МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Установа освіти
"Гомельський державний університет
імені Франциска Скорини "
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Курсова робота
БІЕКТОРИ В СКІНЧЕНИХ ГРУПАХ
Виконавець:
студент групи H.01.01.01 М-43
Векшин П.А.
Науковий керівник:
доктор фізико-математичних наук,
професор Скиба С.В.
Гомель 2003

Зміст
Введення
1. Основні позначення
2. Використовувані результати
3. Основні властивості проекторів і ін'єкторів
4. Біектори та їх властивості
Висновок
Список використаних джерел

Введення
У цій курсовій роботі викладається матеріал на тему: "Біектори кінцевих груп". Мета моєї роботи полягає в тому, щоб досліджувати властивості кінцевої розв'язної групи з заданими інваріантами підгрупи Шмідта.
Моя курсова робота складається з чотирьох пунктів. У першому пункті викладені основні позначення, які використовуються в даній роботі.
У другому пункті були введені використовувані результати для подальшого вивчення біекторов та їх властивостей. Тут викладаються шість теорем, три слідства і шість лем.
У третьому пункті викладені основні властивості проекторів і ін'єкторів, дано визначення підгрупи групи, максимальної підгрупи групи, ін'єктора і біектора. Так само розглянуті два приклади -Біекторов, -Біекторов, а так же приклад, коли група не є метанільпотентной, але -Проектори та -Ін'єктори збігаються між собою.
У четвертому пункті вивчена і розглянута сама тема моєї курсової роботи, яка і є назвою цього пункту. Тут показується, що -Біектори у всіх розв'язаних групах існують тільки у випадку, коли збігається з класом всіх розв'язаних -Груп. Крім того, встановлюється, що в метанільпотентних групах існування -Біекторов, перетворює його на -Холлівських підгрупу.
Також у цьому пункті вивчені і доведені наступні основні теореми, (1), (2).
При доведенні деяких теорем і лем використовувалися посилання на теореми, наслідки та леми, формулювання яких можна знайти у використовуваних результати.
Завершує мою курсову роботу список використаної літератури, який складається з п'яти джерел.

1. Основні позначення

	група
	клас всіх розв'язаних груп
	клас всіх нільпотентних груп
	є підгрупою групи
	є нормальною підгрупою групи
	пряме твір підгруп і
	підгрупа Фраттіні групи
	фактор-група групи по
	безліч всіх простих дільників натурального числа
	безліч всіх простих дільників порядку групи
	коммутант групи
	індекс підгрупи в групі

