МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І
НАУКИ УКРАЇНИ
Установа освіти
"Гомельський державний університет
імені Франциска Скорини "
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Курсова робота БІЕКТОРИ В СКІНЧЕНИХ ГРУПАХ Виконавець:
студент групи H.01.01.01 М-43
Векшин П.А.
Науковий керівник:
доктор фізико-математичних наук,
професор Скиба С.В.
Гомель 2003
Зміст Введення
1. Основні позначення
2. Використовувані результати
3. Основні властивості проекторів і ін'єкторів
4. Біектори та їх властивості
Висновок
Список використаних джерел
Введення У цій
курсовій роботі викладається
матеріал на тему: "Біектори кінцевих груп". Мета моєї
роботи полягає в тому, щоб досліджувати властивості кінцевої розв'язної групи з заданими інваріантами підгрупи Шмідта.
Моя
курсова робота складається з чотирьох пунктів. У першому пункті викладені основні позначення, які використовуються в даній роботі.
У другому пункті були введені використовувані результати для подальшого вивчення біекторов та їх властивостей. Тут викладаються шість теорем, три слідства і шість лем.
У третьому пункті викладені основні властивості проекторів і ін'єкторів, дано визначення підгрупи групи, максимальної підгрупи групи, ін'єктора і біектора. Так само розглянуті два приклади
-Біекторов,
-Біекторов, а так же приклад, коли група не є метанільпотентной, але
-Проектори та
-Ін'єктори збігаються між собою.
У четвертому пункті вивчена і розглянута сама тема моєї
курсової роботи, яка і є назвою цього пункту. Тут показується, що
-Біектори у всіх розв'язаних групах існують тільки у випадку, коли
збігається з класом
всіх розв'язаних
-Груп. Крім
того, встановлюється, що в метанільпотентних групах
існування -Біекторов, перетворює його на
-Холлівських підгрупу.
Також у цьому пункті вивчені і доведені наступні основні теореми, (1), (2).
При доведенні деяких теорем і лем використовувалися посилання на теореми, наслідки та леми, формулювання яких можна знайти у використовуваних результати.
Завершує мою курсову роботу список використаної літератури, який складається з п'яти джерел.
1. Основні позначення
| група
|
| клас всіх розв'язаних груп
|
| клас всіх нільпотентних груп
|
| є підгрупою групи
|
| є нормальною підгрупою групи
|
| пряме твір підгруп і
|
| підгрупа Фраттіні групи
|
| фактор-група групи по
|
| безліч всіх простих дільників натурального числа
|
| безліч всіх простих дільників порядку групи
|
| коммутант групи
|
| індекс підгрупи в групі
|
2. Використовувані результати Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо --- Клас Шунков, то . Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Клас Шунков і --- Кінцева нільпотентна група. Якщо --- Підгрупа з , То є -Проектором в тоді і тільки тоді, коли --- -Холлівських підгрупа. Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Радикальний клас і --- Кінцева нільпотентна група. Якщо --- Підгрупа з , То є -Ін'єктор в тоді і тільки тоді, коли --- -Холлівських підгрупа. Теорема SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо --- Клас Фиттинг і --- Гомоморф, то . Слідство SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо і --- Радикальні формації, то . Теорема SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо --- Розв'язні клас Шунков, а --- Здійсненне насичена формація, то --- Розв'язні клас Шунков. Слідство SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо і --- Розв'язні насичені формації, то --- Здійсненне насичена формація. Теорема SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо і --- Класи Фиттинг, то --- Клас Фиттинг і . Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Здійсненне група, тоді 1) якщо
, То
;
2) якщо
, То
;
3) якщо
, То
.
Зокрема, якщо
і
--- Розв'язні групи
;
4)
.
Теорема SEQ Theorem \ * ARABIC Для будь-якого класу Шунков в кожній вирішуваною групі будь-який -Проектор є -Покриває підгрупою і будь-які дві -Покривають підгрупи групи пов'язані між собою. Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Здійсненне група. Тоді: 1)
;
2)
.
Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Для будь-якого гомоморфа і будь-якої групи справедливі наступні твердження: 1) якщо
-
-Проектор групи
і
максимальна в
, То
-
-Покриває підгрупа групи
;
2) якщо
-
-Покриває підгрупа в групі
і
, То
-
-Покриває підгрупа в
;
3) якщо
-
-Покриває підгрупа групи
і
, То
-
-Покриває підгрупа фактор-групи
;
4) якщо
і
---
-Покриває підгрупа фактор-групи
, То кожна
-Покриває підгрупа з
є
-Покриває підгрупою з
.
