліво, а величину 2 a _n - на один розряд вліво. Під зрушенням в даному алгоритмі розуміється множення / ділення на ступені 10, що відповідно є зрушенням вліво і вправо.
Приписати праворуч від залишку вирахування два наступних старших розряду числа A.
Порівняти отримане число з нулем.
Якщо отримане число не дорівнює 0, то знайти таке 2 a _{n - 1,} яке, будучи помноженим на , Дасть у результаті число, менше отриманого на четвертому кроці, але найбільш близький до нього за значенням. Перейти до п. 3.
Якщо у п. 6 отримано рівність, то перейти до п. 4, попередньо приписавши праворуч від a _n нуль.
Після отримання кількості цифр, рівного , Припинити обчислення (якщо потрібно ціле значення) або продовжувати до необхідної точності, записуючи отримувані цифри після коми.
Описана послідовність дій в математиці отримала назву алгоритму добування квадратного кореня.
1. Щоб витягти квадратний корінь з даного цілого числа, розбивають його справа наліво на межі, по дві цифри в кожній, крім першої (крайній лівій), в якій може бути і одна цифра.
2. Щоб знайти першу цифру кореня, витягають квадратний корінь з першої грані.
3. Щоб знайти другу цифру, з першої межі віднімають квадрат першої цифри кореня, до залишку зносять друга грань і число десятків числа, що вийшло ділять на подвоєну першу цифру кореня; отримане ціле число знову піддають випробуванню.
4. Випробування проводиться так: за вертикальною рискою (зліва від залишку) пишуть подвоєне, раніше знайдене число кореня, і до нього з правого боку приписують випробувану цифру; вийшло після цієї приписки число множать на випробувану цифру. Якщо після множення вийде число, більше залишку, то випробовувана цифра не годиться і треба випробувати наступну меншу цифру.
5. Наступні цифри кореня знаходять за допомогою того ж прийому.
6. Якщо після знесення межі число десятків числа, що вийшло виявиться менше дільника, тобто менше подвоєної знайденої частини кореня, щось докорінно ставлять 0, зносять наступну грань і продовжують дію далі.
Приклад. Винесемо корінь .
1-й крок. Число 8649 розбиваємо на межі справа наліво, кожна з яких повинна містити дві цифри. Одержуємо дві грані: .
2-й крок. Витягаємо квадратний корінь з першої межі 86, отримуємо з недоліком. Цифра 9 - це перша цифра кореня.
3-й крок. Число 9 зводимо в квадрат ^{(2 вересня} = 81) і число 1981 віднімаємо з першої межі, отримуємо 1986 - 81 = 5. Число 5 - перший залишок.
4-й крок. До залишку 5 приписуємо друга грань 49, отримуємо число 549.
5-й крок. Подвоюємо першу цифру кореня 9 і, записуючи ліворуч, отримуємо:

Ї 81
18 ... ^ЇЇЇЇЇ 549 ^ЇЇЇЇЇ
До числа 18 потрібно приписати таку найбільшу цифру, щоб твір числа, яке ми отримаємо, на цю цифру було б або дорівнює числу 549, або менше, ніж 549. Це цифра 3. Вона перебуває шляхом підбору: кількість десятків числа 549, тобто число 54 ділиться на 18, отримуємо 3, так як 183 ∙ 3 = 549. Цифра 3 - це друга цифра кореня.
6-й крок. Знаходимо залишок 549 - 549 = 0. Так як залишок дорівнює нулю, то ми отримали точне значення кореня - 93. Процес виведення кореня закінчився. Число 93 - двозначне, тому що подкоренное число 8649 містить дві грані. Корінь з числа містить стільки цифр, скільки граней містить це число.
Аналогічно витягають квадратний корінь з десяткових дробів. Тільки подкоренное число розбивають на межі так, щоб кома була між гранями, тобто від коми вліво і вправо. Якщо в крайній правій грані виявиться одна цифра, то її доповнюють дописуванням до числа нуля.

Висновок
Дана робота присвячена квадратним коріння. Розглянуто правила дій з квадратними коренями, способи перетворення виразів, що містять квадратні корені, геометричні застосування. У роботі наведені приклади дій з квадратними коренями і перетворення виразів з ними. Розглянуто алгоритм добування квадратного кореня.
Таким чином, мета досягнута, завдання виконані.

Список використаних джерел

1. Алгебра: Учеб. посібник для 8 кл. / Є.П. Кузнєцова та ін; під ред. Л.Б. Шнепермана. - 2 вид. - Мн.: Нар. асвета, 2005.
2. Алгебра: Учеб. для 8-х кл. загаль. шк. з поглиблений. вивченням математики / К.О. Ананченка та ін - Мн.: Нар. асвета, 1994.
3. Петраков І.С. «Математичні гуртки в 8-10 класах»: Кн. для вчителя. - М.: Просвещение, 1987 р.
4. Енциклопедія для дітей. Т. 11. Математика / Глав. ред. М. Аксьонова. М.: Аванта + плюс. 2004