2. Використовувані результати
Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо --- Клас Шунков, то .
Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Клас Шунков і --- Кінцева нільпотентна група. Якщо --- Підгрупа з , То є -Проектором в тоді і тільки тоді, коли --- -Холлівських підгрупа.
Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Радикальний клас і --- Кінцева нільпотентна група. Якщо --- Підгрупа з , То є -Ін'єктор в тоді і тільки тоді, коли --- -Холлівських підгрупа.
Теорема SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо --- Клас Фиттинг і --- Гомоморф, то .
Слідство SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо і --- Радикальні формації, то .
Теорема SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо --- Розв'язні клас Шунков, а --- Здійсненне насичена формація, то --- Розв'язні клас Шунков.
Слідство SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо і --- Розв'язні насичені формації, то --- Здійсненне насичена формація.
Теорема SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо і --- Класи Фиттинг, то --- Клас Фиттинг і .
Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Здійсненне група, тоді
1) якщо , То ;
2) якщо , То ;
3) якщо , То .
Зокрема, якщо і --- Розв'язні групи ;
4) .
Теорема SEQ Theorem \ * ARABIC Для будь-якого класу Шунков в кожній вирішуваною групі будь-який -Проектор є -Покриває підгрупою і будь-які дві -Покривають підгрупи групи пов'язані між собою.
Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Здійсненне група. Тоді:
1) ;
2) .
Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Для будь-якого гомоморфа і будь-якої групи справедливі наступні твердження:
1) якщо - -Проектор групи і максимальна в , То - -Покриває підгрупа групи ;
2) якщо - -Покриває підгрупа в групі і , То - -Покриває підгрупа в ;
3) якщо - -Покриває підгрупа групи і , То - -Покриває підгрупа фактор-групи ;
4) якщо і --- -Покриває підгрупа фактор-групи , То кожна -Покриває підгрупа з є -Покриває підгрупою з .
Теорема SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Клас Фиттинг і --- Здійсненне група. Тоді є -Ін'єктор групи тоді і тільки тоді, коли буде -Максимальною в і --- -Ін'єктор коммутанта .
Слідство SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Клас Фиттинг і --- Здійсненне група. Якщо --- -Ін'єктор групи і , То --- -Ін'єктор в .
Теорема SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо --- Максимальна підгрупа розв'язної групи , То , Де .
3. Основні властивості проекторів і ін'єкторів
Визначення. Нехай --- Група і --- Клас груп. Якщо і , То --- -Підгрупа групи .
Визначення. -Максимальної підгрупою групи називається така -Підгрупа групи , Яка не міститься ні в якій більшою -Підгрупі.
Визначення. -Проектором групи називається така підгрупа групи , Що , є максимальною в .
Визначення. Нехай --- Клас груп. Підгрупа групи називається -Ін'єктор, якщо для кожної субнормальний підгрупи групи перетин є -Максимальної підгрупою в .
Визначення. Нехай --- Клас груп. Підгрупа групи називається -Біектором, якщо є -Максимальної підгрупою в , А є -Максимальною в для кожної нормальної підгрупи .
Ясно, що -Біектор одночасно є -Проектором і -Ін'єктор групи .
Приклад SEQ Theorem \ * ARABIC Прикладами -Біекторов служать сіловскіе -Підгрупи груп для класу всіх -Груп.
Приклад SEQ Theorem \ * ARABIC У групі сіловская 2-підгрупа є -Біектором.
Приклад SEQ Theorem \ * ARABIC Група не є метанільпотентной, але -Проектори та -Ін'єктори збігаються між собою і є нехолловимі підгрупами порядку 24.