Теорема SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Клас Фиттинг і --- Здійсненне група. Тоді є -Ін'єктор групи тоді і тільки тоді, коли буде -Максимальною в і --- -Ін'єктор коммутанта . Слідство SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Клас Фиттинг і --- Здійсненне група. Якщо --- -Ін'єктор групи і , То --- -Ін'єктор в . Теорема SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо --- Максимальна підгрупа розв'язної групи , То , Де . 3. Основні властивості проекторів і ін'єкторів Визначення. Нехай
--- Група і
--- Клас груп. Якщо
і
, То
---
-Підгрупа групи .
Визначення. -Максимальної підгрупою групи називається така
-Підгрупа
групи
, Яка не міститься ні в якій більшою
-Підгрупі.
Визначення. -Проектором групи називається така підгрупа
групи
, Що
,
є максимальною в
.
Визначення. Нехай
--- Клас груп. Підгрупа
групи
називається
-Ін'єктор, якщо для кожної субнормальний підгрупи
групи
перетин
є
-Максимальної підгрупою в
.
Визначення. Нехай
--- Клас груп. Підгрупа
групи
називається
-Біектором, якщо
є
-Максимальної підгрупою в
, А
є
-Максимальною в
для кожної нормальної підгрупи
.
Ясно, що
-Біектор одночасно є
-Проектором і
-Ін'єктор групи
.
Приклад SEQ Theorem \ * ARABIC Прикладами -Біекторов служать сіловскіе -Підгрупи груп для класу всіх -Груп. Приклад SEQ Theorem \ * ARABIC У групі сіловская 2-підгрупа є -Біектором. Приклад SEQ Theorem \ * ARABIC Група не є метанільпотентной, але -Проектори та -Ін'єктори збігаються між собою і є нехолловимі підгрупами порядку 24. 4. Біектори та їх властивості
Для локальної формації
кожна кінцева здійсненне група
володіє єдиним класом мопряженних
-Проекторів. Якщо
--- Радикальний клас, т. e. клас Фиттинг, то кожна кінцева здійсненне група містить єдиний клас сполучених
-Ін'єкторів. Але найбільш вживаними в сучасній алгебрі класи кінцевих груп є одночасно і локальними формаціями, і радикальними класами. Тому цілком
природно постає питання про існування
-Біекторов в кінцевих розв'язаних групах для локальної радикальної формації
.
У даній роботі показується, що
-Біектори у всіх розв'язаних групах існують тільки в тому випадку, коли
збігається з класами
всіх розв'язаних
-Груп. Крім того встановлюється, що в метанільпотентних групах існування
-Біектора перетворює його в
-Холлівських підгрупу, і наведено приклад, що показує, що в розв'язаних групах ступені нільпотентності
це властивість порушується.
Нехай
--- Клас груп. Через
позначається сукупність всіх простих чисел
, Для яких у
існує непоодинокі
-Підгрупа, тобто
. Безліч
називається
характеристикою класу .
Для будь-якої безлічі простих чисел
через
позначається клас всіх нільпотентних
-Груп.
Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо --- Клас Шунков, то . Доказ. Нехай
. Ясно, що примітивна нілпотентная група має простий порядок. Якщо
--- Довільна примітивна факторгрупою групи
, То
має простий порядок
. Так як
, То
. З визначення класу Шунков отримуємо, що
. Таким чином,
. Зворотно, якщо
, То для будь-якої простої дільника порядку
існує підгрупа індексу
. Так як
, То
і
. Лема доведена.
Слідство SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо --- Локальна формація, то . Доказ. Досить згадати, що локальна формація є насиченою, а значить і класом Шунков.
Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Клас Шунков і --- Кінцева нільпотентна група. Якщо --- Підгрупа з , То є -Проектором в тоді і тільки тоді, коли --- -Холлівських підгрупа. Доказ. Нехай
---
-Проtктор в групі
. Так як
, То за лемі GOTOBUTTON GEQ135 REF GEQ135 \ * MERGEFORMAT (??) Підгрупа
є
-Підгрупою. Нехай
---
-Холлівських в
підгрупа. Ясно, що
. Nак як
, То
---
-Підгрупа і
.
Зворотно, нехай
---
-Холлівських підгрупа і нехай
---
-Проектор в
. Так як
, То
---
-Підгрупа і
.
Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо --- Радікальниі клас, то . Доказ. Якщо
, То в
існує субнормальная підгрупа
простого порядку
, Для будь-якого
. Тому
,
, І
.
Зворотно, нехай
, Тоді для кожного
в
існує підгрупа
. Значить все
-Підгрупи містяться в
. Так як
замкнутий щодо прямих творів, то
. Лема доведена.
Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Радикальний клас і --- Кінцева нільпотентна група. Якщо --- Підгрупа з , То є -Ін'єктор в тоді і тільки тоді, коли --- -Холлівських підгрупа. Доказ. Нехай
---
-Ін'єктор в
. Так як
, То
буде
-Підгрупою в
. Якщо
---
-Холлівських в
підгрупа, то
і
---
-Підгрупа. Тому
.
Зворотно, якщо
---
-Холлівських підгрупа в
, То
. Якщо
---
-Ін'єктор, то
і
---
підгрупа, тому
. Лема доведена.
Нехай
, Де
--- Пробігає всі групи з
. Якщо
--- Розв'язні радикальний клас, то
.
Слідство SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Радикальний клас Шунков. Тоді в кожній кінцевій нільпотентні групи існує -Біектор та підгрупа є -Холлівських підгрупою групи . Доказ отримуємо з лем GOTOBUTTON GEQ142 REF GEQ142 \ * MERGEFORMAT (??) І GOTOBUTTON GEQ138 REF GEQ138 \ * MERGEFORMAT (??).
Слідство SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Радикальна локальна формація. Тоді в кожній нільпотентні групи існує -Біектор та підгрупа є -Холлівських підгрупою групи . Позначимо через
сукупність всіх
-Проекторів групи
, А через
сукупність всіх
-Ін'єкторів.
Теорема SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Радикальний клас Шунков. Якщо в кінцевій метанільпотентной групі існує -Біектор , То є -Холлівських підгрупою групи . Доказ. Нехай
. Так як в вирішуваною групі всі
-Проектори і все
-Ін'єктори пов'язані між собою, то
.
Нехай
--- Підгрупа Фиттинг. Так як
---
-Ін'єктор в
, То за лемі GOTOBUTTON GEQ142 REF GEQ142 \ * MERGEFORMAT (??) Підгрупа
є
-Холлівських підгрупою в
.
Так як
нільпотентна і
є
-Проектором в
, То
буде
-Холлівських підгрупою в
по лемі GOTOBUTTON GEQ142 REF GEQ142 \ * MERGEFORMAT (??). Оскільки
, То
-
-Підгрупа. Крім того,
і
є
-Число. Значить,
---
-Холлівських підгрупа.
Слідство SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Радикальна локальна формація. Якщо в кінцевій метанільпотентной групі існує -Біектор , То є -Холлівських підгрупою групи . Зауваження. Група
не є метанільпотентной, але
-Проектори та
-Ін'єктори збігаються між собою і є нехолловскімі підгрупами порядку
.
Теорема SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Радикальний клас Шунков і --- Нормально спадковий гомоморф. Якщо в кожній групі існує -Біектор, то . Доказ. Припустимо, що
не міститься в
, І нехай
--- Група найменшого порядку з різниці
. Якщо
має простий порядок
, То
і
, Протиріччя. Значить,
--- Група непростого порядку і можна вибрати нетривіальну нормальну в
підгрупу
. Так як
і
---
-Підгрупа в
, То
і
.
Нехай
---
-Біектор в
. Тоді
---
-Ін'єктор в
і
. Оскільки
є
-Проектором в
, То
-Максимальна в
. Так як
--- Гомоморф, то
, А за вибором групи
отримуємо, що
, Т. е.
і
, Протиріччя. Значить, припущення не вірно і
.
Слідство SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо --- Радикальний клас Шунков, для якого в кожній кінцевій вирішуваною групі існує -Біектор, то . Слідство SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо --- Радикальна локальна формація, для якої в кожній кінцевій вирішуваною групі існує -Біектор, то . Для натурального числа
через
позначимо клас всіх розв'язаних грeпп нільпотентні довжини не більше
. При
маємо клас всіх нільпотентних груп, а при
--- Клас всіх метанільпотентних груп.
Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Для будь-якого натурального числа , Клас є радикальною насиченою спадкової формацією. Доказ. Застосуємо індукцію за
. При
маємо клас
всіх ніпьпотентних груп, він являетс насиченою спадкової формацією і класом Фиттинг. Нехай твердження справедливе для
. За слідству (3)
Але клас
складається з усіх розв'язаних груп нільпотентні довжини, меншої або рівної
, Т. е.
, Тому
Згідно зі слідством (2) клас
насичена формація, а по теоремі (1) і радікальниі. У силу леми (1), він наследственниі клас. Отже, клас
є радикальною насиченою спадкової формацією. Лема доведена.
Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Здійсненне група і . Якщо --- -Проектор групи , То . Доказ. Оскільки
--- Насичена формація, то
-Проектор в групі
існує згідно слідству GOTOBUTTON GEQ130 REF GEQ130 \ * MERGEFORMAT (??). Оскільки
, То
. Якщо
, То
і твердження доведено. Нехай
і
. За лемі (2),
, А оскільки
---
-Проектор групи
, То
. Тоді
, Отже,
, І
. Теорема доведена.
Теорема SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо в вирішуваною групі існує -Біектор і , То . Застосуємо індукцію по порядку групи. Нехай
---
-Біектор групи
. Нам треба довести, що
. Припустимо, що
і
. Тоді
є
-Біектором підгрупи
по лемі GOTOBUTTON GEQ126 REF GEQ126 \ * MERGEFORMAT (??) і слідству GOTOBUTTON GEQ130 REF GEQ130 \ * MERGEFORMAT (??). За індукції
, Отже,
--- Максимальна підгрупа групи
.
Так як
-
-Ін'єктор групи
, То
-Радикал
і
. По теоремі GOTOBUTTON GEQ132 REF GEQ132 \ * MERGEFORMAT (??),
(2)
Оскільки
-
-Проектор групи
, То
і
згідно лемі GOTOBUTTON GEQ148 REF GEQ148 \ * MERGEFORMAT (??). Отже,
(3)
Згідно лемі (2)
, А з рівності (2) та (3) знаходимо, що
. Отримали протиріччя. Теорема доведена.
Зауважимо що в умові цієї теореми вимога
не є зайвим. Для
у симетричній групі
сіловская
-Підгрупа є
-Біектором.
Висновок У цій роботі було показано, що
-Біектори у всіх розв'язаних групах існують тільки у випадку, коли
збігається з класом
всіх розв'язаних
-Груп. Крім того, встановлюється, що в метанільпотентних групах існування
-Біекторов, перетворює його на
-Холлівських подгруппу.Также вивчені і доведені наступні основні теореми:
Теорема1 SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Радикальний клас Шунков. Якщо в кінцевій метанільпотентной групі існує -Біектор , То є -Холлівських підгрупою групи . Теорема2 SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Радикальний клас Шунков і --- Нормально спадковий гомоморф. Якщо в кожній групі існує -Біектор, то . Теорема 3 SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо в вирішуваною групі існує -Біектор і , То . Список використаних джерел MACROBUTTON GrindEQ.reference.UpdateGrindeqFields SEQ GrindEQbib \ h [SEQ GrindEQbib \ c 1] Монахов В.С., Про біекторах в кінцевих розв'язаних групах / / Сб. Питання алгебри. Вип. 9 - Гомель: видавництво Гомельського університету, 1996, с. 152-156
MACROBUTTON GrindEQ.reference.UpdateGrindeqFields SEQ GrindEQbib \ h [SEQ GrindEQbib \ c 2] Монахов В.С., Введення в теорію кінцевих груп та їх класів: навчальний посібник, Мн.: Вища
школа, 2006
MACROBUTTON GrindEQ.reference.UpdateGrindeqFields SEQ GrindEQbib \ h [SEQ GrindEQbib \ c 3] Шеметков Л.А., Скиба О.М., Формації алгебраїчних систем. - М.:
Наука. -1989. --- 256с.
MACROBUTTON GrindEQ.reference.UpdateGrindeqFields SEQ GrindEQbib \ h [SEQ GrindEQbib \ c 4] Шеметков Л.А., Формації кінцевих груп. - М.: Наука. - 1978. --- 272с.
MACROBUTTON GrindEQ.reference.UpdateGrindeqFields SEQ GrindEQbib \ h [SEQ GrindEQbib \ c 5] W. Gaschuts., Lectures on subgroups of Sylow type in finite soluble groups. - Canberra: Austral. Nat. Univ. --- 1979. - Vol. 11. --- 100p.