Тема: "Сигнали та їх характеристики"
Сигнал - фізичний
процес, що відображає повідомлення. У технічних системах найчастіше використовуються
електричні сигнали.
Сигнали, як правило, є
функціями часу.
Сигнали можна класифікувати за різними ознаками:
1.
Безперервні (аналогові) - сигнали, які описуються неперервними функціями часу, тобто приймають безперервне безліч значень на інтервалі визначення.
Дискретні - описуються дискретними функціями часу тобто приймають кінцеве безліч значень на інтервалі визначення.
Детерміновані - сигнали, які описуються детермінованими функціями часу, тобто значення яких визначені в будь-який момент часу.
Випадкові - описуються випадковими функціями часу, тобто значення яких у будь-який момент часу є випадковою величиною.
Випадкові процеси (СП) можна класифікувати на стаціонарні, нестаціонарні, Ергодіческіе і неергодіческіе, а так само, гаусові, марковські і т.д.
3.
Періодичні - сигнали, значення яких повторюються через інтервал, що дорівнює періоду
х (t) = х (t + nT), де
n = 1,2 ,...,¥;
T - період.
4.
Kаузальние - сигнали, що мають початок у часі.
5.
Фінітних - сигнали кінцевої тривалості і рівні нулю поза інтервалу визначення.
6.
Когерентні - сигнали, що збігаються в усіх точках визначення.
7.
Ортогональні - сигнали протилежні когерентним.
2. Характеристики сигналів
1.
Тривалість сигналу (час передачі)
Т с - інтервал часу, протягом якого існує
сигнал.
2.
Ширина спектра F c - діапазон частот, в межах яких зосереджена основна потужність сигналу.
3.
База сигналу - твір ширини спектру сигналу на його тривалість.
4.
Динамічний діапазон D c - логарифм відношення максимальної потужності сигналу -
P max до мінімальної -
P min (мінімально-розрізни-травня на рівні перешкод):
D c = log (P max / P min). У виразах, де може бути використані логарифми з будь-якою
підставою, підстава логарифма не вказується.
Як правило, основу логарифма визначає одиницю виміру (наприклад: десятковий - [Бел], натуральний - [Непер]).
5.
Обсяг сигналу визначається співвідношенням
V c = T c F c D c. 6.
Енергетичні характеристики: миттєва потужність -
P (t); середня потужність -
P СР і
енергія -
E. Ці характеристики визначаються співвідношеннями:
P (t) = x 2 (t); ; (1)
де
T = t max - t min. 3. Математичні моделі випадкових сігнлов
Детерміноване, тобто заздалегідь відоме повідомлення, не містить інформації, т.к одержувачу заздалегідь відомо, яким буде переду-ваемий
сигнал. Тому сигнали носять
статистичний характер [11].
Випадковий (стохастичний, імовірнісний) процес - процес, який описується випадковими функціями часу.
Випадковий процес
Х (t) може бути представлений ансамблем невипадкових функцій часу
x i (t), званих реалізаціями або вибірками (див. рис.1).
X (t) x 1 (t) x 2 (t) x n (t) 0 t 1 t 2 t
|
Рис.1. Реалізації випадкового
процесу X (t) Повної
статистичної характеристикою випадкового процесу є
n - мірна
функція розподілу:
F n (x 1, x 2 ,..., x n; t 1, t 2 ,..., t n), або
щільність ймовірності
f n (x 1 , x 2 ,..., x n; t 1, t 2 ,..., t n). Використання багатовимірних законів пов'язано з певними труднощами,
тому часто обмежуються використанням одновимірних законів
f 1 (x, t), що характеризують
статистичні характеристики випадкового процесу в окремі моменти часу, звані перерізами випадкового процесу або двовимірних
f 2 (x 1, x 2; t 1, t 2), що характеризують не тільки статистичні характеристики окремих перерізів, але і їх
статистичну взаємозв'язок.
Закони розподілу є вичерпними характеристиками випадкового процесу, але випадкові
процеси можуть бути досить повно охарактеризовано і з допомогою, так званих, числових характеристик (початкових, центральних і змішаних моментів). При цьому найбільш часто використовуються такі характеристики:
математичне сподівання (початковий момент першого порядку)
, (2)
середній квадрат (початковий момент другого порядку)
, (3)
дисперсія (центральний момент другого порядку)
; (4)
кореляційна функція, яка дорівнює кореляційному моменту
відповідних перерізів випадкового процесу
. (5)
При цьому справедливо наступне співвідношення:
(6)
Стаціонарні процеси - процеси, в яких числові характеристики не залежать від часу.
Ергодіческіе процеси - процес, в яких результати усереднення і з великого збігаються.
Гаусові процеси - процеси з нормальним законом розподілу:
(7)
Цей закон відіграє виключно важливу роль в теорії передачі сигналів, т.к більшість перешкод є нормальними.