4. Біектори та їх властивості

Для локальної формації кожна кінцева здійсненне група володіє єдиним класом мопряженних -Проекторів. Якщо --- Радикальний клас, т. e. клас Фиттинг, то кожна кінцева здійсненне група містить єдиний клас сполучених -Ін'єкторів. Але найбільш вживаними в сучасній алгебрі класи кінцевих груп є одночасно і локальними формаціями, і радикальними класами. Тому цілком природно постає питання про існування -Біекторов в кінцевих розв'язаних групах для локальної радикальної формації .
У даній роботі показується, що -Біектори у всіх розв'язаних групах існують тільки в тому випадку, коли збігається з класами всіх розв'язаних -Груп. Крім того встановлюється, що в метанільпотентних групах існування -Біектора перетворює його в -Холлівських підгрупу, і наведено приклад, що показує, що в розв'язаних групах ступені нільпотентності це властивість порушується.
Нехай --- Клас груп. Через позначається сукупність всіх простих чисел , Для яких у існує непоодинокі -Підгрупа, тобто . Безліч називається характеристикою класу .
Для будь-якої безлічі простих чисел через позначається клас всіх нільпотентних -Груп.
Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо --- Клас Шунков, то .
Доказ. Нехай . Ясно, що примітивна нілпотентная група має простий порядок. Якщо --- Довільна примітивна факторгрупою групи , То має простий порядок . Так як , То . З визначення класу Шунков отримуємо, що . Таким чином, . Зворотно, якщо , То для будь-якої простої дільника порядку існує підгрупа індексу . Так як , То і . Лема доведена.
Слідство SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо --- Локальна формація, то .
Доказ. Досить згадати, що локальна формація є насиченою, а значить і класом Шунков.
Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Клас Шунков і --- Кінцева нільпотентна група. Якщо --- Підгрупа з , То є -Проектором в тоді і тільки тоді, коли --- -Холлівських підгрупа.
Доказ. Нехай --- -Проtктор в групі . Так як , То за лемі GOTOBUTTON GEQ135 REF GEQ135 \ * MERGEFORMAT (??) Підгрупа є -Підгрупою. Нехай --- -Холлівських в підгрупа. Ясно, що . Nак як , То --- -Підгрупа і .
Зворотно, нехай --- -Холлівських підгрупа і нехай --- -Проектор в . Так як , То --- -Підгрупа і .
Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо --- Радікальниі клас, то .
Доказ. Якщо , То в існує субнормальная підгрупа простого порядку , Для будь-якого . Тому , , І .
Зворотно, нехай , Тоді для кожного в існує підгрупа . Значить все -Підгрупи містяться в . Так як замкнутий щодо прямих творів, то . Лема доведена.
Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Радикальний клас і --- Кінцева нільпотентна група. Якщо --- Підгрупа з , То є -Ін'єктор в тоді і тільки тоді, коли --- -Холлівських підгрупа.
Доказ. Нехай --- -Ін'єктор в . Так як , То буде -Підгрупою в . Якщо --- -Холлівських в підгрупа, то і --- -Підгрупа. Тому .
Зворотно, якщо --- -Холлівських підгрупа в , То . Якщо --- -Ін'єктор, то і --- підгрупа, тому . Лема доведена.
Нехай , Де --- Пробігає всі групи з . Якщо --- Розв'язні радикальний клас, то .
Слідство SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Радикальний клас Шунков. Тоді в кожній кінцевій нільпотентні групи існує -Біектор та підгрупа є -Холлівських підгрупою групи .
Доказ отримуємо з лем GOTOBUTTON GEQ142 REF GEQ142 \ * MERGEFORMAT (??) І GOTOBUTTON GEQ138 REF GEQ138 \ * MERGEFORMAT (??).
Слідство SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Радикальна локальна формація. Тоді в кожній нільпотентні групи існує -Біектор та підгрупа є -Холлівських підгрупою групи .
Позначимо через сукупність всіх -Проекторів групи , А через сукупність всіх -Ін'єкторів.
Теорема SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Радикальний клас Шунков. Якщо в кінцевій метанільпотентной групі існує -Біектор , То є -Холлівських підгрупою групи .
Доказ. Нехай . Так як в вирішуваною групі всі -Проектори і все -Ін'єктори пов'язані між собою, то .
Нехай --- Підгрупа Фиттинг. Так як --- -Ін'єктор в , То за лемі GOTOBUTTON GEQ142 REF GEQ142 \ * MERGEFORMAT (??) Підгрупа є -Холлівських підгрупою в .
Так як нільпотентна і є -Проектором в , То буде -Холлівських підгрупою в по лемі GOTOBUTTON GEQ142 REF GEQ142 \ * MERGEFORMAT (??). Оскільки , То - -Підгрупа. Крім того, і є -Число. Значить, --- -Холлівських підгрупа.
Слідство SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Радикальна локальна формація. Якщо в кінцевій метанільпотентной групі існує -Біектор , То є -Холлівських підгрупою групи .
Зауваження. Група не є метанільпотентной, але -Проектори та -Ін'єктори збігаються між собою і є нехолловскімі підгрупами порядку .
Теорема SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Радикальний клас Шунков і --- Нормально спадковий гомоморф. Якщо в кожній групі існує -Біектор, то .
Доказ. Припустимо, що не міститься в , І нехай --- Група найменшого порядку з різниці . Якщо має простий порядок , То і , Протиріччя. Значить, --- Група непростого порядку і можна вибрати нетривіальну нормальну в підгрупу . Так як і --- -Підгрупа в , То і .
Нехай --- -Біектор в . Тоді --- -Ін'єктор в і . Оскільки є -Проектором в , То -Максимальна в . Так як --- Гомоморф, то , А за вибором групи отримуємо, що , Т. е. і , Протиріччя. Значить, припущення не вірно і .
Слідство SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо --- Радикальний клас Шунков, для якого в кожній кінцевій вирішуваною групі існує -Біектор, то .
Слідство SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо --- Радикальна локальна формація, для якої в кожній кінцевій вирішуваною групі існує -Біектор, то .