Відповідно до центральною граничною теоремою більшість випадкових
процесів є гауссовими.
М
арковскій процес - випадковий процес, у яких ймовірність кожного наступного значення визначається тільки одним попереднім значенням.
4. Форми аналітичного опису сигналів
Сигнали можуть бути представлені в тимчасовій, операторної або частотній області, зв'язок між якими визначається за допомогою перетворень Фур'є і Лапласа (див. рис.2).
Перетворення Лапласа: L:
L
-1: (8)
Перетворення Фур'є: F:
F
-1: (9)
L:
L-1:
F-1: p = jw
F: jw = p
Рис.2 Області подання сигналів
При цьому можуть бути використані різні форми подання сигналів з вигляді функцій,
векторів, матриць,
геометричне і т.д.
При описі випадкових процесів в тимчасовій області використовується, так звана, кореляційна
теорія випадкових процесів, а при описі в частотній області - спектральна теорія випадкових процесів.
З урахуванням парності функцій
і
і
відповідно до формулами Ейлера:
(10)
можна записати вирази для кореляційної
функції R x (t) і енергетичного спектру (спектральної щільності) випадкового процесу
S x (w), які пов'язані
перетворенням Фур'є або формулами Вінера - Хинчина
; (11)
. (12)
5. Геометричне уявлення сигналів та їх характеристик
Будь-які
n - чисел можна уявити у вигляді точки (вектора) в
n-мірному просторі, віддаленої від початку координат на відстані
D, де
. (13) Сигнал тривалістю
T с і шириною спектру
F з, відповідно до теореми Котельникова визначається
N відліками, де
N = 2F c T c. Цей сигнал може бути представлений точкою в n - мірному просторі або
вектором, що з'єднує цю точку з початком координат [5].
Довжина цього
вектора (
норма) дорівнює:
; (14)
де
x i = x (n Dt) - значення сигналу в момент часу
t = n. Dt. Припустимо:
X - передане повідомлення, а
Y - прийняте. При цьому вони можуть бути представлені векторами (рис.3).
X2, Y2 x2 X d y2 Y g X1, Y1 0 a 1 a 2 x1 y1 Рис.3.
Геометричне уявлення сигналів
Визначимо зв'язку між
геометричним і фізичним представленням сигналів. Для кута між векторами
X і
Y можна записати
cos g = cos (a 1 - a 2) = cos a 1 cos a 2 + sin a 1 sin a 2 = = (15) Для
N - відліків:
cos g (16)
Знайдемо модуль формального вектора. Для цього розглянемо квантів-ний
сигнал (рис. 4).
Рис. 4. Графік сигналу
Рис.4. Графік сигналу
Середня потужність сигналу
.
Енергія сигналу
.
Енергія кванта
.
Енергію квантованного сигналу можна визначити за формулою
.
При цьому модуль сигналу дорівнює
.
Взаємна кореляційна функція дорівнює
.
При цьому
.
Це нормована кореляційна функція
Якщо
g = 90
о, то r
xy (t) = 0 - сигнали ортогональні, тобто незалежні;
Якщо
g = 0, то r
xy (t) = 1 - переданий сигнал дорівнює прийнятому;
Вектор
d -
характеризує (перешкоду) помилку. Визначимо дисперсію помилки:
За вектору помилки визначають, чи припустима її величина.
Список літератури
1. Hayes, MH Statistical Digital Signal Processing and Modeling.
New York: John Wiley & Sons, 1996.
2.
Баскаков С.І.
Радіотехнічні ланцюги і сигнали: Учеб. для вузів за спец. "Радіотехніка". - М.: Вищ. шк., 2000.
3. Голд Б., Рейдер Ч.
Цифрова обробка сигналів / Пер. з англ., під ред.А.М. Трахтман. - М., "Рад. Радіо", 1973, 368 с.
4. Грінченка А.Г.
Теорія інформації та
кодування: Навч. посібник. -
Харків: ХПУ, 2000.
5. Карташов В.Г. Основи теорії дискретних сигналів і цифрових фільтрів. - М.: Вищ. шк., 1982.
6. Колесник В.Д., Полтирев Г.Ш. Курс теорії інформації. -М.:
Наука, 1982.
7.
Купріянов М.С., Матюшкін Б.Д. - Цифрова
обробка сигналів:
процесори, алгоритми, засоби проектування. - СПб.: Політехніка, 1999.
8. Марпл С.Л. Цифровий
спектральний аналіз. М.: Світ, 1990.
9. Рудаков П. І, Сафонов В.І.
Обробка сигналів та зображень
Matlab 5. x. Діалог-МІФІ. 2000.
10. Сергієнко А.Б. Цифрова обробка сигналів. - СПб.: Пітер, 2002.