Для натурального числа через позначимо клас всіх розв'язаних грeпп нільпотентні довжини не більше . При маємо клас всіх нільпотентних груп, а при --- Клас всіх метанільпотентних груп.
Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Для будь-якого натурального числа , Клас є радикальною насиченою спадкової формацією.
Доказ. Застосуємо індукцію за . При маємо клас всіх ніпьпотентних груп, він являетс насиченою спадкової формацією і класом Фиттинг. Нехай твердження справедливе для . За слідству (3)

Але клас складається з усіх розв'язаних груп нільпотентні довжини, меншої або рівної , Т. е. , Тому

Згідно зі слідством (2) клас насичена формація, а по теоремі (1) і радікальниі. У силу леми (1), він наследственниі клас. Отже, клас є радикальною насиченою спадкової формацією. Лема доведена.
Лемма SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Здійсненне група і . Якщо --- -Проектор групи , То .
Доказ. Оскільки --- Насичена формація, то -Проектор в групі існує згідно слідству GOTOBUTTON GEQ130 REF GEQ130 \ * MERGEFORMAT (??). Оскільки , То . Якщо , То і твердження доведено. Нехай і . За лемі (2), , А оскільки --- -Проектор групи , То . Тоді , Отже, , І . Теорема доведена.
Теорема SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо в вирішуваною групі існує -Біектор і , То .
Застосуємо індукцію по порядку групи. Нехай --- -Біектор групи . Нам треба довести, що . Припустимо, що і . Тоді є -Біектором підгрупи по лемі GOTOBUTTON GEQ126 REF GEQ126 \ * MERGEFORMAT (??) і слідству GOTOBUTTON GEQ130 REF GEQ130 \ * MERGEFORMAT (??). За індукції , Отже, --- Максимальна підгрупа групи .
Так як - -Ін'єктор групи , То -Радикал і . По теоремі GOTOBUTTON GEQ132 REF GEQ132 \ * MERGEFORMAT (??),
(2)
Оскільки - -Проектор групи , То і згідно лемі GOTOBUTTON GEQ148 REF GEQ148 \ * MERGEFORMAT (??). Отже,
(3)
Згідно лемі (2) , А з рівності (2) та (3) знаходимо, що . Отримали протиріччя. Теорема доведена.
Зауважимо що в умові цієї теореми вимога не є зайвим. Для у симетричній групі сіловская -Підгрупа є -Біектором.
Висновок
У цій роботі було показано, що -Біектори у всіх розв'язаних групах існують тільки у випадку, коли збігається з класом всіх розв'язаних -Груп. Крім того, встановлюється, що в метанільпотентних групах існування -Біекторов, перетворює його на -Холлівських подгруппу.Также вивчені і доведені наступні основні теореми:
Теорема1 SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Радикальний клас Шунков. Якщо в кінцевій метанільпотентной групі існує -Біектор , То є -Холлівських підгрупою групи .
Теорема2 SEQ Theorem \ * ARABIC Нехай --- Радикальний клас Шунков і --- Нормально спадковий гомоморф. Якщо в кожній групі існує -Біектор, то .
Теорема 3 SEQ Theorem \ * ARABIC Якщо в вирішуваною групі існує -Біектор і , То .

Список використаних джерел
MACROBUTTON GrindEQ.reference.UpdateGrindeqFields SEQ GrindEQbib \ h [SEQ GrindEQbib \ c 1] Монахов В.С., Про біекторах в кінцевих розв'язаних групах / / Сб. Питання алгебри. Вип. 9 - Гомель: видавництво Гомельського університету, 1996, с. 152-156
MACROBUTTON GrindEQ.reference.UpdateGrindeqFields SEQ GrindEQbib \ h [SEQ GrindEQbib \ c 2] Монахов В.С., Введення в теорію кінцевих груп та їх класів: навчальний посібник, Мн.: Вища школа, 2006
MACROBUTTON GrindEQ.reference.UpdateGrindeqFields SEQ GrindEQbib \ h [SEQ GrindEQbib \ c 3] Шеметков Л.А., Скиба О.М., Формації алгебраїчних систем. - М.: Наука. -1989. --- 256с.
MACROBUTTON GrindEQ.reference.UpdateGrindeqFields SEQ GrindEQbib \ h [SEQ GrindEQbib \ c 4] Шеметков Л.А., Формації кінцевих груп. - М.: Наука. - 1978. --- 272с.
MACROBUTTON GrindEQ.reference.UpdateGrindeqFields SEQ GrindEQbib \ h [SEQ GrindEQbib \ c 5] W. Gaschuts., Lectures on subgroups of Sylow type in finite soluble groups. - Canberra: Austral. Nat. Univ. --- 1979. - Vol. 11. --- 100p.